Persamaan differensial part 1
Download as DOCX, PDF•15 likes•38,275 views
Dokumen ini membahas tentang persamaan differensial (pd), termasuk definisi, klasifikasi, dan metode penyelesaiannya. Persamaan diferensial dapat berupa pd biasa atau parsial, dan memiliki ordo dan derajat yang menggambarkan tingkat keterlibatan turunan. Selain itu, terdapat variasi metode penyelesaian bergantung pada jenis pd yang ditangani.
Persamaan differensial part 1
- 1. PERSAMAAN DIFFERENSIAL (PD) 1. Pengertian Persamaan diferensial Definisi 1. Persamaan Differensial adalah suatu persamaan yang mengandung turunan pertama atau lebih dari fungsi. Atau persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. (A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives or partial derivatives.) Persamaan differrensial disingkat dengan PD , diklasifikasikan dalam: tipe, tingkat (ordo), derajat (pangkat), sebagai berikut : Tipe PD : 1. PD biasa (Ordinary Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan dari suatu fungsi satu peubah. 2. PD Parsial (Partial Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan parsial dari suatu fungsi dengan dua atau lebih peubah bebas. Tingkat (Ordo) Tingkat dari suatu PD adalah bilangan yang menunjukkan tingkat tertinggi dari turunan yang terdapat dalam PD tersebut. Derajat (Pangkat) atau Degree Pangkat suatu PD adalah pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang terdapat dalam PD tersebut. Contoh 1: 1. x dx dy 4 adalah PD biasa tingkat 1 pangkat 1 2. 03 3 3 y dx yd adalah PD biasa tingkat 3 pangkat 1 3. x dx dy dx yd 63 2 2 adalah PD biasa tingkat 2 pangkat 3 4. 0 2 2 2 2 xy adalah PD parsial tingkat 2 pangkat 1
- 2. Penyelesaian PD Biasa Penyelesaian PD biasa adalah suatu hubungan fungsional antara peubah-peubahnya yang tidak mengandung lagi differensial atau turunan yang memenuhi PD. Penyelesaian PD dapat berbentuk fungsi eksplisit atau fungsi implisit. Penyelesaian Umum (PU) atau general solution dari PD pangkat n adalah penyelesaian yang memuat n konstanta dari hasil integrasi. Penyelesaian partikulir dari suatu PD adalah suatu penyelesaian yang diperoleh dari PU dengan memberi suatu nilai pada konstanta dari PU. Pada integrasi sederhana, konstanta dari hasil integrasi dari PD dapat mempunyai nilai tertentu dengan adanya syarat batas atau syarat awal yang diberikan. Misalnya pada suatu PD diketahui untuk nilai x=x0 maka y = y0 , hal ini disebut syarat batas. Kejadian khusus jika diketahui x = x0 maka y = 0, disebut syarat awal. 2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT SATU PD ordo satu derajat satu dapat dinyatakan dalam bentuk : ),( yxf dx dy ……………………………….. (1) Jika f(x,y) suatu konstanta, maka penyelesaian didapat dengan mengintegralkan f(x,y) tersebut. Jika f(x,y) fungsi dengan peubah x dan y, misalkan f(x,y) = ),( ),( yxN yxM biasanya PD dirubah kebentuk : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ……………… (2) Penyelesaiannya merupakan fungsi implisit, berbeda dengan bentuk persamaan (1). Metode penyelesaian PD tergantung dari klasifikasi bentuk PD kadang-kadang dapat diselesaikan dengan lebih dari satu metode. Pada umumnya PD ordo satu derajat satu dapat diklasifikasikan ke dalam bentuk : 1. Peubah dapat dipisahkan dalam ruas persamaan yang berbeda atau dapat dikelompokkan dalam 2 kelompok, kelompok peubah x saja dan kelompok y saja sehingga bentuknya menjadi : f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 atau 0 )( )( )( )( 1 2 2 1 dy yg yg dx xf xf atau dy yg yg dx xf xf )( )( )( )( 1 2 2 1 ……..(3) Hal ini biasa disebut PD dengan peubah yang dapat dipisahkan. Contoh 1. dx 2. dy/dx
- 3. 0 )( )( )( )( 1 2 2 1 dy yg yg dx xf xf 3. 4. dengan mengintegralkan (3) akan diperoleh : …….(4) 5. Contoh: Selesaikan PD 0)1( 2 xy dx dy x Jawab : 0)1( 2 xy dx dy x bila dikali dengan dx, maka : 0)1( 2 dxxydyx dibagi dengan yx )1( 2 maka : 0 )1( 2 x dxx y dy dengan mengintegralkan kedua ruas, maka : 0 )1( 2 x dxx y dy ln y + 2 1 ln (1 + x2 ) = C ln y(1 + x2 )1/2 = C y(1 + x2 )1/2 = eC jika ruas kanan diambil ln C, hal ini boleh karena ln C juga merupakan konstanta, maka penyelesaian menjadi : ln y(1 + x2 )1/2 = ln C y(1 + x2 )1/2 = C
- 4. y/x= atau y= adalah solusinya 2. PD Homogen, bila fungsi M(x,y) dan fungsi N(x,y) keduanya merupakan fungsi homogen dengan derajat sama . Fungsi f(x,y) disebut fungsi homogen pangkat n jika memenuhi fungsi f( tx,ty ) =t n f(x,y), dengan t adalah konstanta. Contoh : a. f(x,y) = 3 x2 y3 - 2 x4 y f(tx,ty) = 3 (tx)2 (ty)3 - 2 (tx)4 (ty) = t5 (3 x2 y3 - 2 x4 y) = t5 f(x,y) Jadi, f(x,y) disebut homogen derajat 5. b. g(x,y) = 4 x y2 + 2 x2 y2 g(tx,ty)= 4 (tx) (ty)2 + 2 (tx)2 (ty)2 = t3 (4x y2 ) + t4 (2 x2 y2 ) Jadi, g(x,y) bukan fungsi homogen Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika jumlah pangkat peubah x dan peubah y sama pada setiap suku dari f(x,y), maka fungsi tersebut adalah homogen. PD yang berbentuk : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ......................... (5) Disebut PD homogen jika M(x,y) dan N(x,y) keduanya fungsi homogen dengan derajat sama. Penyelesaian PD homogen yaitu dengan mengandaikan y = Vx atau x = Vy, sehingga PD tersebut dapat diselesaikan dengan metode peubah dapat dipisahkan. Jika diandaikan y = Vx maka dy = V dx + x dV ......................... (6) atau x = Vy maka dx = V dy + y dV ......................... (7) selanjutnya (6) atau (7) substitusi ke (5) sehingga diperoleh PD dengan peubah dapat dipisahkan. 6
- 5. c. Persamaan diferensial ini homogen orde 2, karena Dan untuk N(x,y) = 2xy Misalkan y=vx maka dy= v dx + x dv. Kemudian substitusikan ke soal 2x (vx) ( v dx + x dv) = (x2 -v2 x2 ) dx Bagi dengan x2 d. Selesaikan PD : (y2 + xy) dx + x2 dy = 0 Jawab : M(x,y) = y2 – xy homogen berpangkat 2 N(x,y) = x2 homogen berpangkat 2 Jadi PD tersebut di atas adalah PD homogen Misalkan y = Vx maka dy = V dx + x dV, PD menjadi : (V2 x2 – x Vx) dx + x2 (V dx + x dV) = 0 x2 (V2 – V) dx + x2 V dx + x3 dV = 0 x2 (V2 – V + V) dx + x3 dV = 0 x2 V2 dx + x3 dV = 0 kedua ruas dikalikan dengan 32 1 xv 0 11 2 dV V dx x sehingga CdV V dx x 2 11 ln x – V 1 = C atau ln x – y x = C atau Cx x y ln
- 6. 3. PD Eksak, jika memenuhi turunan parsial M(x,y) terhadap y sama dengan turunan parsial N(x,y) terhadap x, atau dapat dinyatakan dengan : ),(),( yxN x yxM y Atau jika diberikan persamaan M dx + N dy = 0 maka PD tersebut persamaan eksak jika : y M = x N Contoh 1. Apakah PD (x2 – y) dx – x dy = 0 merupakan PD eksak atau bukan? Solusi M = (x2 – y), N = -x, Karena maka PD eksak 2. Diberikan PD ( 3y2 + 8x ) dx + ( 6xy + 9y2 ) dy = 0, apakah PD tersebut eksak atau bukan ? Jawab : eksakPD y dx dN dy dM y x N yxyN y y M xyM 6 6),96( 6),83( 2 2 4. PD linier jika PD (1) dapat dibawa ke dalam bentuk persamaan : )()( xQxPy dx dy atau )()( yQyPx dx dy Contoh 1. Apakah PD berikut : + y = 2 + 2x merupakan PD linear ? Solusi PD tersebut merupakan PD linear karena memenuhi )()( xQxPy dx dy : dimana P(x) = 1, Q(x) = 2 + 2x
- 7. 2. Ubah PD : 2(y – 4x2 ) dx + x dy = 0 ke bentuk PD linear ! Jawab : PD dapat diubah ke bentuk : + 2y = 8 x2 atau + = 8 x , bentuk umum PD linier. dimana P(X) = dan Q(x) = 8x contoh lain PD Linear 3. 124y dx dy 4. 22 3 xyx dx dy 5. xxy dx dy 64 6. 23 822 xyx dx dy 6. 2 2 x exy dx dy 8. xy dx dy 63 9. y’ = x3 – 2xy,
- 8. 3. Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial , K > 0 populasi bertambah. K < 0 populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa k sekitar 0,0132 4. Menyelesaikan Persamaan Differensial dengan syarat awal y = y0 apabila t = 0 . Dengan memisahkan peubah dan mengintegrasikan, kita peroleh Syarat y = y0 pada saat t = 0 akan menghasilkan C = ln y0 Sehingga, Ketika k > 0 jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika k < 0 disebut peluruhan eksponensial. Peluruhan Radioaktif Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk k < 0 Teorema = e Bukti Pertama ingat kembali bahwa jika f(x) = ln x maka f’(x)= dan khususnya, f’(1) = 1 Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat ln , diperoleh
- 9. Jadi . Karena g(x)= = exp x adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut Contoh : Jamil menyimpan uang 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar 4 % . Andaikan bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Jamil pada akhir tahun ketiga? Penyelesaian : A(t)= A0 = 500 = 563,75 Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil. Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan Aadalah nilai pada saat t uang sebesar A0 rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga r mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari A terhadap waktu adalah rA , yakni Persamaan diferensial ini adalah A= A0 Persamaan Differensial Linear Orde-Satu Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dy dan seluruh ungkapan yang melibatkan y pada satu sisi dan dx beserta seluruh ungkapan yang melibatkan x pada sisi lainnya. Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk Dimana P(x) dan Q(x) hanyalah fungsi-fungsi x saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu.
- 10. Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan factor integrasi Didapatkan Sisi kiri adalah turunan hasil kali y . , maka persamaannya mengambil bentuk Integrasi kedua sisi menghasilkan Contoh : Carilah penyelesaian umum dari Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah = Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk Jadi penyelesaian umumnya adalah atau
- 11. Tugas Kelompok MATEMATIKA DASAR II “ PERSAMAAN DIFFERENSIAL 1 ” OLEH: KELOMPOK II JAMALUDDIN H22112011 AKMAL H22112268 MUH. IQBAL MAULANA H22112289 AHMAD JAMIL H12110290 UNIVERSITAS HASANUDDIN 2013