Pertemuan 1 20 sept 2013

PENDAHULUAN
PENGEMBANGAN KOMPETENSI
DAN INOVASI PEMBELAJARAN

Misalkan x adalah berat sebiji kacang dan y adalah berat
sebuah mobil, maka rata-rata berat sebiji kacang dan berat
sebuah mobil adalah
x+ y
p=
2

atau

2p = x + y

Dari persamaan ini kita dapat membentuk dua buah
persamaan yaitu
x = 2p - y
2p – x = y

x = 2p - y
2p – x = y
x(2p–x)=(2p–
y)y
2 p x - x2 = 2 p y
- y2
atau
x2 – 2 p x + p2 = y2 – 2 p y
+ p2
atau (x – p )2 = ( y – p )2
x–p = y - p
x = y

BAGAIMANA KALAU KITA COBA SEPERTI INI

A=3, B = 4, M = 1, N = 1, P = 1, Q = 1

ADA YANG BINGUNG

k =m

a mx + n = b px + r

l

l = k log m

a

mx

b

px

=

b

r

an

a

 bp


m

x


br
 =

an


Biasanya kita kerjakan

Ada yang bingung ????

Bagaimana kalau kita
Kerjakan seperti ini

a p log 2 x + b p loqx = q
Ingat ax +bx+c = 0
2

x1 .x2

c
= 10 a

c
x1 .x2 =
a

BAGAIMANA KALAU KITA KERJAKAN SPT INI

APA PENDAPAT ANDA ?????

ax + bx + c = 0
2

b
c
x + x+ =0
a
a
2

b
x1 + x2 = −
a

( x − x1 )( x − x2 ) = 0
x − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0
2

c
x1 x2 =
a

SEKARANG MISALKAN AKAR-AKAR PK YANG
BARU ADALAH x1 + s DAN X2 +s , MAKA PK
NYA MENJADI

x − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0
2

x − ( x1 + s + x2 + s )x + ( x1 + s ) .( x2 + s ) = 0
2

x − ( x1 + x2 )x − 2 sx + x1 x2 + ( x1 + x2 ) s + s = 0
2

2

c  b
 b
( x − s ) −  −  x + +  − s = 0
a  a
 a
c
2 b
( x − s ) +  ( x − s ) + = 0
a
a
2

a ( x − s ) + b( x − s ) + c = 0
2

Sekarang bagaimana dengan cepat menyelesaikan PK
yang akar-akarnya berkebalikan
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2x2 – 3x
+5=0
Boleh tak lansung saya buat 5x2 – 3x + 2 = 0
Kalau boleh kenapa, kalau tak boleh kenapa

ax + bx + c = 0
2

b
c
x + x+ =0
a
a
2

b
x1 + x2 = −
a

( x − x1 )( x − x2 ) = 0
x − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0
2

c
x1 x2 =
a

SEKARANG MISALKAN AKAR-AKAR PK YANG
BARU ADALAH 1/x1 dan 1/x2, berapa PK nya

Tentukanlah PK yang akar-akarnya berlawanan dengan
PK ax2 + bx + c = 0
Boleh tak ax2 - bx + c = 0
Kalau boleh kenapa, kalau tak boleh kenapa

KalauAKAR-AKARNYA n KALI BAGAIMANA
CARANYA
BOLEH TAK aX2 + nbX + cn2 = 0

TENTUKAN PK YANG AKAR-AKARNYA 3x1 + 5,
DAN 7x2 – 8. JIKA x1 DAN x2 ADALAH AKARAKAR DARI pk X2 – 11X – 26 = 0

BAGAIMANA DENGAN INI

SILAKAN KEMBANGKAN DENGAN BENTUK LAIN

MISALNYA SPT INI

BAGAIMANA KALAU
KITA KERJAKAN SPT INI

SEBELUM KITA BAHAS CARA CEPAT, COBA
SELESAIKAN TERLEBIH DAHULU DENGAN
CARA BIASA

BAGAIMANA KALAU KITA KERJAKAN SPT INI

Persoalan limit yang bisa dikerjakan Cara Cepat
lim

x→a

bx
c − dx + e

b − cx + d
lim
.
x →a
ex − f

. =  b × 2⋅c .


−d 

1

 −c 1
=
.
×
 e  2⋅b

lim

x→a

bx
c − dx + e

. =  b × 2⋅c .


−d 

1

KOK BISA, INGAT YANG DI ATAS
MESTI KITA PERUMUM

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN
x1 + x2 + x3 = ??????

Conect atau disconet ????
Ternyata sudah ada PK derajat 3 dalam soal UN
Ini salah satu hal yang perlu kita antisipasi
Dalam pengembangan kurikulum/bahan ajar

Misalkan dan dan adalah akar-akar dari persamaan
berpangkat tiga
a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0

atau bisa juga ditulis dengan
a2 2 a1
a0
x + x + x+
=0
a3
a3
a3
3

Maka diperoleh
( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 0
x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) x − x1 x2 x3 = 0

( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 0
x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) x − x1 x2 x3 = 0
a2
x1 + x2 + x3 = −
a3

a1
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
a3

x1 x2 x3 = −

a0
a3

Bagaimana kalau soalnya begini

Sin (α+β), tanpa didahului oleh
cos (α+β),
Misalkan ∠ BOC = α dan ∠ COD = β
Maka ∠ BOD = α + β
D

∠ OCD = 900
T

C

∠ OCT = ∠ CDT = α

β
O

α

A

B

AD AT + TD BC + TD BC TD
sin ( α + β ) =
=
=
=
+
OD
OD
OD
OD OD

D

T

C

β
O

α

A

B

AD AT + TD BC + TD BC TD
sin ( α + β ) =
=
=
=
+
OD
OD
OD
OD OD

BC OC TD CD
sin ( α + β ) =
.
+
.
OC OD CD OD

sin ( α + β ) = sin α . cos β + cos α . sin β

Review dulu :
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan
sejajar dengan garis y = 4x - 10

m = 4 melalui titik (2,3), berarti x1 = 2 dan y1 = 3
masukkan ke rumus y - y1 = m ( x − x1 )

Review 2 :
Tentukan persamaan garis lurus tegak lurus dengan garis
4x + 2y + 10 = 0 dan melalui titik (1,5)

berarti x1 = 1 dan y1 = 5
masukkan ke rumus y - y1 = m ( x − x1 )

Dengan nilai m = ????

AYOOOOO :
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,4)
membentuk sudut 300 dengan garis 2x + 4y - 5 = 0

BI NG U NG
MAKA JANGAN MENGHAPAL RUMUS
DAN CARA MENGERJAKANNYA
PAHAMI KONSEPNYA

Tantangan
Siapa yang bisa
1. menentukan asal muasal persamaan garis lurus yang
melalui titik P(x 1 , y 1 ) dan Q(x 2 , y 2 )

2. Dari mana asalnya sudut antara vektor u dan v adalah
cos θ =

u.v
u .v

Persamaan Garis
Untuk membentuk persamaan garis diperlukan
minimal dua titik. Garis merupakan tempat
kedudukan titik-titik. Jika suatu garis melalui titik A
(x1,y1) dan titik B (x2,y2), maka tentunya ada titik P (x,y)
yang terletak pada garis tersebut.
Secara vektor dituliskan : AP = k AB
P-A = k(B-A)
P = kB-(k-1)A

• B(x2,y2)
• P(x,y)

• A(x1,y1)

 x1 
 x   x2 
  = k   − ( k − 1 ) 
 y  y 
y 
   2
 1

Jadi titik P mempunyai koordinat :
x = k(x2 – x1) + x1
x − x1
k=

y = k(y2 – y1) + y1
x − x1
y − y1
=
x2 − x1 y 2 − y1

x2 − x1

y − y1
k=
y 2 − y1

Apa ini

Persamaan garis melalui dua titik

( x − x1 ) .( y 2 − y1 ) = ( y − y1 ) .( x2 − x1 )
( y2 − y1 ) x + x1 y1 − x1 y 2
y=
( x2 − x1 )
( x2 − x1 )

( y2 − y1 ) x + x1 y1 − x1 y 2
y=
( x2 − x1 )
( x2 − x1 )
sebut

( y2 − y1 )
m=
( x2 − x1 )

Dan

x1 y1 − x1 y 2
c=
( x2 − x1 )

Diperoleh y = mx + c
Apa anda tau apa persamaan apa itu

Mari kita perhatikan kembali persamaan
( x − x1 ) .( y 2 − y1 ) = ( y − y1 ) .( x2 − x1 )

( y 2 − y1 ) x + ( x1 − x2 ) y + x2 y1 − x1 y 2 = 0
ax + by + c = 0
Apalagi ini,
Ya, persamaan umum garis lurus

Kemiringan suatu garis lurus
P(x,y)

k.∆y

P2(x2,y2)
∆y
∆x
O

k.∆x

P1(x1,y1)
Bilangan arah [∆x, ∆y], [-∆x, -∆y],

[k.∆x, k∆y],

Cosines arahnya : u=[l,m], v=[-l,-m],
Apa nilai l dan m ????

Ayo, l = ? Dan m = ?
∆x
l=
( ∆x ) 2 + ( ∆y ) 2

m=

∆y

( ∆x )

2

P2(x2,y2)
∆y
∆x
O

P1(x1,y1)

jika u = [u1 , u 2 ], maka kosinus arah
u1
u2
nya adalah l = dan m =
u
u

+ ( ∆y )

2

contoh
Tentukan pasangan kosinus arah dari garis
yang melalui titik P1 (−1,2) dan P2 (2,−5)

penyelesian : u = p1p 2 = [3,−7]
3
−7
jadi l =
dan m =
58
58

Persamaan parameter suatu garis lurus

P1 P = t P1 P2
P2(x2,y2)

P1 P = [ x − x1 , y − y1 ]

P(x,y)

P1 P2 = [ x 2 − x1 , y 2 − y1 ]

O
P1(x1,y1)

Maka !

[ x - x , y − y ] = [ t ( x − x ) ,t ( y − y ) ]
1

Jadi

1

2

1

2

1

x − x1 = t ( x2 − x1 ) dan y − y1 = t ( y 2 − y1 )

Apa yang bisa anda simpulkan

x = x1 + t ( x 2 − x1 ) dan y = y1 + t ( y 2 − y1 )

persamaan parameter

karena ∆x = x 2 − x1 dan ∆y = y 2 − y1 , maka

x = x1 + t ∆x dan y = y1 + t ∆x
dari persamaan di atas apa yang dapat kita
simpulkan untuk persamaan garis lurus
x − x1
y − y1
t=
dan t =
(1)
∆x
∆y
Maka diperoleh :
x − x1
y − y1
=
(2)
x 2 − x1 y 2 − y1
Yang disebut persamaan garis lurus yang melalui
titik P1 ( x1 , y1 ) dan P2 ( x 2 , y 2 )

Malas pakai persamaan paramaeter
Ambil sebarang titik P(x,y) pada garis P1P2

x − x1
gradien garis P1 P =
y − y1

P(x,y)

O

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

x 2 − x1
gradien garis P1 P2 =
y 2 − y1

Gradiennya sama, maka

x − x1
x 2 − x1
=
y − y1 y 2 − y1

Atau

x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1

Jelaskan ide di atas berdasarkan
Konsep kesebangunan

P(x,y)

P2(x2,y2)

????
O

P1(x1,y1)

Ada Ide Lain

x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1

Sudut andara dua garis lurus
P2(l2,m2 )

y
P1(l1,m1 )

θ

x

O

Dari hukum cosinus berlaku :
|P1P2|2 = |OP1|2 + |OP2|2 -2|OP1|. |OP2| cos θ
Ingat |OP1| = |OP2| = 1, sehingga diperoleh

|P1P2 |2= 1 + 1 – 2 cos θ = 2 – 2 cos θ,
Ingat lagi bahwa : |P1P2 |2= (l2-l1)2 + (m2-m1)2,
Sehingga diperoleh :
2 cos θ = 2 - (l2-l1)2 + (m2-m1)2,
= 2 – 2 + 2(l1l2 – m1m2) . . . (dari mana sich)
Karena : l12 + m12 = 1 = l22 + m22
Maka :
cos θ = l1l2 +m1m2. apa maksudnya ini ??
Cosinus dari sudut antara dua vektor adalah sama dengan
jumlah hasil kali skalar dari masing-masing cosinus arah
kedua vektor tersebut :

Jadi,, jika
u = [u1 ,u 2 ] dan v = [v1 , v 2 ], maka berlaku
l1 =
l2 =

u1
2
u12 + u 2

v1
2
v12 + v 2

dan

m1 =

dan m 2 =

u2
2
u12 + u 2

v2
2
v12 + v 2

sehingga diperoleh
u1 v1 + u 2 v 2

u1 v1 + u 2 v 2
cos θ =
=
2
2
2
2
u .v
u1 + u 2 . v1 + v 2

dengan u = u12 + u 22 dan v = v12 + v 22

bahas soal - soal hal 63 s/d 65

Persoalan selanjutnya
Bagamana menentukan persamaan
garis lurus yang melalui suatu titik
dengan arah yang diketahui
y – y1 = m (x – x1), dari mana bok
datangnya
Silakan coba dari turunkan persamaan
garis melalui dua titik
Selanjutnya ingat titik potong garis
dengan sb x dan sb y,

Pertemuan 1 20 sept 2013

More Related Content

What's hot

Similar to Pertemuan 1 20 sept 2013

More from Frima Dona Spd

Pertemuan 1 20 sept 2013