Pt 2 matriks1-rev
Download as PPT, PDF•3 likes•3,605 views
Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom. Matriks dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan ditemukan inversnya jika memenuhi syarat tertentu. Determinan dan minor digunakan untuk menghitung invers matriks.
Pt 2 matriks1-rev
- 1. MATEMATIKA- IMATEMATIKA- I Oleh: Dr. Parulian Silalahi, M.Pd Matriks- 1Matriks- 1
- 2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom. Bentuk Umum: == mn n n nnn ij a a a aaa aaa aaa aA : ......... :::: ......... ........ 2 1 321 232221 131211
- 3. 2. Ordo Matriks Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m x n Contoh: Matriks A berordo 2x2 Matriks B berordo 2 x 3 = = 326 512 ; 43 12 BA
- 4. 3. Transpose matriks Transpose matriks A ( ditulis AT ) adalah pertukaran baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris Contoh: Tentukanlah transpose dari matriks berikut: Jawab: = = 241 635 ; 42 51 BA = = 26 43 15 ; 45 21 TT BA
- 5. 4. Kesamaan dua Matriks Dua buah matrisk A dan B dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama. Contoh: Matriks A= B − = − = 4 16 4 8 2 6 2 2 ; 42 31 BA
- 6. 5. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ordo yang sama Contoh: Diketahui; Tentukanlah : 1. A + B ; 2 . A – B Jawab: − − =− =+ 15 26 55 02 BABA − − =− =+ 15 26 55 02 BABA
- 7. 6. Perkalian Matriks a.Perkalian skalar pada matriks Contoh: diketahui: Tentukanlah : 1. -2 A ; 2. 1/5 A Jawab: − = 24 53 A = −− − =− − 5 2 5 4 5 5 5 3 5 1 )2 48 106 2)1 AA
- 8. b. Perkalian matriks dengan matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Contoh: Diketahui: Tentukanlah : 1. A x B ; 2. B x A 1. 2. B x A , tidak bisa dilakukan = = 412 310 ; 43 21 BA = = 2578 1134 412 310 43 21 AxB
- 9. 7. Determinan matriks a.Determinan matriks berordo 2 x 2 Jika matriks , maka determinannya adalah: det A = Contoh: Tentukan determinan matriks dari Jawab: det A = = dc ba A cbda dc ba .. −= 2354)1(3 14 53 −=×−−×= − − = 14 53 A
- 10. b. Determinan matriks berordo 3x3 Contoh: tentukanlah determinan matriks berikut: Jawab: = 012 302 111 A Aturan Sarrus Diagonal utama Diagonal samping (-) (-) (-) (+) (+) (+) 538 )0.2.11.3.12.0.1()1.2.12.3.10.0.1( 12 02 11 012 302 111 det =−= ++−++= =A
- 11. 8. Menghitung sistem persamaan linier dari dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan determinan Contoh: Tentukan harga x dan y dari dua persamaan berikut dengan menggunakan determinan 2x + y = 5 x-2y = 0
- 13. 9. Menghitung sistem persamaan linier dari tiga variabel (SPLTV) dengan menggunakan determinan Contoh: Selesaikan persamaan linier simultan berikut ini. 2 i1 + i2 - i3 = -2 2 i1 + 2 i2 + i3 = 0 3 i1 – i2 + 2 i3 = 9
- 16. Matriks 2 1. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2 Jika matriks A = dengan det A = ad-bc , maka invers dari matris A ditentukan oleh A-1 = Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0 dc ba − − − ac bd bcad 1
- 17. Langkah Penyelesaian 1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan 2. Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diubah. Jika elemen itu (+) diubah menjadi (-) dan jika elemen itu (-) diganti (+) 3. Matriks yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 di atas kemudian dibagi dengan determinan matriks persegi awal.
- 18. Tentukanlah invers matriks berikut ini. Jawab: Det A = Karena det A≠ 0 maka matriks A mempunyai invers. Invers dari A adalah − − = 24 35 A 212104).3()2.(5 24 35 =+−=−−−= − − = − − = − − − 2 5 2 4 2 3 2 2 1 54 32 2 1 A
- 19. 1. Menentukan invers suatu matriks berordo 3x3 a. Pengertian Minor Misalkan A adalah matriks persegi berordo tiga yang disajikan dalam bentuk: Jika elemen-elemen yang terletak pada baris ke –i dan kolom ke-j dari matriks A itu dihapuskan, maka diperoleh matriks berordo 2 x 2. = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A
- 20. Determinan dari matriks persegi berordo 2 x 2 yang diperoleh itu dinamakan minor dari matriks A, dilambangkan dengan |Mij| Minor dari determinan matriks A disebut sebagai minor aij. Contoh: Diketahui matriks A = Tentukanlah minor-minor dari matriks A. 341 431 321
- 23. b. Pengertian Kofaktor Jika |Mij| adalah minor dari aij dari matriks A, maka bentuk (-1)i+j |Mij| disebut kofaktor dari aij. Kofaktor dari aij dilambangkan dengan α ij. Jadi kofaktor aij dapat ditentukan dengan rumus αij = (-1)i+j |Mij|
- 24. Contoh: Kofaktor dari a11 adalah α11= (-1)1+1 |M11|= + |M11| Kofaktor dari a12 adalah α12= (-1)1+2 |M12|= - |M12| Kofaktor dari a13 adalah α13= (-1)1+3 |M13|= + |M13| Kofaktor dari a21 adalah α21= (-1)2+1 |M21|= - |M21| Kofaktor dari a22 adalah α22= (-1)2+2 |M22|= + |M22| Kofaktor dari a23 adalah α23= (-1)2+3 |M23|= - |M23| Kofaktor dari a31 adalah α31= (-1)3+1 |M31|= + |M31| Kofaktor dari a32 adalah α32= (-1)3+2 |M32|= - |M32| Kofaktor dari a33 adalah α33= (-1)3+3 |M33|= + |M33|
- 25. Matriks A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 dalam bentuk: Yang dimaksud dengan adjoin matriks A (disingkat: adj A) adalah juga suatu matriks yang ditentukan dalam bentuk: adj A = Dengan αij adalah kofaktor dari aij = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 332313 322212 312111 ααα ααα ααα c. Pengertian Adjoin Matriks berordo 3 x3
- 26. d. Invers matriks berorodo 3 x 3 Misalkan matriks A adalah matriks berorodo 3 x 3. Invers dari matriks A dirumuskan dengan aturan: 0det det 11 ≠=− AuntukAadj A A
- 27. Contoh: Tentukanlah invers matriks berikut. Jawab: Jadi matriks A mempunyai invers − = 021 130 121 A 1)023()020( 2 3 2 1 0 1 021 130 121 det −=++−−+−= −− =A
- 28. Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah: 2 02 12 3 21 30 1 01 10 2 02 13 21 13 12 11 =−= = − += −= − −= −=+= α α α α
- 30. Matriks adjoinnya: Adj A= = A-1 = 1/det A. adj A = 1/-1 = 332313 322212 312111 ααα ααα ααα − −− −− 343 111 122 − −− −− 343 111 122 −− − − 343 111 122
- 31. Penyelesaian persamaan matriks. Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 x 2 atau 3 x 3, dan A adalah matriks yang tak singular yang mempunyai invers, yaitu A-1 , maka: Penyelesaian persamaan matriks A.X = B ditentukan oleh X = A-1 . B Penyelesaian persamaan matriks X.A = B, ditentukan oleh: X = B.A-1
- 32. Contoh 1: Tentukanlah penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks. 4x + 5y = 17 2x + 3y = 11 Jawab: Langka awal untuk menyelesaikan bentuk persamaan diatas dengan metode invers matriks adalah dengan mengubah persamaan dalam bentuk persamaan matriks. = 11 17 32 54 y x
- 33. Langkah 2: Langkah 3: Langkah 4: X = -2 dan y = 5 25.23.4 32 54 det, 32 54 =−== = AmakaA − − =− 42 53 2 11 A − = − − = 5 2 11 17 42 53 2 1 y x
- 34. Contoh 2: Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan berikut: 2 i1 + i2 – i3 = 13 - i1 + 2 i2 + 3i3 = -9 4 i1 - i2 + 2i3 = 8 Dengan menggunakan metode invers matriks tentukanlah penyelesaian persamaan diatas.
- 35. Jawab: Langkah 1: Mengubah persamaan dalam bentuk matriks BIA i i i = −= − − − . 8 9 13 . 214 321 112 3 2 1 35)268()1128( 1 2 1 4 1 2 214 321 112 det =−−−−−+= − − − − − =A
- 36. Kofaktor- kofaktor dari matriks A 5 21 12 5 31 12 5 32 11 6 14 12 33 32 31 23 = − − += −= − − −= = − += = − −= α α α α 8 24 12 1 21 11 7 14 21 14 24 31 7 21 32 22 21 13 12 11 = − += −= − − −= −= − − += = − −= = − += α α α α α
- 37. Matriks adjoin : − − − = 567 5814 517 AAdj I = A-1 . B I = 1/det A . Adj A . B