Rで学ぶ逆変換（逆関数）法

第27回R勉強会＠東京(#TokyoR)

で学ぶ『逆(変換|関数)法』

@teramonagi

自己紹介
• @teramonagi
• 乱数を撒くお仕事
• C++・R・python・VBA・F#
• 数理物理・データ分析
季節の変わり目ですね。
ご自愛ください。
2

もくじ
• 乱数を撒くお仕事からの逆変換法
• 教科書的な逆変換法の説明
• Rで学ぶ逆変換法
• まとめ

3

自己紹介
• @teramonagi

•乱数を撒くお仕事
• C++・R・python・VBA・F#
季節の変わり目ですね。
ご自愛ください。
4

乱数を撒くお仕事
5

乱数を撒くお仕事
6

撒かれる乱数？
7

おじちゃん！
乱数はどこ
から仕入れ
てくるの？
8

八百屋・・・？
9

魚屋・・・？
10

雑貨屋・・・？
11

困ったわね…どこか
ら乱数を仕入れれ
ばいいのかしら…

12

君らエンジニア
じゃろう？無けれ
ば作りなさい！

CEOのアドバイス
13

乱数作り方、いろいろ

逆変換法マルコフ連鎖
モンテカルロ法
合成法
棄却採択法
重畳法

14

（今回の）前提条件
[0,1]の一様乱数はある
||
メルセンヌ・ツイスター
||
runif() 15

[0,1]の一様乱数（runif）
60

40
count

20

0
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
16

逆変換法とは
[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
変換 1
FX

FX からの乱数 x
17

逆変換法とは
[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
1
変換 FX
正規指数
分布二項
分布
分布 x
18

逆変換法とは
1. [0,1]区間の一様乱数 u を取得
1
2. x  FX u として x を計算 
3. x は累積分布関数 FXからの乱数

[0,1)の乱数変換 FX からの乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…)
1
u FX
x 19

（例）逆変換法で指数分布
• 累積分布関数 FX x 1  e   x

• 累積分布関数の逆関数を計算
u : FX x   1  e  x

1 log1  u 
Xに

x
ついて解く


F 1
X u    1 log1  u 
20

1. rand.exponential <- function(lambda, u)
2. {
3. - 1.0/lambda * log(1-u)
4. }
5. #λ=0.5とした指数分布に従う10000個生成
6. x <- sapply(runif(10000), function(u)rand.exponential(0.5,u))
7. #plot
8. qplot(x, geom = "blank") +
9. geom_histogram(aes(y=..density..),fill="bisque",colour="black") +
10. stat_function(fun=dexp,color="red",size=1,arg=list(rate=0.5)) +
11. scale_x_continuous(limits = c(0, 10))

21

0.5
Rで作った頻度分布 VS 実際の密度関数
0.4

0.3
density

0.2

0.1

0.0

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
x

22

何でこれでい
いんだろう？

23

もくじ
• まとめ

24

計算機シミュレーションのための
確率分布乱数生成法

2.2.1 逆関数法(Inverse Transform method)
25

パターン認識と機械学習下

11.1.1 標準的な分布
26

Rによるモンテカルロ法入門

2.1.2 逆変換
27

自然科学の統計学

11.4.1 逆関数法
28

そんなテキストらによくある証明


Pr X  x   Pr FX U   x 
1

 PrU  FX x   FX x 

29

(昔の俺)お手上げ

30

Yahoo知恵袋にも仲間が！

31

もう少し直感的な
説明が欲しいわね

32

もくじ
• まとめ

33

お題
カジノにいるSEが作る
ルーレット(二択) 34

ルーレットの設定（当選確率）

50% 50%
あたり
はずれ
35

うちのカジノで使う
からさ～逆変換法
でちょいちょいっと
作ってよ！ちょい
ちょいっと！

36

ええと・・・「０～１」まで
の数値をあたり・はず
れ共に50%になるよう
に変換するにはどうし
たら・・・

37

逆変換法的に考えて・・・
[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
変換 1
FX
あたり：50%
はずれ：50%
x
38

単純に考えて・・・

あたりはずれ

0.0 0.5 1.0
39

アルゴリズム的に考えて・・・

あたり if 0.0  u  0.5
,
結果  
はずれ, if 0.5  u  1.0
u～Uniform(0,1)

40

R的に考えて・・・
1.#uは一様乱数(runifの結果)
2.example.1 <- function(u)
3.{
4. if(u < 0.5){
5. "あたり"
6. }
7. else{
8. "はずれ"
9. }
10.}

41

こんな感じでPLOTしてます
1. library(grid)
2. library(ggplot2)
3. sampling <- function(size, generator)
4. {
5. data.frame(table(sapply(runif(size), unction(u)generator(u)),dnn=c("Result")))
6. }
7. plot.bar <- function(x,colors)
8. {
9. ggplot() +
10. geom_bar(data=x, aes(x=Result, y=Freq,fill=Result),width=.8) +
11. theme(
12. legend.key.size=unit(2,"cm"),
13. legend.text =element_text(size=20),
14. legend.title=element_text(size=20),
15. axis.text.x =element_text(size=25),
16. axis.text.y =element_text(size=25),
17. axis.title.x=element_text(size=25),
18. axis.title.y=element_blank()
19. ) +
20. scale_fill_manual(values=colors)
21. }
22. plot.bar(sampling(10,example.1),c("#4F81BD","#C0504D"))

42

10回回した結果
6
Result
4
あたり

2 はずれ

0
あたりはずれ
Result
44


40 Result

あたり

20
はずれ

0
あたりはずれ
Result
45

500
400 Result

300 あたり

200
はずれ
100
0
あたりはずれ
Result
46

大体50%ずつの確
率になってるね！
いいじゃないか！
儲けさせてもらっ
たよ！

47

今月末は還元祭だ
から確率いじって
よ！逆変換法で
ちょいちょいだろ！
ちょいちょい！

48

ルーレットの設定（当選確率）

30%

あたり 70%
はずれ
49

ええと・・・「０～１」まで
の数値をから、あたり
70%・はずれが30%に
なるように変換するに
はどうしたら・・・

50


あたりはずれ

0.0 0.7 1.0
51


あたり if 0.0  u  0.7 
,
結果  
はずれ, if 0.7  u  1.0
u～Uniform(0,1)

52

2.{
3. if(u < 0.7){
4. "あたり"
5. }
6. else{
7. "はずれ"
8. }
9.}

53

600
Result

400 あたり

200 はずれ

0
あたりはずれ
Result
55

大体あたり70%・
はずれ30%の確
率になってるね！
いいじゃないか！

56

プロジェクトの終了
57

束の間の休息…
58

But…
更なる嵐の予感…
59

新アトラクション導入！
くじ引き(三択) 60

新しくくじ引き入れ
るからさ～逆変換
法でちょいちょ
いっと頼むわ！
ちょいちょいっと！

61

くじ引きの設定

33% 33%
青
赤
緑
33%
62

ええと・・・「０～１」まで
の数値をから、青
33%・赤33% ・緑33%で
出るように変換するに

63

[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
変換 1
FX
青: 33%
赤：33%, 緑： 33%
x
64


青赤緑
0.0 0.333… 0.666… 1.0
(1/3) (2/3) 65

 1
青 , if  0  u  
 3
1 2
くじ赤 , if   u  
3 3

緑 , if  3  u  1
2 
 
u～Uniform(0,1) 66

2.{
3. if(u < 1/3){
4. "青"
5. }else if((1/3 <= 13 u) & (u < 2/3)){
1

6. "赤" 3

7. }else if((2/3 <= u) & (u < 1.0)){
8. "緑"
9. }
10.}

67

300 Result

青
200
赤

100
緑

0
青赤緑
Result
69

もっと儲けたい
からさ～くじに
細工してくれ
る？なぁに逆変
換法でちょい
ちょいだろ？

71


10%

青 70% 20%
赤
緑
72

ええと・・・「０～１」まで
の数値をから、青
10%・赤20%・緑70%で
出るように変換するに

73

[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
変換 1
FX
青: 10%
赤：20%, 緑： 70% x
74


青赤緑
0 0.1 0.3 1.0
(10%) (30%) 75

青, if 0.0  u  0.1
くじ赤, if 0.1  u  0.3
緑, if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 76

2.{
3. if(u < 0.1){
4. "青"
5. }else if((0.1 <= 13 u) & (u < 0.3)){
1

6. "赤" 3

7. }else if((0.3 <= u) & (u < 1.0)){
8. "緑"
9. }
10.}

77

600 Result

青
400
赤

200 緑

0
青赤緑
Result
79

儲かりすぎて笑い
が止まらないよ！
ハハハッハ！！

80

あのちょいちょい野郎
がいる限り僕のデスマ
は止まらない・・・なん
とか先回りしないと！

81

青, if 0.0  u  0.1
くじ赤, if 0.1  u  0.3
緑, if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 82

赤, if 0.1  u  0.3

83

0.1や0.3って
数字はどこか
ら来たのかし
ら・・・

84

赤, if 0.1  u  0.3

85

青が出る確率(10%)＋
赤が出る確率(20%)

赤, if 0.1  u  0.3
青が出る確率(10%)
86

青, if 0.0  u  0.1
くじ赤, if 0.1  u  0.3
緑, if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 87

緑, if 0.3  u  1.0
88

赤が出る確率(20%)＋
緑が出る確率(70%)
赤が出る確率(20%)
緑, if 0.3  u  1.0
89

何か法則性が
ありそうだな…

90

青, if 0.0  u  0.1
くじ赤, if 0.1  u  0.3
緑, if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 91

結果を文字式へ
x1 , if 0.0  u  0.1
X x2 , if 0.1  u  0.3
x3 , if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 92

確率を文字式へ
x1 , if 0  u  Px1 

X x2 , if Px1   u  Px1   Px2 

x3 , if Px1   Px2   u  Px1   Px2   Px3 

u～Uniform(0,1) 93

x1 , if 0  u  Px1 

x2 , if Px1   u  Px1   Px2 

x3 , if Px1   Px2   u  Px1   Px2   Px3 

94

和の記号（Σ）を使って書く
 
x 0 1
, if   Pxi   u   Pxi 
1  i1 i 1 

x 
2  i1
1 2

, if   Pxi   u   Pxi 
i 1 
 
x 2 3
, if   Pxi   u   Pxi 
3  i1 i 1 

95

和の記号（Σ）を使って書く
 
x 0 1
, if   Pxi   u   Pxi 
1  i1 i 1 

x 
2  i1
1 2
, if   Pxi   u   Pxi 
i 1


x  2 3
, if   pi  u   pi 
自分の番号(2)から1引いた数値
3  i1 i 1


(1)と同じ番号(2)で和をとる
96

素晴らしい洞察力！
でわ、これを一般化
してみよう！

97

題材
くじ引き(N択) 98

x1
x2
x3 x4
x5 x6
x7 x8
x9 x10
x11 x12
x13 x14
x15 x16
x17 x18
x19 x20
x21 x22
x23 x24
x25 x26
x27 …
x_N-1 xN
99


x1 x2 x3 x4 x5 x6 xN 1 xN
・・・

・・・

0 1.0
100

N択くじの2番目結果は？

x 
21

2  i1
2

, if   Pxi   u   Pxi 
i 1 
自分の番号から1引いた数値と
同じ番号で和をとる
101

N択くじのn番目結果は？

x 
n 1

n  i1
n

, if   Pxi   u   Pxi 
i 1 
自分の番号から1引いた数値と
同じ番号で和をとる
102

Nを∞にすると・・・
離散連続
xn x
P x  px dx
 

Nを∞にすると・・・

x 
n  i1
n 1

i 1
n

, if   Pxi   u   Pxi 

 
x x


 
x
, if   px'dx'  u   px'dx' 



104

FX x   px'dx'  u
x

1
両辺に F X かける

x  F u  1
X 105

逆変換法とは（再掲）
1

(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…)
1
u FX
x 106

逆変換法とは（再掲）
1

(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…)
1
u FX
x 107

ぎゃ、逆変換法
じゃねーか！

108

Congratulation!!!

109

まとめ
二択・三択の練習問題
一般化

N択のくじ引き
N→∞

逆変換法 110

Rで学ぶ逆変換（逆関数）法

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