Downloaded 285 times
Uploaded byYehezkiel Manopo
Sampel, fungsi distribusi, dan penarikan kesimpulannya
Dokumen ini menjelaskan konsep dasar statistik, terutama yang berkaitan dengan sampel, distribusi, dan pengujian hipotesis. Ditekankan bagaimana pengujian hipotesis dilakukan melalui percobaan binomial, distribusi peluang, dan analisis kesalahan dalam pengujian. Contoh konkret diberikan untuk menghitung peluang dan menguji hipotesis, mencakup rumus-rumus statistik yang relevan.
More Related Content
Similar to Sampel, fungsi distribusi, dan penarikan kesimpulannya
Sampel, fungsi distribusi, dan penarikan kesimpulannya
- 1. Anggota : M.Emirzaki M. Goldy M Rizky Ferdiansyah Yehezkiel Miracle
- 2.
- 3. SAMPEL, FUNGSI DISTRIBUSI, DAN PENARIKANKESIMPULAN Sampel dan Fungsi Distribusi Variabel Acak Fungsi Distribusi Binomial • Hanya memiliki 2 hasil • Peluang hipotesis sama • Independen Penarikan Kesimpulan Menyatakan Hipotesis Menentukan Tingkat Kesalahan Menyatakan Hipotesis Dilakukan Uji Hipotesis Uji Hipotesis Rata-rata Uji Hipotesis Persentase dilakukan pada digunakan untuk berupa disebut Memenu hi syarat
- 4. 1. Sampel, variabelacak, dan fungsi distribusi • Sampel merupakan bagian dari populasi, sedangkan populasi adalah himpunan semua unsur yang memiliki beberapa karakteristik yang sama. • Hasil pengukuran dari sampel itulah yang kemudian dijadikan penaksiran terhadap populasi, misalnya dari ribuan barang produksi diambil hanya 100 barang untuk diuji.
- 5. • Pemilihan secaraacak adalah pemilihan yang dilakukan di mana setiap unsur dalam suatu populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih. • Suatu eksperimen terdiri atas beberapa percobaan. Percobaan yang bersifat acak disebut eksperimen acak atau percobaan acak.
- 6. Eksperimen: satu buahmata uang logam dilemparkan sebanyak 3 kali, lalu ditentukan ruang sampelnya (contoh: AAG, AAA, GAG, GGA, GGG, AGA, AGG, GAG). Dan yang diperlukan adalah jumlah angka yang muncul dalam percobaan tersebut. Contoh:Jumlah sisi angka yang muncul frekuensi 0 1 1 4 2 2 3 1
- 7. Nah, dalam eksperimentersebut dapat disimpulkan bahwa 0, 1, 2, dan 3 adalah nilai yang didapat dari pemilihan satu sampel secara acak. Nilai-nilai itu pun tidak selalu sama tergantung dari hasil eksperimen. • Variabel seperti ini disebut variabel acak, yaitu variabel yang nilainya ditentukan berdasarkan hasil suatu percobaan. • Nilai peluang dari setiap variabel acak disebut fungsi peluang.
- 8. Berikut contoh variabelacak yang berupa jumlah mata dadu dan fungsi peluangnya untuk pengetosan 2 buah dadu. Perhatikan bahwa jika nilai semua fungsi dijumlahkan, hasilnya adalah 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 jmlh F(x) 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 36 36 = 1
- 9. 2. Percobaan daneksperimen binomial • Dalam setiap percobaan pasti selalu menghasilkan 2 hasil yang berbeda. • Misalnya, pada pengambilan sebuah kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, maka kemungkinan kartu yang terpilih dapat berupa “kartu as” atau “bukan kartu as”. Contoh lain adalah kualitas produk pabrik, dapat berupa “memenuhi standar kualiatas” atau “tidak memenuhi standar kualitas”.
- 10. • Dengan demikian,secara statistik dapat kita nyatakan salah satu dari hasil percobaan disebut “sukses”, dan hasil lainnya disebut “gagal”. “sukses-gagal” ini sangat bergantung jenis dan objek percobaannya. • Percobaan dengan 2 hasil tersebut (sukses-gagal) dikenal dengan istilah percobaan bernoulli atau percobaan binomial. Sedangkan serangkaian percobaan yang hanya terdiri dari percobaan-percobaan binomial disebut eksperimen bernoulli atau eksperimen binomial.
- 11. Suatu percobaan dinamakanpercobaan bernoulli jika dan hanya memiliki ciri-ciri: 1. Setiap percobaan hanya memiliki 2 hasil, yaitu sukses atau gagal 2. Peluang sukses untuk setiap percobaan harus sama, misalnya p 3. Setiap percobaan harus bersifat independen 4. Banyaknya rangkaian percobaan pada suatu percobaan bernoulli harus tertentu
- 12. • Pada percobaanbinomial, karena hasilnya hanya ada 2, yaitu “sukses” dan “gagal”, maka ruang sampelnya pun juga hanya dua, yaitu S (sukses) dan G (gagal), ditulis {S,G}. • Peluang dari kedua hasil tersebut adalah : P(S) = p P(G) = 1 – p , dgn 0 ≤ p ≤ 1 Jika 1 – p = q maka p + q = 1
- 13. 3. Distribusi binomial Sebuaheksperimen terdiri atas n percobaan binomial dengan peluang p untuk sukses dan q untuk gagal pada setiap percobaannya, maka fungsi peluang variabel x dapat dinyatakan dalam persamaan: b(x|𝑛, 𝑝) = 𝐶 𝑛 𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥, dengan x = 0, 1, 2, …, n
- 14. Keterangan : b(x|𝑛, 𝑝): peluang binomial x bila dilakukan n kali percobaan dengan peluang sukses adalah p. 𝐶 𝑛 𝑥 : kombinasi x unsur dari n unsur, yang dirumuskan dengan 𝐶 𝑛 𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! , dengan n! = 1 × 2 × 3 × … × x Perlu diingat pula bahwa 0! = 1 p : peluang sukses q : peluang gagal n : banyaknya percobaan
- 15. 1. Setelah dilakukanpenelitian bertahun-tahun terhadap hasil panen buah apel, diketahui dari setiap 1.200 buah apel yang dipanen akan terdapat 120 buah apel yang busuk. Jika diambil 4 buah apel secara acak, berapakah peluang ditemukannya: a. tidak ada buah apel yang busuk ? b. ada 1 buah apel yang busuk ? c. ada 2 buah apel yang busuk ? d. ada 3 buah apel yang busuk ? e. Semua buah apel busuk ?
- 16. Peluang ditemukannya buahapel yg busuk adalah 120 1.200 = 1 10 . Karena penelitian sudah dilakukan bertahun-tahun, maka kita anggap peluang tersebut konstan. Kita pilih peluang terambil apel yang busuk adalah p, dan peluang tidak terambil apel yang busuk adalah q. Dengan demikian, p = 1 10 dan q = 1 – p = 1 - 1 10 = 9 10
- 17. a) Peluang tidakada apel yang busuk adalah: b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 0 dan n = 4, yaitu b(0|4, 1 10 ) = 𝐶 4 0× ( 1 10 )0 × ( 9 10 )4 = 0,6561 b) Peluang ditemukan 1 apel yang busuk adalah: b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 1 dan n = 4, yaitu b(1|4, 1 10 ) = 𝐶 4 1× ( 1 10 )1× ( 9 10 )3 = 0,2916 c) Peluang ditemukan 2 apel yang busuk adalah: b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 2 dan n = 4, yaitu b(2|4, 1 10 ) = 𝐶 4 2× ( 1 10 )2× ( 9 10 )2 = 0,0486
- 18. d) Peluang ditemukan3 apel yang busuk adalah: b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 3 dan n = 4, yaitu b(3|4, 1 10 ) = 𝐶 4 3× ( 1 10 )3× ( 9 10 )1 = 0,0036 e) Peluang ditemukan semua apel busuk adalah: b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 4 dan n = 4, yaitu b(4|4, 1 10 ) = 𝐶 4 4× ( 1 10 )4 × ( 9 10 )0 = 0,0001
- 19. 4. Statistik deskriptifdistribusi binomial a) rata-rata (µ) µ = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) = 𝑥1 𝑓 𝑥1 +𝑥2 𝑓(𝑥2)+𝑥3 𝑓 𝑥3 +…+𝑥 𝑛 𝑓(𝑥 𝑛) Ket: 𝑥 merupakan variabel acak 𝑓 𝑥 merupakan peluang dari setiap variabel tersebut *Khusus untuk distribusi binomial, nilai rata-rata dapat dicari dengan rumus : µ = np
- 20. Data diambil daricontoh 1.2 Berapa rata-ratanya? Jawab : µ = 0 × (0,6561) + 1 × (0,291) + 2 × (0,0486) + 3 × (0,0036) + 4 × (0,0001) = 0,4 Atau dgn cara lain: Dik : n = 4 dan p = 0,1 Jawab : µ = np µ = 4 × (0,1) = 0,4
- 21. b) Varians dansimpangan baku - Varians (σ2 ) σ2 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2 𝑓(𝑥𝑖) - µ2 - Simpangan baku σ = σ2 Khusus untuk distribusi binomial, nilai varians dapat dihitung dengan cara lain : σ2 = npq
- 22. Data diambil daricontoh 1.2 a) Berapa nilai variansnya? b) Berapa nilai simpangan bakunya? Jawab : a) σ2 = 02 × (0,6561) + 12 × (0,291) + 22 × (0,0486) + 32 × (0,0036) + 42 × (0,0001) – (0,4)2 = 0,36 *dgn cara lain: σ2 = npq σ2 = 4 × (0,1) × (0,9) = 0,36 b) σ = 0,36 = 0,6
- 23. 1. Populasi dansampel • Populasi adalah keseluruhan unsur-unsur yang memiliki beberapa karakteristik yang sama. Misalnya populasi yang terdiri atas semua siswa SMAN dj indonesia. Populasi dapat berbentuk kriteria (kualitatif) atau angka (kuantitatif). • Untuk mengukur karakteristik dari suatu populasi, diperlukan observasi atau pengukuran, atau juga disebut dengan istilah sensus. • Penaksiran karakteristik dari suatu populasi berdasarkan pengukuran sampelnya disebut pengambilan atau penarikan kesimpulan
- 24. 2. Hipotesis • Tujuannyauntuk memfokuskan atau membatasi pengukuran sehingga hasilnya dapat lebih tepat sasaran, tidak melebar kemana-mana. • Dalam menguji suatu hipotesis, perlu dihindari kesalahan hasil pengujian. Kesalahan tersebut terdiri dari 2 macam, yaitu: a) Kesalahan jenis pertama (type-1 error), yaitu “bila menolak suatu hipotesis yang seharusnya diterima” b) Kesalahan jenis kedua (type-2 error), yaitu bila “menerima hipotesis yang seharusnya ditolak”
- 25. 3. Jenis-jenis hipotesis •Penelitian untuk menguji sebuah hipotesis yang selanjutnya disebut pengujian hipotesis pada ujungnya adalah kesimpulan untuk menerima atau menolak hipotesis yang telah ditetapkan sebelumnya. • Hipotesis yang mengandung pengertian sama atau tidak ada perbedaan dilambangkan (𝐻0). • Setiap penetapan suatu hipotesis, diperlukan hipotesis lain yang isinya berlawanan sebagai alternatif (dilambangkan 𝐻1).
- 26. • Misalnya yangakan diuji adalah parameter 𝜃 (berupa rata-rata, persentase, varians, dsb) terhadap nilai 𝜃0 yang diketahui. Pasangan hipotesis antara 𝐻0 dan 𝐻1 dapat dirumuskan sebagai berikut. a. 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0 𝐻1 : 𝜃 ≠ 𝜃 b. 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0 𝐻1 : 𝜃 > 𝜃 c. 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0 𝐻1 : 𝜃 < 𝜃 , atau , atau .
- 27. 4. Jenis-jenis pengujianhipotesis a. Uji 2 pihak Apabila hipotesis tandingan yaitu 𝐻1 mempunyai perumusan “tidak sama”, yaitu 𝐻1 : 𝜃 ≠ 𝜃 maka pengujian yang digunakan adalah uji 2 pihak. Luas daerah penolakan ini pada setiap ujungnya adalah 1 2 α . 𝑑1 𝑑2 Daerah penolakan 𝐻0 Luas : 1 2 α Daerah penolakan 𝐻0 Luas : 1 2 α Daerah penerimaa n 𝐻0
- 28. • Dari gambartersebut, 𝑑1dan 𝑑2 adalah batas-batas antara daerah penolakan dan daerah penerimaan. • Nilai α sudah ditentukan sebelumnya • Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “terima 𝐻0 jika nilai rasio uji berdasarkan sampel berada di daerah penerimaan, yaitu di antara 𝑑1dan 𝑑2. Jika tidak demikian maka 𝐻0 ditolak”
- 29. b. Uji 1pihak: pihak kanan Apabila hipotesis tandingan yaitu 𝐻1 mempunyai perumusan “lebih besar”, yaitu 𝐻1 : 𝜃 > 𝜃 maka pengujian yang digunakan adalah uji satu pihak, yaitu pihak kanan. Luas daerah penolakan adalah α. Daerah penerimaa n 𝐻0 Daerah penolakan 𝐻0 Luas : α 𝑑
- 30. • Dari gambartersebut, 𝑑 adalah batas-batas antara daerah penolakan dan daerah penerimaan 𝐻0 • Nilai α sudah ditentukan sebelumnya • Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “tolak 𝐻0 jika nilai rasio uji berdasarkan sampel tidak kurang dari 𝑑 . Jika tidak demikian maka 𝐻0 ditolak”
- 31. c. Uji 1pihak: pihak kiri Apabila hipotesis tandingan yaitu 𝐻1mempunyai perumusan “lebih kecil”, yaitu 𝐻1 : 𝜃 < 𝜃 maka pengujian yang digunakan adalah uji satu pihak, yaitu uji pihak kiri. Luas daerah penolakan adalah α. Daerah penerimaa n 𝐻0 Daerah penolakan 𝐻0 Luas : α
- 32. • Dari gambartersebut, 𝑑 adalah batas-batas antara daerah penolakan dan daerah penerimaan 𝐻0 • Nilai α sudah ditentukan sebelumnya • Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “terima 𝐻0 jika nilai rasio uji berdasarkan sampel tidak lebih besar dari 𝑑 . Jika tidak demikian maka 𝐻0 ditolak”
- 33. 5. Menentukan distribusipengujian yang digunakan • Untuk menguji hipotesis, diperlukan nilai-nilai distribusi- distribusi probalbilitas atau distribusi peluang secara teoritis • Nilai-nilai tersebut disajikan dalam bentuk tabel dan merupakan nilai-nilai standar penelitian • Nilai-nilai probabilitas yang paling sering digunakan adalah distribusi normal (z) dan distribusi student (t) • Pengujian hipotesis yang dipelajari pada bab ini adalah pengujian rata-rata dan pengujian persentase. Apabila nilai simpangan baku populasi sudah diketahui maka yang digunakan adalah distribusi-z
- 34. • Apabila nilaisimpangan baku populasi tidak diketahui, dapat digunakan nilai varians atau simpangan baku sampel. Dan distribusi yang digunakan adalah distribusi-t • Pada distribusi-t, perlu ditentukan terlebih dahulu nilai derajat kebebasannya, yaitu dk = n -1, dengan n adalah banyak sampel yang digunakan
- 35. 6. Menghitung nilairasio uji • Rasio uji adalah hasil perbandingan data statistik sampel yang telah dihitung dengan data populasi. • Ada 2 jenis uji hipotesis: a. uji hipotesis rata-rata b. uji hipotesis persentase
- 37. a. Uji hipotesisrata-rata • Rasio uji (RU) untuk uji hipotesis rata-rata populasi yang menggunakan tabel-z adalah RU = 𝑛( 𝑥 − µ 𝐻0 ) σ • ket: n = banyaknya sampel 𝑥 = rata-rata sampel µ 𝐻0 = rata-rata asumsi populasi yang dinyatakan pada 𝐻0 σ = simpangan baku atau deviasi standar populasi
- 38. • jika simpanganbaku populasi tidak diketahui, maka rumus yang digunakan adalah RU = = 𝑛( 𝑥 − µ 𝐻0 ) 𝑠 • ket : s = simpangan baku sampel
- 39. Direktur pemasaran sebuahperusahaan minuman mengatakan bahwa rata-rata produk minuman yang terjual setiap harinya adalah 2.000 botol. Seorang wartawan ingin menguji pernyataan direktur pemasaran itu. Ia memeriksa catatan perusahaan, dan adalah 150 botol, lalu melakukan penelitian selama 49 hari. Dia mencatat bahwa jumlah penjumlahan rata-rata per hari adalah 1.950 botol. Dengan menggunakan tingkat kesalahan 𝛼 = 0,05, apa kesimpulan yang dapat ditarik oleh wartawan itu?
- 40. Diketahui : µ 𝐻0 =2.000 σ = 150 𝛼 = 0,05 𝑥 = 1.950 n = 49 Jawab : Langkah 1 : merumuskan hipotesis Hipotesis : • 𝐻0 : µ = 2.000, artinya rata-rata produk minuman yang terjual setiap hari adalah 2.000 botol • 𝐻0 : µ ≠ 2.000, artinya rata-rata produk minuman yang terjual setiap hari bukan 2.000 botol
- 41. Langkah 2 :menentukan tabel yang digunakan • Karena simpangan baku populasi diketahui maka tabel distribusi yang digunakan adalah tabel distribusi normal (tabel-z) Langkah 3 : menentukan batas-batas daerah penolakan hipotesis • Karena 𝐻0 : µ ≠ 2.000 maka uji yang dilakukan adalah uji 2 pihak • Luas daerah penolakan uji 2 pihak = 1 2 α = 1 2 x 0,05 = 0,025
- 42. • Dari tabeldistribusi-z (slide ke-36), batas yang bersesuaian adalah ±𝛼 = 𝑧0,025 = ±1,96 0,025 0,025 Daerah penerimaan 𝑯 𝟎 -1,96 +1,96
- 43. Langkah 4 :menentukan kriteria pengambilan kesimpulan
- 44. b. Uji hipotesispersentase • RU = 𝑝 − 𝜋 𝐻0 σ 𝑝 = 𝑝 − 𝜋 𝐻0 𝜋 𝐻0 (100−𝜋 𝐻0 ) 𝑛 • ket: : 𝑝 = persentase sampel 𝜋 𝐻0 = persentase asumsi populasi yang dinyatakan dlm 𝐻0