単調回帰を用いた一般化トレンド・ファクター：暗号資産市場への応用 SigFin発表スライド
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人工知能学会金融情報学研究会（SigFin）発表スライド
![Overview
1
✔ 本研究では、[Han,2016]のトレンド・ファクターの拡張を行い、一般化トレンド・ファク
ターを提案する。具体的にはモメンタム、リバーサル、移動平均、指数移動平均を含む
広い意味でのトレンドを捉えることができるファクターである。
✔ 一般化トレンド・ファクターの特徴は、定常性をもつ一般化トレンド・シグナルによって
定義され、単調回帰によってパラメータは高速に推定可能である。また、理論的にはテク
ニカル投資家が存在する市場では、一般化トレンド・ファクターは期待リターンのドライ
バー（ファクター）である。
✔ (テクニカル投資家が存在する)暗号資産市場をユニバースとする実証分析によって、
時系列方向、クロスセクション方向の両方で一般化トレンド・ファクターの有効性が確
認できる。](https://image.slidesharecdn.com/generalizedtrendfactorslide-240607062448-23a260a0/85/SigFin-2-320.jpg)
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トレンド・ファクター
✔ トレンド・ファクターはトレンド・シグナルから構成されるファクター [Han,2016]。
単純平均 𝐴𝑡,𝑙 =
𝑃𝑡 + 𝑃𝑡−1 + ⋯ + 𝑃𝑡−𝑙+1
𝑙
正規化
𝑇𝑡,𝑙 ≔
𝐴𝑡,𝑙
𝑃𝑡
𝑡
𝑃𝑡
𝐿 = 3個
𝑟𝑡+1 = 𝛼 +
𝑙∈𝐿
𝛽𝑙𝑇𝑡,𝑙 + 𝜀𝑡
Ƹ
𝑟𝑡+1 = ො
𝛼 +
𝑙∈𝐿
𝛽𝑙𝑇𝑡,𝑙
ラグ𝑙のトレンド・シグナル
ラグ𝐿のトレンド・ファクター
回帰でパラメータを推定
Step1:トレンド・シグナルの構築
Step2:トレンド・ファクターの推定
𝑙 = 5
𝑙 = 20
𝑙 = 40](https://image.slidesharecdn.com/generalizedtrendfactorslide-240607062448-23a260a0/85/SigFin-5-320.jpg)
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一般化トレンド・ファクター(推定方法)
✔ 最適化問題の解法
(a)非負最小二乗法
(b)近接勾配法
min
𝛽
𝐿 𝜷 = 𝒚 − 𝛼 − 𝑿𝜷 2
2 𝑠. 𝑡. , 𝛽𝑗 ≥ 𝛽𝑘 ≥ 0, 𝑗 ≤ 𝑘
𝒚 = 𝒚𝒕 = Δ𝑃𝑡, … , Δ𝑃𝑡−𝑇
𝑇
𝑿 = 𝒚𝑡−1, … , 𝒚𝑡−𝐾
𝑇
𝜷 = 𝛽1, … , 𝛽𝐾
𝑇
𝑫 =
1 ⋯ 1
⋱ ⋮
0 1
𝒛 = 𝛽1 − 𝛽2, … , 𝛽𝐾−1 − 𝛽𝐾, 𝛽𝐾
𝑇
min
𝛽
𝒚 − 𝛼 − 𝑿𝑫𝒛 2
2 𝑠. 𝑡. , 𝒛 ≥ 0
上三角行列
min
𝛽
𝐿 𝜷 + 𝜆
𝑗=1
𝐾
𝛽𝑗+1 − 𝛽𝑗 +
+ 𝜆 𝛽𝐾 +
に対して、加速近接勾配法または、近単調回帰として高速に解くことができる[Minami,2020]。
と置いて
と置いて](https://image.slidesharecdn.com/generalizedtrendfactorslide-240607062448-23a260a0/85/SigFin-11-320.jpg)
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一般化トレンド・ファクター(理論的性質)
定理1:
テクニカル投資家を市場に含むことで、株価リターンが一般化トレンド・シグナルが
プライシングされ（ファクター）、リターンが予測可能になる。
以下の経済[Wang,1993]を仮定する。このとき、均衡状態においてリターンは
𝑟𝑡+1 = 𝑐 + 𝛽
𝐺𝑡,𝐿
𝑃𝑡
𝑑𝜋𝑡 = 𝛼𝜋 ത
𝜋 − 𝜋𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝜋𝑑𝐵𝑡
(2)
𝑑𝐷𝑡 = 𝜋𝑡 − 𝛼𝐷𝐷𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝐷𝑑𝐵𝑡
(1)
𝑑𝜃𝑡 = −𝛼𝜃𝜃𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝜃𝑑𝐵𝑡
(3)
𝑀𝑡 ≔ න
−∞
𝑡
exp 𝛼 𝑡 − 𝑠 𝑃𝑠𝑑𝑠
配当過程
平均配当過程
供給過程
指数加重平均過程
テクニカル投資家
情報投資家
𝑤
1 − 𝑤
と連続表現の一般化トレンド・シグナル𝐺𝑡,𝐿を用いて記述できる。
経済:
𝐺𝑡,𝐿は𝑀𝑡の離散近似とみることができる。](https://image.slidesharecdn.com/generalizedtrendfactorslide-240607062448-23a260a0/85/SigFin-12-320.jpg)
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実証分析（分析結果）
✔ クロスセクション、時系列のそれぞれの結果は次の通り
クロスセクション方向のポートフォリオ 時系列方向のポートフォリオ
・Mom30の結果が良好であり、AR、R/R、CR、TRの評
価指標で最も良い結果となっており、[Liu,2022]と同じくク
ロスセクションでの有効性が確認できる。
・提案手法はAR、R/R、CR、TRの評価指標で最も良
い結果。（同様の水準＝結果が安定している）
・提案手法は、AR、R/R、CR、TRの評価指標で二番目
に良い結果となっており、全体的に良好なパフォーマンス。 ・一方で、 [Liu,2021]とは異なり、時系列モメンタム
効果が確認できない。
・TrendもRiskが最もよく、AR、R/R、CR、TRについ
ても二番目に良い結果になっている。](https://image.slidesharecdn.com/generalizedtrendfactorslide-240607062448-23a260a0/85/SigFin-17-320.jpg)
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参考文献
Han, Y., Zhou, G., & Zhu, Y. (2016). A trend factor: Any economic gains from using
information over investment horizons?. Journal of Financial Economics, 122(2), 352-375.
[Han,2016]
Minami, K. (2020). Estimating piecewise monotone signals. Electronic Journal of
Statistics, 14, 1508-1576.
[Wang,1993]
[Liu,2022]
[Liu,2021]
[Minami,2020]
Wang, J. (1993). A model of intertemporal asset prices under asymmetric information. The
Review of Economic Studies, 60(2), 249-282.
Liu, Y., Tsyvinski, A., & Wu, X. (2022). Common risk factors in cryptocurrency. The Journal of
Finance, 77(2), 1133-1177.
Liu, Y., & Tsyvinski, A. (2021). Risks and returns of cryptocurrency. The Review
of Financial Studies, 34(6), 2689-2727.](https://image.slidesharecdn.com/generalizedtrendfactorslide-240607062448-23a260a0/85/SigFin-20-320.jpg)
単調回帰を用いた一般化トレンド・ファクター：暗号資産市場への応用 SigFin発表スライド
- 1. The views expressed here are our own and do not necessarily reflect the views of Nomura Asset management. Any errors and inadequacies are our own. 金融情報学研究会(SigFin) セッション4:機械学習1 2023/10/14(土) 15:00- 単調回帰を用いた一般化トレンド・ファクター: 暗号資産市場への応用 a. 野村アセットマネジメント株式会社 b. 株式会社Preferred Networks 中川 慧、 南 賢太郎 a b 資産運用先端技術研究部 リサーチフェロー
- 2. Overview 1 ✔ 本研究では、[Han,2016]のトレンド・ファクターの拡張を行い、一般化トレンド・ファク ターを提案する。具体的にはモメンタム、リバーサル、移動平均、指数移動平均を含む 広い意味でのトレンドを捉えることができるファクターである。 ✔ 一般化トレンド・ファクターの特徴は、定常性をもつ一般化トレンド・シグナルによって 定義され、単調回帰によってパラメータは高速に推定可能である。また、理論的にはテク ニカル投資家が存在する市場では、一般化トレンド・ファクターは期待リターンのドライ バー（ファクター）である。 ✔ (テクニカル投資家が存在する)暗号資産市場をユニバースとする実証分析によって、 時系列方向、クロスセクション方向の両方で一般化トレンド・ファクターの有効性が確 認できる。
- 5. 4 トレンド・ファクター ✔ トレンド・ファクターはトレンド・シグナルから構成されるファクター [Han,2016]。 単純平均 𝐴𝑡,𝑙 = 𝑃𝑡 + 𝑃𝑡−1 + ⋯ + 𝑃𝑡−𝑙+1 𝑙 正規化 𝑇𝑡,𝑙 ≔ 𝐴𝑡,𝑙 𝑃𝑡 𝑡 𝑃𝑡 𝐿 = 3個 𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝑙∈𝐿 𝛽𝑙𝑇𝑡,𝑙 + 𝜀𝑡 Ƹ 𝑟𝑡+1 = ො 𝛼 + 𝑙∈𝐿 𝛽𝑙𝑇𝑡,𝑙 ラグ𝑙のトレンド・シグナル ラグ𝐿のトレンド・ファクター 回帰でパラメータを推定 Step1:トレンド・シグナルの構築 Step2:トレンド・ファクターの推定 𝑙 = 5 𝑙 = 20 𝑙 = 40
- 6. 5 トレンド・ファクターの課題点 課題1: 𝑃𝑡が単位根過程である場合には、トレンド・シグナルは非定常(定常ではない)。 𝑇𝑡,𝑙 ≔ 𝐴𝑡,𝑙 𝑃𝑡 ・・・𝑃𝑡は非定常であるが、差分𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1が定常になる 非定常性を持つ変数の回帰には様々な問題が生じる。 資産価格𝑃𝑡は単位根過程であり、 差分をとってないので、𝑇𝑡,𝑙は一般には定常とはならない。 ✔ シグナルに定常性を持たせること、より効果的なシグナルを生成することを目指す 課題2: シグナルの作成方法 ・𝐿の選択に恣意性が残る。 ・単純平均よりも効果的なシグナルの作成が可能ではないか（銘柄ごとに異なるラグ）。 本研究では、
- 8. 7 一般化トレンド・ファクター ✔ 一般化トレンド・ファクターは一般化トレンド・シグナルから構成される。 加重平均 𝑀𝑡,𝐿 = 𝑤0𝑃𝑡 + 𝑤1𝑃𝑡−1 + ⋯ + 𝑤𝐿−1𝑃𝑡−𝐿+1 𝑤0 + 𝑤1 + ⋯ + 𝑤𝐿−1 = σ𝑙=0 𝐿−1 𝑤𝑙𝑃𝑡−𝑙 σ𝑙=0 𝐿−1 𝑤𝑙 𝐺𝑡,𝐿 ≔ 𝑃𝑡 − 𝑀𝑡,𝐿 ✔ シグナルの解釈は現在のプライス𝑃𝑡がトレンド𝑀𝑡,𝐿からどれくらい乖離しているのか ラグ𝐿の一般化トレンド・シグナル𝐺𝑡,𝐿 𝑤𝑙 ≥ 0を用いて加重平均𝑀𝑡,𝐿を計算する。 ✔ ∀𝑙, 𝑤𝑙 = 1のとき、トレンド・シグナル(単純平均)。 1𝑤𝐿−1 で、モメンタム。 指数加重平均も含む。
- 9. 8 一般化トレンド・ファクター（差分表現） ∆𝑃𝑡−𝑙 𝑃𝑡−𝑙 = 𝑃𝑡 − 𝑃𝑡 + 𝑃𝑡−1 − 𝑃𝑡−1 + ⋯ + 𝑃𝑡−𝑙 = 𝑃𝑡 − 𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1 − ⋯ − (𝑃𝑡−𝑙+1 − 𝑃𝑡−𝑙) = 𝑃𝑡 − 𝑗=1 𝑙 ∆𝑃𝑡−𝑗 ∆𝑃𝑡−1 𝑀𝑡,𝐿 = σ𝑙=0 𝐿−1 𝑤𝑙𝑃𝑡−𝑙 σ𝑙=0 𝐿−1 𝑤𝑙 = 𝑃𝑡 − σ𝑗=1 𝐿−1 (σ𝑙=𝑗 𝐿−1 𝑤𝑙)Δ𝑃𝑡−𝑗 σ𝑙=0 𝐿−1 𝑤𝑙 = 𝑃𝑡 − 𝑗=1 𝐿−1 𝛽𝑗Δ𝑃𝑡−𝑗 𝐺𝑡,𝐿 = 𝑃𝑡 − 𝑀𝑡,𝐿 = 𝑗=1 𝐿−1 𝛽𝑗Δ𝑃𝑡−𝑗 ✔ 一般化トレンド・シグナルを式変形する（差分形式を得る） 𝑮𝒕,𝑳の差分表現を得ることができた！ 𝛽𝑗, 𝛽𝑗 ≥ 𝛽𝑘 ≥ 0, 𝑗 ≤ 𝑘 命題1:一般化トレンド・シグナル𝐺𝑡,𝐿は定常である。（定常の線形和は定常） →トレンド・ファクターの課題1の解決 𝛽𝑗 ① ② ③
- 10. 9 一般化トレンド・ファクター（構成） Δ𝑃𝑡 = 𝛼 + 𝑗=1 𝐿−1 𝛽𝑗Δ𝑃𝑡−𝑗 + 𝜀𝑡 Δ𝑃𝑡 = 𝛼 + 𝐺𝑡,𝐿 + 𝜀𝑡 Δ 𝑃𝑡 = min 𝛽 𝑡 Δ𝑃𝑡 − 𝛼 − 𝑗=1 𝐾 𝛽𝑗Δ𝑃𝑡−𝑗 2 𝑠. 𝑡. , 𝛽𝑗 ≥ 𝛽𝑘 ≥ 0, 𝑗 ≤ 𝑘 Ƹ 𝑟𝑡+1 = Δ 𝑃𝑡 𝑃𝑡 = 𝑐 + 𝐺𝑡,𝐿 𝑃𝑡 ✔ 一般化トレンド・ファクターの構成（回帰） ⇔ ✔ 十分大きな𝐾 ≫ 𝐿対して、以下の最適化問題（単調回帰）を解いてパラメータを推定。 ・・・自然に係数のスパース性が入っている！ 一般化トレンド・ファクター →トレンド・ファクターの課題2の解決
- 11. 10 一般化トレンド・ファクター(推定方法) ✔ 最適化問題の解法 (a)非負最小二乗法 (b)近接勾配法 min 𝛽 𝐿 𝜷 = 𝒚 − 𝛼 − 𝑿𝜷 2 2 𝑠. 𝑡. , 𝛽𝑗 ≥ 𝛽𝑘 ≥ 0, 𝑗 ≤ 𝑘 𝒚 = 𝒚𝒕 = Δ𝑃𝑡, … , Δ𝑃𝑡−𝑇 𝑇 𝑿 = 𝒚𝑡−1, … , 𝒚𝑡−𝐾 𝑇 𝜷 = 𝛽1, … , 𝛽𝐾 𝑇 𝑫 = 1 ⋯ 1 ⋱ ⋮ 0 1 𝒛 = 𝛽1 − 𝛽2, … , 𝛽𝐾−1 − 𝛽𝐾, 𝛽𝐾 𝑇 min 𝛽 𝒚 − 𝛼 − 𝑿𝑫𝒛 2 2 𝑠. 𝑡. , 𝒛 ≥ 0 上三角行列 min 𝛽 𝐿 𝜷 + 𝜆 𝑗=1 𝐾 𝛽𝑗+1 − 𝛽𝑗 + + 𝜆 𝛽𝐾 + に対して、加速近接勾配法または、近単調回帰として高速に解くことができる[Minami,2020]。 と置いて と置いて
- 12. 11 一般化トレンド・ファクター(理論的性質) 定理1: テクニカル投資家を市場に含むことで、株価リターンが一般化トレンド・シグナルが プライシングされ（ファクター）、リターンが予測可能になる。 以下の経済[Wang,1993]を仮定する。このとき、均衡状態においてリターンは 𝑟𝑡+1 = 𝑐 + 𝛽 𝐺𝑡,𝐿 𝑃𝑡 𝑑𝜋𝑡 = 𝛼𝜋 ത 𝜋 − 𝜋𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝜋𝑑𝐵𝑡 (2) 𝑑𝐷𝑡 = 𝜋𝑡 − 𝛼𝐷𝐷𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝐷𝑑𝐵𝑡 (1) 𝑑𝜃𝑡 = −𝛼𝜃𝜃𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝜃𝑑𝐵𝑡 (3) 𝑀𝑡 ≔ න −∞ 𝑡 exp 𝛼 𝑡 − 𝑠 𝑃𝑠𝑑𝑠 配当過程 平均配当過程 供給過程 指数加重平均過程 テクニカル投資家 情報投資家 𝑤 1 − 𝑤 と連続表現の一般化トレンド・シグナル𝐺𝑡,𝐿を用いて記述できる。 経済: 𝐺𝑡,𝐿は𝑀𝑡の離散近似とみることができる。
- 13. もくじ 12 ✔ 準備 ・トレンドファクター ✔ 提案手法 ・一般化トレンド・ファクター ・理論的性質 ・推定手法 ✔ 実証分析 ✔ まとめ
- 14. 13 実証分析（データセット） ✔ モメンタム、トレンド・ファクター、一般化トレンド・ファクターの有効性を時系列/ クロスセクションの両方で暗号資産を対象に検証。 ✔ データセット ユニバース:DataStreamで定義された Crypt Universe の、 2023/7/31で利用可能な30通貨 データ期間: 2015/1/29(5通貨が利用可能) ~2023/7/31 ポートフォリオ構築期間 (Out-of-sample): 2017-1-31~2023/7/31
- 15. 14 ✔ 各ファクターの構築については以下の通り。 ・一般化トレンド・ファクター(提案手法):ラグ𝐾 = 30(1か月)とし、 ファクターの推定期間 は2年(24か月)分のデータを利用した。 実証分析（ファクター構成） ✔ 各ファクターは1ヵ月 (月末) ごとに推定を行い、それに基づいてリバランスし、Out-of- sample期間にわたってリターンを計測する。 ・モメンタム:過去𝑁日リターンをファクターとして用いる。 𝑁 = 3, 5, 10, 20, 30とし、それぞれ、Mom3, Mom5, Mom10, Mom20, Mom30 と表記する。 ・トレンド・ファクター:ラグ𝐿 = 3, 5, 10, 20, 30 としたトレンド・ファクターとし、ファクターの推 定期間は2年 (24か月)分のデータを利用し、Trend と表記する。
- 16. 15 実証分析（ポートフォリオ構築） ・クロスセクション ・時系列 𝑤𝑖,𝑡 = 𝑧𝑡 rank 𝑀𝑖,𝑡 − 𝑁𝑡 + 1 2 𝑤𝑖,𝑡 = 𝑧𝑡 sign 𝑀𝑖,𝑡 ✔ 各ファクター𝑀𝑖,𝑡に対して次のクロスセクション、時系列の二種類のポートフォリオを構築する 𝑁𝑡:時点tで投資可能な暗号資産数 スコアの真ん中でＬ/Sが切り替わる、スコアに比例したポートフォリオ スコアの正負でＬ/Sが切り替わるポートフォリオ 𝑧𝑡:レバレッジが1になるような係数 ✔ 評価指標は年率リターン(AR)、年率リスク(RISK)、年率リスク・リターン(R/R)、最大ド ローダウン(MaxDD)、カルマーレシオ(CR=AR/MaxDD)、累積リターン(TR)
- 17. 16 実証分析（分析結果） ✔ クロスセクション、時系列のそれぞれの結果は次の通り クロスセクション方向のポートフォリオ 時系列方向のポートフォリオ ・Mom30の結果が良好であり、AR、R/R、CR、TRの評 価指標で最も良い結果となっており、[Liu,2022]と同じくク ロスセクションでの有効性が確認できる。 ・提案手法はAR、R/R、CR、TRの評価指標で最も良 い結果。（同様の水準＝結果が安定している） ・提案手法は、AR、R/R、CR、TRの評価指標で二番目 に良い結果となっており、全体的に良好なパフォーマンス。 ・一方で、 [Liu,2021]とは異なり、時系列モメンタム 効果が確認できない。 ・TrendもRiskが最もよく、AR、R/R、CR、TRについ ても二番目に良い結果になっている。
- 18. 17 実証分析（分析結果） ✔ 一般化トレンド・ファクターのスパース性の確認 ・図から、時点によって非ゼロの数が異なる、 すなわち、 時点によって使用するシグナル の数が動的に変わっており、単調回帰のス パース性が確認できる。 図.BTC の一般化トレンド・ファクターの非ゼロの係数𝜷の時系列推移。 ・7(1週間),14(2週間),30(1ヶ月)のような、 基本的な周期の部分を境にゼロになっている。 →有効なシグナルの周期性
- 20. 19 参考文献 Han, Y., Zhou, G., & Zhu, Y. (2016). A trend factor: Any economic gains from using information over investment horizons?. Journal of Financial Economics, 122(2), 352-375. [Han,2016] Minami, K. (2020). Estimating piecewise monotone signals. Electronic Journal of Statistics, 14, 1508-1576. [Wang,1993] [Liu,2022] [Liu,2021] [Minami,2020] Wang, J. (1993). A model of intertemporal asset prices under asymmetric information. The Review of Economic Studies, 60(2), 249-282. Liu, Y., Tsyvinski, A., & Wu, X. (2022). Common risk factors in cryptocurrency. The Journal of Finance, 77(2), 1133-1177. Liu, Y., & Tsyvinski, A. (2021). Risks and returns of cryptocurrency. The Review of Financial Studies, 34(6), 2689-2727.