확률변수와 분포함수

확률 변수와 분포

R과 함께하는 기초통계

용어
• 확률 실험(Random Experiment)
– 모집단으로부터 표본을 임의로 추출하는 과정
– 대문자 X, Y, Z 등으로 표기
– Ex) 아파트 단지내의 1000세대의 각 가정에 있는 TV
수를 조사하기 위해 가정 한곳을 임의로 선정
• 확률 변수(Random Variable)
– 확률 실험의 결과
– 이 결과는 실험에 따라 다르게 나타난다.
– Ex) 앞선 조사를 X라 하면 X는 0, 1, 2, 3의 값중에 하
나를 갖게 된다.

한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)

예제 - 두 개의 공정한 동전을 던지는 시행

• 앞면이 나오는 횟수를 X, 즉 확률변수
– 표본공간 : S = {HH, HT, TH, TT}
– 확률 변수 X의 출현 가능한 값
• X(HH) = 2
• X(HT) = X(TH) = 1
• X(TT) = 0

• 𝑃𝑥 0 = 𝑃 𝑋=0 = 𝑃 𝑇𝑇 =
– X의 출현 가능한 값들이 나타날 확률
1
4

• 𝑃𝑥 1 = 𝑃 𝑋=1 = 𝑃 𝐻𝐻 , 𝑇𝐻 =
1
2

• 𝑃𝑥 2 = 𝑃 𝑋=2 = 𝑃 𝐻𝐻 =
1
4


예제 - 두 개의 공정한 동전을 던지는 시행

Ω = 𝐻𝐻, 𝐻𝐻, 𝑇𝑇, 𝑇𝑇
𝐹 = { 𝐻𝐻 , 𝐻𝐻, 𝑇𝑇 , 𝑇𝑇 }
𝑃 𝑇𝑇 = , 𝑃 𝐻𝐻, 𝑇𝐻 = , 𝑃 𝐻𝐻 =
1 1 1
4 2 4

확률변수 X

𝑆 = 𝑅(실수 전체)
𝐵(𝑅) = { 0 , {1}, {2}}
𝑃𝑥 0 = , 𝑃𝑥 1 = , 𝑃𝑥 2 =
1 1 1
4 2 4


이산확률 분포
• 확률변수를 통한 출현 가능한 값이 셀 수 있는 값
을 취한다.
• 이산확률변수의 확률 분포
– 확률변수가 취할 수 있는 모든 가능한 값과 그 값들의
확률들을 표현한 것
• 이산확률 분포의 성질(조건)

0 ≤ 𝑃 𝑋= 𝑥 ≤1
– 확률변수 X의 각 값에 대한 확률 P(X=x)는

� 𝑝 𝑥 =1
– 모든 확률값의 합은 1


예제
• 표 5.3 각 가정의 TV 수와 확률분포

보유 TV의 수 (X) P(X=x)

0 0.010

1 0.840

2 0.145

3 0.005

합계 1.000


이산확률변수의 평균
• 평균은 확률변수에서 기대값(Expected Value)
이라고 한다.
• 이산확률변수 X의 평균은 어떤 실험을 수많이 실

을 의미하며 𝜇 𝑋 또는 𝐸 𝑋 로 표기한다.
행할 때 평균적으로 관찰될 것으로 기대되는 값

• 출현가능한 값과 출현 가능할 확률을 곱한 것을
모두 더한다.
– 확률에 평균의 개념이 들어가 있으므로 나누는 과정이

– 𝐸 𝑋 = ∑ 𝑥𝑥(𝑥)
필요없다.


이산확률변수의 분산

로 얼마나 퍼져있는 지를 나타내는 것(𝜎 2 )
• 확률변수들의 출현가능한 값들이 평균을 중심으

• 계산방법은 앞선 편차 제곱으로 부터 차용 가능

– 편차 제곱 : (𝑥 𝑖 − 𝐸(𝑋))2
하다.

이들에 개별 확률값을 곱한다 : 𝑥 𝑖 − 𝐸(𝑋) 2 𝑝(𝑥)
– 이 편차 제곱들이 각각 확률적으로 나타나는 것이므로

– 위의 값을 모두 더한다 : ∑ 𝑖=1 𝑥 𝑖 − 𝐸(𝑋) 2 𝑝(𝑥)
𝑛

• 간편 계산식 : ∑ 𝑖=1 𝑥 𝑖 2 𝑝 𝑥 𝑖 − 𝐸(𝑋)2
𝑛


R 예제
> x <- c(0, 1, 2, 3)
> pr.x <- c(0.010, 0.840, 0.145, 0.005)
> e.x <- sum(x*px)
> e.x
[1] 1.145
> var.x <- sum((x^2) * px ) – e.x^2
> var.x
[1] 0.153975


팩토리얼과 조합
• 교재 p.118 ~ p.120 까지 반드시 읽어볼 것!!!


이항분포(Binomial Dist.)
• 베르누이 시행

성공의 확률 𝑝 (0 < 𝑝 < 1)
– 어떤 시행의 결과 성공과 실패로 나타난다.
–
– 확률 변수 X의 실현값은 성공이면 1, 실패면 0

• Bernoulli(p=0.5) = 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)1−𝑥 =0.5 𝑥 (1 − 0.5)1−𝑥
– Ex) 공정한 동전을 던져 앞면이 나오면 성공

• iid(Independent & Identically)
– 모수(Parameter) : 분포함수의 특징을 결정 짓는 값.
• 앞선 베르누이 시행에서는 확률값 p
– 동일한 모수를 갖는 확률변수의 실험을 독립적으로 실
행하는 것


• 앞선 베르누이 시행을 n번 iid로 반복한다고 하자.
• 이 시행의 결과는 각 베르누이 시행의 성공의 개수를
구하는 것이 된다.
• 즉, n번 수행하여 x번 성공하는 실험의 확률분포함
수를 이항분포라고 한다.
• Ex) 공정한 동전을 두번 던져 앞면이 나오는 횟수
(앞면이 나오면 성공)

𝑛
– n번 던져 x번 성공하는 경우의 수 ( )
– n : 2, p = ½

𝑥
– 성공과 실패의 확률(iid) : 0.5 𝑥 (1 − 0.5) 𝑛−𝑥


• 확률 밀도 함수 (Probability Mass Function)
– 이항분포를 따르는(시행의 횟수 n, 성공확률 p) 확률

𝑛 𝑥
– 𝐵 𝑛, 𝑝 = 𝑝 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 , x는 성공의 횟수
변수 X는 다음의 확률밀도함수를 갖는다.

𝑥

– 일반적으로 말하는 분포함수는 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 로 나타낸다.
• (누적)분포함수 (Probability Function)

– 즉, 확률변수의 실현값 x 이하의 확률들을 모두 더한
값이다.
– 분포함수는 고유하게 정해져 있다.


R에서의분포함수(p.136)
• 이항분포 함수 : xbinom(x, size=n, prob=p)
• R분포함수의 첫글자(x)와 기능
첫 글자 기능

d 확률변수의 출현값에 대한 개별 확률(Density)

p Probability function, 즉 (누적)분포함수

q Quantile(백분위수)

r Random number(난수 발생)


예제(p. 137)
• 성공의 확률이 0.6인 어떤 실험을 3번 시행한다
고 하자. 즉, B(3, 0.6)
• 이 경우 성공의 횟수 x=0, 1, 2, 3
• 성공의 횟수별 확률 구하기
> x = c(0, 1, 2, 3)
> p.x = dbinom(x, size=3, prob=0.6)
> p.x
[1] 0.064 0.288 0.432 0.216


예제(p. 137)
• 성공의 횟수가 2 이하일 확률 구하기
> pbinom(2, size=3, prob=0.6)
[1] 0.784
• (누적)분포 구하기
> cdf.x = pbinom(x, size=3, prob=0.6)
> names(cdf.x)=c("0", "1", "2", "3")
> cdf.x
0 1 2 3
0.064 0.352 0.784 1.000


예제(p. 137)
• 중앙값 구하기 (백분위수가 50%인 곳)
> qbinom(0.5, size=3, prob=0.6)
[1] 2
• B(3, 0.6)을 따르는 이항분포로부터 난수 100
개 구하기
> smp = rbinom(100, 3, 0.6)
> table(smp)
smp
0 1 2 3
7 34 43 16


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