曲線から多様体まで駆け抜ける微分幾何学入門

曲線から多様体まで駆け抜ける微分幾何学入門
Masanari Kimura
May 31, 2020
1 / 67

目次
平面曲線の微分幾何学
空間曲線の微分幾何学
曲面の微分幾何学
多様体の微分幾何学
References
2 / 67

• 曲線のパラメータ表示
• 接ベクトル
• 弧長パラメータ
• 平面曲線の曲率
• Moving Frame
• 平面曲線に対する Frenet–Serret Formula
3 / 67

曲線のパラメータ表示
例えば，半径 1 の円 x2
+ y2
= 1 は以下のよ
うにパラメータ表示できる．
x = cos t, y = sin t
R2
上で F(x, y) = 0 で表される曲線を，
x = x(t), y = y(t)
とパラメータ表示すると，曲線は
C(t) = (x(t), y(t))
と書くことができる．
1
C(t) = (cos t, sin t)
O
x
y
−1
1
t
x
y
O C(t) = (t − sin t, 1 − cos t)
4 / 67

接ベクトル
点 C(t0) で曲線に接するベクトル（接ベクトル）は，C(t0) の一階微分で表される．パラメ
ータ t を時間と捉えると，
• 曲線 C(t) は時間に伴って動く点の軌跡
• 接ベクトル C (t0) は時刻 t = t0 における速度ベクトル
C (t0) = (x (t0), y (t0))
5 / 67

弧長パラメータ
曲線 C(t) の長さを計算すると，
s(t) =
t
0
|C (t)|dt
と書ける．この両辺を t で微分すると，
s (t) = |C (t)|
となるので，全ての t に関して C (t) 0 ならば s (t) > 0 なので，s は t の単調増加関数と
みなせる．実際，曲線 C(t) を時間 t に伴う動点の軌跡とみなすと，s(t) は動点が時刻 0 か
ら時刻 t までに描いた孤の長さ．
6 / 67

曲率円と曲率半径
曲線が曲がり具合の特徴付けに，曲率円の
曲率半径 r(s0) が使えそう：
∆θ を曲率円の中心から測った C(s0) と
C(s0 + ∆s) の角度とすると，
r(s0) = lim
∆θ→0
∆s
∆θ
ただし円弧の関係 s = rθ から，曲率半径が
大きいほど曲がり具合が小さくなる．曲が
り具合を特徴付けたいので，より曲がって
いる曲線ほど大きな量を持つ指標が欲しい．
そこで，曲線の曲率を，曲率半径の逆数で
定義する：
κ(s0) = ±
1
r(s0)
C(t)
r
∆θ
7 / 67

平面曲線の曲率
平面曲線の曲率
平面曲線 C(s) の s = s0 における曲率半径を r(s0) とすると，
κ(s0) = ±
1
r(s0)
で与えられる量を曲率という．
曲率は，曲線の曲がり具合を特徴付ける量である．

8 / 67

Moving Frame
平面上の xy 座標といった絶対的な座標系ではなく，曲線に沿って動くような座標系を考
えることで便利な場面が多々ある．
平面曲線の Moving Frame
曲線 C(s) = (x(s), y(s)) の接ベクトル C (s) とそれに直行するベクトルをとると，これ
らは R2
の基底になる．そこで，
• e1(s)：e1(s) = C (s)
• e2(s)：e1(s) を π
2 だけ回転したベクトル
これらのベクトルの組 (e1(s), e2(s)) を基底とする座標系を考えることができる．

9 / 67

Moving Frame
e2(s)
e1(s)
10 / 67

Moving Frame と曲率
平面曲線 C(s) の曲率は以下で与えられる：
κ(s) = e1(s) · e2(s)
Proof.
e1(s) =
d2
ds2
C(s) =
d2
ds2
x(s),
d2
ds2
y(s)
e2(s) = −
d
ds
y(s),
d
ds
x(s)
κ(s) = e1(s) · e2(s) =
d
ds
x(s)
d2
ds2
y(s) −
d2
ds2
x(s)
d
ds
y(s)
|C (s)| = d
ds x(s)2 + d
ds y(s)2 = 1 であるから，tan θ(s) = y
x とおくと，
κ(s) =
d
ds x(s) d2
ds2 y(s) − d2
ds2 x(s) d
ds y(s)
d
ds x(s)2 + d
ds y(s)2
= arctan
y
x
= θ (s) =
dθ
ds
= ±
1
r(s)
□
11 / 67

回転と平行移動に関する曲率の不変性
回転と平行移動に関する曲率の不変性
2 つの平面曲線 C1(s)，C2(s) があって，それぞれの曲率を κ1(s)，κ2(s) とすると
き，次の 2 つの条件は同値である：
1. κ1(s) = κ2(s)
2. 回転と平行移動を行う変化 T が存在して，T(C1(s)) = C2(s)

12 / 67

平面曲線に対する Frenet–Serret Formula
平面曲線に対する Frenet-Serret Formula
平面曲線 C(s) の Moving Frame e1(s)，e2(s) に対して，



e1(s) = κ(s)e2(s)
e2(s) = −κ(s)e1(s)
すなわち，
d
ds


e1(s)
e2(s)

 =


0 κ(s)
−κ(s) 0




e1(s)
e2(s)


が成り立つ．

この公式は，Moving Frame の変化量が，曲率を成分に持つ交代行列を係数とする線形微
分方程式で記述されることを意味する．
13 / 67

• 曲率と捻率
• 空間曲線に対する Frenet-Serret Formula
14 / 67

空間曲線の Moving Frame
空間曲線では，e1(s) に直行するベクトルが無数にあるため，Moving Frame を一意に決め
るために e2(s) に C (s) を正規化したものを採用する．また，R3
の基底を考える必要があ
るため，さらに e1(s) と e2(s) の外積をとったものを e3(s) として定める．まとめると，
空間曲線の Moving Frame
空間曲線 C(s) の Moving Frame は，以下のベクトルの組として定義される：
• e1(s)：e1(s) = C (s)
• e2(s)：e2(s) = C (s)
C (s)
• e3(s)：e3(s) = e1(s) × e2(s)

15 / 67

曲率と捻率
空間曲線の曲率
平面曲線の場合と同様に，空間曲線 C(s) の曲率は以下で定義される：
κ(s) = e1(s) · e2(s) = e1(s)

空間曲線の捻率
空間曲線の場合は，曲率に加えて以下の捻率と呼ばれる幾何学的量が必要と
なる：
τ(s) = e2(s) · e3(s) = det(e1(s), e2(s), e2(s))

16 / 67

曲率と捻率の幾何学的意味
曲率 0 の意味
空間曲線 C(s) の曲率 κ(s) に関して以下の同値な条件が成り立つ．
• 曲率 κ(s) = 0
• 曲線 C(s) は直線上にある．

捻率 0 の意味
空間曲線 C(s) の捻率 τ(s) に関して以下の同値な条件が成り立つ．
• 捻率 τ(s) = 0
• 曲線 C(s) は平面上にある．

曲率は，直線からの離れ度合いを表す量，捻率は，平面からの離れ度合いを表す量．
17 / 67

捻れた曲線の例
Figure 1: 曲線 C(t) = (a cos s, a sin t, bt)．この曲線は Ordinary Helix と呼ばれ，時間経過に伴
って捻れていく（平面から離れていく）ことがわかる．
18 / 67

空間曲線に対する Frenet-Serret Formula
Frenet-Serret Formula
空間曲線 C(s) の Moving Framee1(s)，e2(s)，e3(s) に対して，
d
ds


e1(s)
e2(s)
e3(s)


=


0 κ(s) 0
−κ(s) 0 τ(s)
0 −τ(s) 0




e1(s)
e2(s)
e3(s)


すなわち，



e1(s) = κ(s)e2(s)
e2(s) = −κ(s)e1(s) + τ(s)e3(s)
e3(s) = −τ(s)e2(s)
が成り立つ．

19 / 67

Frenet-Serret Formula と曲率 · 捻率
Frenet-Serret Formula から，回転と平行移動の自由度を除いて，
空間曲線は曲率と捻率に 1 対 1 に対応することがわかる．
20 / 67

Bouquet’s Formula
Frenet-Serret Formula から，以下の公式が得られる．
Bouquet’s Formula
空間曲線 C(s) に対して，以下の等式が成り立つ．
C(s) = C(s0) + (s − s0)e1(s0)
+
1
2!
(s − s0)2
κ(s0)e2(s0)
+
1
3!
(s − s0)3
− κ(s0)2
e1(s0) + κ (s0)e2(s0) + κ(s0)τ(s0)e3(s0)
+ O((s − s0)4
)

21 / 67

Bouquet’s Formula の証明
Proof.
曲線 C(s) を s0 のまわりで Taylor 展開すると，
C(s) = C(s0) + (s − s0)
d
ds
C(s0) +
(s − s0)2
2!
d2
ds2
C(s0) +
(s − s0)3
3!
d3
ds3
C(s0) + O((s − s0)4
) (1)
ここで，Moving Frame の定義および Frenet-Serret Formula から，
d
ds
C(s0) = e1(s0) (2)
d2
ds2
C( s0) = e1(s0) = κ(s0)e2(s0) (3)
d3
ds3
C( s0) =
d
ds
κ(s0)e2(s0) = κ (s0)e2(s0) + κ(s0)e2(s0)
= κ (s0)e2(s0) + κ(s0) − κ(s0)e1(s0) + τ(s0)e3(s0) (4)
が得られる．これらを (1) に代入すると，Bouquet’s Formula が導出される．
□
22 / 67

曲面の微分幾何学
• 大域的理論と局所的理論
• 曲面の接ベクトルと法ベクトル
• Gauss 写像
• 曲面の基本量
• 平面曲率と Gauss 曲率
• ガウスの驚異の定理
23 / 67

大域的理論と局所的理論
10
20
10
20
5
曲面には様々なものが考えられる．もちろ
んその中には複雑な位相を持つものもある．
そのような複雑な位相の曲面を対象とする
分野を大域的理論という．
一方で，複雑な位相の曲面であっても，局
所的に単純な位相を持つ曲面の張り合わせ
から成り立っているとみなすこともできる．
このように単純な位相の曲面を扱う分野
を局所的理論という．
24 / 67

曲面
局所的理論で扱う曲面は，領域 D ⊂ R2 を動く 2 つのパラメータ u と v で
S (u, v) = (x(u, v), y(u, v).z(u, v)) ((u, v) ∈ D ⊂ R2
)
と表示できる．
25 / 67

曲面の例（Elliptic Paraboloid）
S (u, v) = (au, bv, u2
+ v2
) (u, v ∈ R)
x
y
z
26 / 67

接ベクトル
曲線の時と同様に，曲面に接するベクトルを考えたい．
曲面の接ベクトル
u と v でパラメータ表示された曲面 S (u, v) について，点 S (u0, v0) で接するベクトルは
∂S
∂u
(u0, v0) =
∂x
∂u
(u0, v0),
∂y
∂u
(u0, v0),
∂z
∂u
(u0, v0)
∂S
∂v
(u0, v0) =
∂x
∂v
(u0, v0),
∂y
∂v
(u0, v0),
∂z
∂v
(u0, v0)
と書くことができ，これを曲面 S (u, v) の接ベクトルという．

27 / 67

曲面上の接ベクトルの例
S (u, v)
∂S
∂u (u0, v0)
∂S
∂v (u0, v0)
28 / 67

特異点
曲面を扱う際には，2 つの接ベクトルが互いに線型独立であることが仮定される．
しかしながら，曲面でなくなるような点ではこの仮定が成り立たず，このような
点を特異点という．
29 / 67

接平面と法ベクトル
2 つの接ベクトルが独立のとき，この二つのベクトルで生成される平面 T(u0,v0) を
考えることができる．
T(u0,v0) = a
∂S
∂u
(u0, v0) + b
∂S
∂v
(u0, v0)|a, b ∈ R
この接平面に直行するベクトルを法ベクトルという．特に
n(u0, v0) =
∂S
∂u (u0, v0) × ∂S
∂v (u0, v0)
∂S
∂u (u0, v0) × ∂S
∂v (u0, v0)
のようにノルムで正規化されたものを単位法ベクトルという．
30 / 67

曲面上の接平面と法ベクトルの例
S (u, v)
∂S
∂u (u, v)
∂S
∂v (u, v)
n(u0, v0)
31 / 67

Gauss 写像
法ベクトルの始点を原点に移動させるような写像を Gauss 写像という．Gauss 写
像の終点は二次元単位球面を張るので，それを見ることで曲面がどの程度曲がっ
ているのかがわかる．
S (u, v)
32 / 67

曲面の基本量
曲面 S (u, v) について，以下の 3 つの基本量が定義される：
• 第 1 基本量
• 第 2 基本量
• 第 3 基本量
33 / 67

曲面の第 1 基本量
曲面 S (u, v) に対して，
E(u, v) =
∂S
∂u
(u, v) ·
∂S
∂u
(u, v) =
∂S
∂u
(u, v)
2
(5)
F(u, v) =
∂S
∂u
(u, v) ·
∂S
∂v
(u, v) (6)
G(u, v) =
∂S
∂v
(u, v) ·
∂S
∂v
(u, v) =
∂S
∂v
(u, v)
2
(7)
を，曲面 S (u, v) の第 1 基本量 (ﬁrst fundamental quantity) と呼ぶ．さらに，
I = Edu2
+ 2Fdudv + Gdv2
(8)
とおいて，これを曲面 S (u, v) の第 1 基本形式（ﬁrst fundamental form）と呼ぶ．

34 / 67

第 1 基本量による表現
第 1 基本量から構成された行列 G =


E F
F G

 を用いると，曲面についてのいくつか
の量を表現できる．例えば，曲面の面積は，
D
∂S
∂u
(u, v) ×
∂S
∂v
(u, v) dudv
=
D
∂S
∂u
(u, v)
2 ∂S
∂v
(u, v)
2
−
∂S
∂u
(u, v) ·
∂S
∂v
(u, v)
2
dudv
=
D
EG − F2dudv
=
D
det


E F
F G

dudv
35 / 67

L(u, v) =
∂2
S
∂u2
(u, v) · n(u, v) (9)
M(u, v) =
∂2
S
∂u∂v
(u, v) · n(u, v) (10)
N(u, v) =
∂2
S
∂v2
(u, v) · n(u, v) (11)
を，曲面 S (u, v) の第 2 基本量 (second fundamental qunatity) と呼ぶ．さらに，
II = Ldu2
+ 2Mdudv + Ndv2
(12)
とおいて，これを曲面 S (u, v) の第 2 基本形式（second fundamental form）と呼ぶ．

36 / 67

P(u, v) =
∂n
∂u
(u, v) ·
∂n
∂u
(u, v) =
∂n
∂u
(u, v)
2
(13)
Q(u, v) =
∂n
∂u
(u, v) ·
∂n
∂v
(u, v) (14)
R(u, v) =
∂n
∂v
(u, v) ·
∂n
∂v
(u, v) =
∂n
∂v
(u, v)
2
(15)
を，曲面 S (u, v) の第 3 基本量（third fundamental quantity）と呼ぶ．さらに，
III = Pdu2
+ 2Qdudvy + Rdv2
(16)
とおいて，これを曲面 S (u, v) の第 3 基本形式（third fundamental form）と呼ぶ，

37 / 67

法曲率
法曲率
曲面 S 上の点 a に対して，a における単位法ベクトル n が定まる．曲面 S の a におけ
る任意の単位接ベクトル X をとる．このとき，X と n で定まる平面 P と曲面 S との
交わりとして，平面曲線 C が得られる．曲線 C = C(s) の弧長パラメータ s を s = s0 に
おいて
C(s0) = a
e1(s0) = X
e2(s0) = n
となるようにとる．このとき，曲線 C(s) の平面曲線としての曲率 κ(s0) を a における
X 方向の S の法曲率という．

38 / 67

曲線の平面曲線としての曲率
39 / 67

主曲率
主曲率
法曲率において，平面 P の方向を回転させると，法曲率が変化することがわ
かる．そこで，この回転における法曲率の最大値と最小値を主曲率という．

40 / 67

平面曲率と Gauss 曲率
曲面 S の点 a に対して，κ1，κ2 を a における曲面 S の主曲率とする．このとき，
• 平面曲率：H = 1
2 (κ1 + κ2)
• Gauss 曲率：K = κ1κ2
41 / 67

平面曲率と Gauss 曲率の基本量による表現
任意の単位接ベクトルを X とすると，X = C (s0) より，
X =
∂S
∂u
du
ds
+
∂S
∂v
dv
ds
=
du
ds
,
dv
ds


∂S
∂u
∂S
∂v

 = σ


∂S
∂u
∂S
∂v


と書けるので，接ベクトル X を動かすことは σ を動かすことと同値である．よって主曲率は制約条
件 σGt
σ = 1 のもとでの第 2 基本形式 σHt
σ の最大値と最小値であると言える．
未定乗数を λ とおくと，ラグランジュの未定乗数法から，
F(α, β) = σHt
σ − λ(σGt
σ − 1) = (Lα2
+ 2Mαβ + Nβ2
) − λ{(Eα2
+ 2Fαβ + Gβ2
) − 1}
2(Lα + Mβ) − 2λ(Eα + Fβ) = 0, 2(Mα + Nβ) − 2λ(Fα + Gβ) = 0


λE − L λF − M
λF − M λG − N




α
β

 = A


α
β

 = 0
H = κ1 + κ2 =
1
2
EN − 2FM + GL
EG − F2
(17)
K = κ1κ2 =
LN − M2
EG − F2
(∵ det(A) = 0) (18)
42 / 67

Weingarten 写像
第 1 基本量の行列 G =


E F
F G

 と第 2 基本量の行列 H =


L M
M N

 を用いると，平
面曲率と Gauss 曲率は，
H =
1
2
tr(HG−1
) (19)
K = det(HG−1
) (20)
と書ける．この行列 HG−1 を Weingarten 写像と呼ぶ．
43 / 67

ガウスの驚異の定理
ガウスの驚異の定理（theorem egregium）
曲面のガウス曲率 K は，第 1 基本量 E，F，G のみで記述できる．

第 1 基本量と第 2 基本量で定義された Gauss 曲率が，実は第 1 基本量だけで記述
できるということを主張している．
44 / 67

多様体の微分幾何学
• 多様体
• 接続
• 捻率テンソル
• 曲率テンソル
• リーマン計量
• Levi-Civita 接続
45 / 67

局所座標
局所座標
位相空間 M の開集合 U と，U から Rn の開集合 O への同相写像
φ : U → O
の組 (U, φ) を M 上の n 次元局所座標という．

U 上のある点 P に対して，φ(P) は Rn の点なので，
φ(P) = (x1, . . . , xn)
と表すことができて，この座標によって点の位置を一意に決定できる．
46 / 67

座標変換
座標変換
位相空間 M 上の 2 つの n 次元局所座標 (U1, φ1)，(U2, φ2) に対して，U1 ∩ U2 ∅ のとき，以下
の写像を座標変換と呼ぶ．
φ2 ◦ φ−1
1 : φ1(U1 ∩ U2) → φ2(U1 ∩ U2)

φi
φ−1
i φ−1
j
φj
M
Ui
Uj
φi(Ui)
Rn
φj ◦ φ−1
i
φj(Uj)
Rn
47 / 67

Cr
級多様体
Cr 級多様体
次の条件を満たす (M, {(Ui, φi)}) を n 次元 Cr 級多様体という：
1. 位相空間 M はハウスドルフ空間である．
2. M = i Ui
3. 全ての座標変換 φi ◦ φ−1
j : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj) は Cr 級である．

特に，
• C0 級多様体を位相多様体
• C∞ 級多様体を微分可能多様体
と呼ぶ．
48 / 67

Cr
級関数
Cr 級関数
多様体 (M, {(Uiφi)}) 上の関数 f : M → Rn が Cr 級関数であるとは，全ての局
所座標 (Ui, φi) に対して， f ◦ φ−1
i が Cr 級であることをいう．

M 上の全ての Cr 級関数からなる集合を Cr(M) と表す．
49 / 67

接ベクトル
接ベクトル
多様体 M 上の点 p に対し，Xp が p における接ベクトルであるとは，関数 f に
実数値 Xp(f) を対応させる写像
Xp : C∞
(M) → R
f → Xp(f)
であって，次の 2 つの条件を満たすもののことをいう：
1.（線形性）Xp(af + bg) = aXp(f) + bXp(g)
2. (Leibniz 即) Xp(fg) = Xp( f)g(P) + f(P)Xp(g)
ここで，f, g ∈ Cr(M)，a, b ∈ R である．

50 / 67

接空間
接空間
多様体 M の点 p における接ベクトルの集合を TpM と書く．この Tp(M) に
(aXp + bYp)( f) aXp f + bYp f (Xp, Yp ∈ TpM, a, b ∈ R)
と和とスカラー倍を定めると，TpM は線形空間になり，これを接空間と呼ぶ．

51 / 67

接空間の基底
多様体 M 上の点 p と，点 p のまわりの局所座標 (U, φ) によって座標 (x1, . . . , xn)
が与えられている時，局所座標を通して見た p における xi 方向の偏微分を
∂
∂xi p
f
∂( f ◦ φ−1)
∂xi
(φ(p))
と定義すると， ∂
∂xi p
は微分作用になり，
∂
∂x1 p
, . . . ,
∂
∂xn p
は接空間 TpM の基底となる．
52 / 67

ベクトル場
ベクトル場
多様体 M 上のベクトル場とは，M の各点 p に対して，TpM の要素である接
ベクトル Xp のうち，任意の f ∈ C∞(M) に対して X f : M → R が C∞ 級である
ものをいう．

基底を用いると，ベクトル場は局所的に
Xp =
n
i=1
ai(p)
∂
∂xi p
と書くことができる．
53 / 67

ブラケット
M 上のベクトル場全体からなる集合を χ(M) と書くと，X, Y ∈ χ(M) に対して，ブ
ラケットと呼ばれる積 [X, Y] が
[X, Y]f X(Y f) − Y(X f) (∀f ∈ C∞
(M))
によって定義される．この積により，χ(M) はリー代数になる．
54 / 67

ブラケットの性質と Jacobi 恒等式
ブラケットの性質と Jacobi 恒等式
ブラケットは以下の性質を満足する：
1.（線形性）[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]
2.（交代性）[X, Y] = −[Y, X]
3.（Jacobi 恒等式）[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

55 / 67

Jacobi 恒等式の証明
Proof.
[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = [X, Y]Z − Z[X, Y] + [Y, Z]X − X[Y, Z] + [Z, X]Y − Y[Z, X]
= (XY − YX)Z − Z(XY − YX) + (YZ − ZY)X − X(YZ − ZY)
+(ZX − XZ)Y − Y(ZX − XZ)
= XYZ − YXZ − ZXY + ZYX + YZX − ZYX − XYZ + XZY
+ZXY − XZY − YZX + YXZ
= 0
□
56 / 67

Cr
級写像と微分写像
Cr
級写像
多様体 M から多様体 N への写像 f が以下を満足するとき，Cr
級写像であるという：
M の全ての局所座標 (U, φ) と N の全ての局所座標 (V, ψ) に対して ψ ◦ f ◦ φ−1
が Cr
級である．

微分写像
多様体 M から多様体 N への写像 f に対して，M の各点 p において線形写像
(d f)p : Xp ∈ TpM → Tf(p)N ∈ (d f)p(Xp)
を f の p における微分写像という．

57 / 67

接続
接続
多様体 M に対して，写像
: (X, Y) ∈ χ(M) × χ(M) → XY ∈ χ(M)
が以下の条件を満足するとき，を M 上の接続あるいは共変微分という：
•（C∞
(M)− 線形性） f X+gYZ = f XZ + g YZ ( f, g ∈ C∞
(M))
•（R− 線形性） X(aY + bZ) = a XY + b XZ (a, b ∈ R)
• (Leibniz 即) X( fY) = (X f)Y + f XY

58 / 67

接続係数
接続係数
∂
∂x1
, . . . ,
∂
∂xn
に対して， ∂
∂xi
∂
∂xj
は接ベクトルであるから，以下のように線形和として表せる．
∂
∂xi
∂
∂xj
=
m
k=1
Γk
ij
∂
∂xk
ここで Γk
ij は各点ごとに定まる関数であり，これを接続係数と呼ぶ．

59 / 67

捻率テンソル
捻率テンソル
多様体 M 上の接続に対して，写像
T(X, Y) = XY − Y X − [X, Y]
を捻率テンソル（torsion tensor）という．捻率テンソルは以下の性質を満足する：
•（交代性）T(X, Y) = −T(Y, X)
•（C∞
(M)− 線形性）T( f X1 + gX2, Y) = fT(X1, Y) + gT(X2, Y)

60 / 67

torsion free
捻率が 0 であることを torsion free であるという．T ∂
∂xi
, ∂
∂xj
は接ベクトルであるので以下のように
線形和として書ける．
T
∂
∂xi
,
∂
∂xj
=
m
k=1
Tk
ij
∂
∂xk
ここで，捻率の定義通り計算すると，
m
k=1
Tk
i j
∂
∂xk
= T
∂
∂xi
,
∂
∂xj
= ∂
∂xi
∂
∂xj
− ∂
∂x j
∂
∂xi
−
∂
∂xi
,
∂
∂xj
= ∂
∂xi
∂
∂xj
− ∂
∂x j
∂
∂xi
∵
∂
∂xi
,
∂
∂xj
= 0
=
m
k=1
(Γk
ij − Γk
ji)
∂
∂xk
以上より Tk
ij = Γk
ij − Γk
ji であり，torsion free であるとは，Γk
ij = Γk
ji であることと同値である．これは接
続係数の可換性に他ならない．
61 / 67

曲率テンソル
曲率テンソル
多様体 M 上の接続に対して，写像
R(X, Y)Z = X YZ − [X,Y]Z
を曲率テンソル（curvature tensor）という．曲率テンソルは以下の性質を満足する：
•（交代性）
•（C∞
(M)− 線形性）
• が torsion free のとき R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0

62 / 67

リーマン計量
リーマン計量
多様体 M に対して，以下の条件を満足する {gp}p∈M を M 上のリーマン計量（Rieman-
nian metric）と呼ぶ：
• M の任意の点 p について，gp が TpM 上の内積である．
• ∂
∂x1
, . . . , ∂
∂xn
に対して gp
∂
∂xi p
, ∂
∂xj p
が C∞
級である．

リーマン計量は，M 上の正定値で対称な (0, 2) 型テンソルであるとも言える．多様体 M
とその上のリーマン計量 g の組 (M, g) をリーマン多様体（Riemannian manifold）という．
63 / 67

Levi-Civita 接続
Levi-Civita 接続
リーマン多様体 (M, g) の上に，
X(g(Y, Z)) = g( XY, Z) + g(Y, XZ)
を満たす接続が一意に存在し，この接続をLevi-Civita 接続という．
Levi-Civita 接続の接続係数 Γk
i j は以下で与えられる．
Γk
ij =
1
2
m
a=1
gka ∂gai
∂xj
+
∂gaj
∂xi
−
∂gij
∂xa

64 / 67

Ricci 曲率と scalar 曲率
正規座標 xi を用いると，リーマン計量の成分は，
gij = δij +
1
3
m
p,q=1
Ripjqxpxq + O( x 3
)
と表すことができる．この等式は，計量テンソルのテイラー天海の二次の項の係数が曲率
テンソルであることを意味する．
曲率テンソル Rℓ
ijk の添字 i と ℓ について和をとったもの
Rjk =
m
i=1
Ri
ijk
を Ricci 曲率，さらに添字 j と k についてトレースをとったもの
R =
m
j,k=1
gjk
Rjk
を scalar 曲率という．
65 / 67

References i
宮岡礼子.
曲線と曲面の現代幾何学-入門から発展へ.
岩波書店, 2019.
野水克己.
現代微分幾何入門.
裳華房, 1981.
鈴木正彦市原一裕, 茂手木公彦.
幾何学序論: 論理・集合・写像・位相をきわめる.
日本評論社, 2018.
小林昭七.
曲線と曲面の微分幾何.
裳華房, 1977.
66 / 67

References ii
松本幸夫.
多様体の基礎.
東京大学出版会, 1988.
中内伸光.
幾何学は微分しないと-微分幾何学入門.
現代数学社, 2011.
67 / 67

曲線から多様体まで駆け抜ける微分幾何学入門

More Related Content

What's hot (20)

Similar to 曲線から多様体まで駆け抜ける微分幾何学入門 (20)

More from Masanari Kimura (6)

曲線から多様体まで駆け抜ける微分幾何学入門