στ δημ μαθηματικά α τεύχος

Α’ ΤΕΥΧΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ Γ. ΖΩΗ
Μαθηματικά
ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ
Αργυρούπολη, 2020

Εκπαιδευτήρια ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΖΩΗ ΣΤ΄ Δημοτικού
1
Προλογικό σημείωμα
Αγαπητοί μαθητές,
Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας ακουλουθεί τις ενότητες του σχολικού
βιβλίου των Μαθηματικών της Στ’ Δημοτικού και στοχεύει στο να κατανοήσετε
καλύτερα τις μαθηματικές έννοιες, να διευρύνετε τις γνώσεις σας και να
αναπτύξετε τη μαθηματική σας σκέψη.
Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε εσάς, που αποτελείτε για εμάς σημαντική πηγή
καθημερινής έμπνευσης, και τα Εκπαιδευτήρια Γ. Ζώη για την υποστήριξή τους
κατά τη σύνταξη και την επιμέλεια του συγκεριμένου βιβλίου.
Με εκτίμηση
Οι Εκπαιδευτικοί της τάξης

2
Οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, 6 ... ονομάζονται «Φυσικοί Αριθμοί». Το σύνολο των φυσικών
αριθμών συμβολίζεται με το Ν.
Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε:
άρτιους (ζυγοί αριθμοί) 0, 2, 4, 6, 8 ...
περιττούς (μονοί αριθμοί) 1, 3, 5, 7, 9 ...
Οι αριθμοί που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι για να συνεννοούνται μπορεί να δηλώνουν:
ΠΛΗΘΟΣ: 5 φρούτα, 8 άνθρωποι, 3 σκυλάκια κτλ
ΣΕΙΡΑ: 1η
θέση, 3ος
όροφος, 5ο
θρανίο κτλ
ΜΕΓΕΘΟΣ: 55 κιλά, 7 χιλιόμετρα, 6 χρόνια κτλ
ΚΩΔΙΚΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ (δηλαδή τρόπο συνεννόησης): αριθμός ταυτότητας ΧΗ 125442,
αριθμός αυτοκινήτου ΕΡΒ 2476 κτλ.
Όλοι οι φυσικοί αριθμοί σχηματίζονται από τον συνδυασμό των αριθμών 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Στους φυσικούς αριθμούς, κάθε ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του δηλώνει διαφορετική αξία.
Έτσι τα ψηφία του αριθμού 235.657.918 δηλώνουν:
Εκατοντάδες
εκατομμύρια
Δεκάδες
εκατομμύρια
Εκατομμύρια
χιλιάδες
Δεκάδες
χιλιάδες
Χιλιάδες
Δεκάδες
Μονάδες
2 3 5. 6 5 7. 9 1 8

3
1. Σημειώνω ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί.
23.897, 123.456, 987.654, 234.567, 765.543, 800.004
Άρτιοι ........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
Περιττοί ........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
2. Σημειώνω ποια είναι η αξία του αριθμού 6 στους παρακάτω αριθμούς.
123.456………………………………………………………………………………………………………………..………………
264.389………………………………………………………………………………………………………………..………………
345.678………………………………………………………………………………………………………………..………………
456.789…………………………………………………………………………………………………………………..……………
621.557.890……………………………………………………………………………………………………….…………………
234.567……………………………………………………………………………………………………………..…………………
3. Γράφω την αξία που έχει το 8 εκφρασμένη σε μονάδες, για κάθε έναν από τους
παρακάτω αριθμούς:
α) 137.348 .................................
β) 68.500 ...................................
γ) 280 ........................................
δ) 872.910 .................................

4
4. Με τα ψηφία 4, 6, 8, 2, 9, 5 ,7 φτιάχνω τον μεγαλύτερο και τον μικρότερο, σε αξία,
αριθμό.
Μεγαλύτερος:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
Μικρότερος:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. Γράφω με λέξεις τους παρακάτω αριθμούς.
3.280.000 =…………………………………………………….……………………………………………………………………
61.000.910 = ………………………………………………….……………………………………………………………………
4.000.000.000 = ………………………………………..…………………………………………………………………………
6. Γράφω τον αμέσως προηγούμενο και τον αμέσως επόμενο αριθμό.
Προηγούμενος Αριθμός Επόμενος
2.000.000
15.849.999
37.098.001
7.099.000
7. Σημειώνω με «Σ» τις σωστές και με «Λ» τις λανθασμένες προτάσεις. Σε περίπτωση που
η πρόταση είναι λανθασμένη, δικαιολογώ γιατί τη θεώρησα λάθος.
α) (……) Ανάμεσα στους αριθμούς 7 και 11 υπάρχουν δύο περιττοί αριθμοί και ένας άρτιος.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……) Στον αριθμό 5.780.901 το μηδέν δηλώνει απουσία δεκάδων και μονάδων χιλιάδων.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……) Δέκα χιλιάδες είναι μία δεκάδα χιλιάδα.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (……) Ανάμεσα στους αριθμούς 9 και 11 υπάρχει περιττός αριθμός.
………………………………………………………………………………………………………………………………………

5
ε) (……) Ανάμεσα στους αριθμούς 9 και 12 υπάρχει ένας άρτιος και ένας περιττός αριθμός.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
στ) (……) Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός μεταξύ των αριθμών 2 και 3.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
ζ) (……) Ανάμεσα στους αριθμούς 4 και 5 δεν υπάρχει φυσικός αριθμός.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
η) (……) Ανάμεσα στους αριθμούς 6 και 8 δεν υπάρχει άρτιος αριθμός.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
θ) (……) Ανάμεσα στους αριθμούς 8 και 10 δεν υπάρχει περιττός αριθμός.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
8. Οι επόμενες τέσσερις ερωτήσεις αναφέρονται στην παρακάτω αριθμογραμμή:
α) (……) Στο σημείο Μ αντιστοιχεί ο αριθμός 1.200.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……) Στο σημείο Κ αντιστοιχεί ο αριθμός 37.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……) Στο σημείο Λ αντιστοιχεί ο αριθμός 1.050.
……………………………………………………………………………………………………………………………….……………

6
9. Συμπληρώνω τις προτάσεις που ακολουθούν.
α) Το 7 που είναι κάτω από το δ είναι ................................................ φορές μεγαλύτερο από
το 7 που είναι κάτω από το ε.
β) Το 7 που είναι κάτω από το α είναι ............................................... φορές μεγαλύτερο από
το 7 που είναι κάτω από το γ.
γ) Το 7 που είναι κάτω από το ε είναι ................................................ φορές μικρότερο από
το 7 που είναι κάτω από το β.
δ) Το 7 που είναι κάτω από το δ είναι ...............................................φορές
.............................. από το 7 που είναι κάτω από το β.
10. Βρίσκω τον πενταψήφιο φυσικό αριθμό για τον οποίο ισχύουν τα παρακάτω:
α) Το ψηφίο των δεκάδων ισούται με τον μεγαλύτερο μονοψήφιο φυσικό αριθμό.
β) Το άθροισμα των ψηφίων των χιλιάδων και των εκατοντάδων ισούται με το ψηφίο των
μονάδων.
γ) Το ψηφίο των χιλιάδων είναι ίσο με το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων.
δ) Η διαφορά ανάμεσα στο ψηφίο των δεκάδων και των δεκάδων χιλιάδων είναι ίση με το
ψηφίο των μονάδων.
ε) Το ψηφίο των μονάδων είναι τόσο όσο εάν από το ψηφίο των δεκάδων αφαιρέσεις το
μικρότερο μη μηδενικό φυσικό αριθμό.
α β γ δ ε
7 7. 7 7 7

7
Πολλές φορές οι μετρήσεις δεν μπορούν να γίνουν με ακρίβεια μόνο με τη χρήση των
φυσικών αριθμών. Για αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς.
Ο Σάιμον Στέβιν (1548 – 1620 μ.Χ.), μηχανικός στο επάγγελμα, ανακάλυψε
μια νέα μέθοδο γραφής των κλασματικών αριθμών, τους δεκαδικούς
αριθμούς.
Στο βιβλίο του «Το δέκατο», που εκδόθηκε το 1585, ο Στέβιν παρουσίασε
τον τρόπο γραφής των δεκαδικών αριθμών καθώς και υπολογισμούς με
δεκαδικούς αριθμούς.
Έτσι
Επομένως οι δεκαδικοί αριθμοί λέγονται έτσι διότι μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με
παρονομαστή το δέκα ή δυνάμεις του δηλαδή 100,1000,10000...
Κάθε δεκαδικός αριθμός αποτελείται από δύο μέρη τα οποία χωρίζονται με ένα
κόμμα, τη λεγόμενη υποδιαστολή.
Το μέρος αριστερά από την υποδιαστολή ονομάζεται ακέραιο μέρος, ενώ αυτό που
βρίσκεται δεξιά από την υποδιαστολή ονομάζεται δεκαδικό μέρος.
Τα ψηφία του ακέραιου μέρους έχουν την αξία που είδαμε στους φυσικούς
αριθμούς.
Τα ψηφία του δεκαδικού μέρους, όσο απομακρυνόμαστε από την υποδιαστολή
έχουν αξία δέκατου, εκατοστού, χιλιοστού, δέκατα χιλιοστού...
Δεκάδες
χιλιάδες
Χιλιάδες
Δεκάδες
Μονάδες
Δέκατα
Εκατοστά
Χιλιοστά
Δέκατα
χιλιοστών
5 7. 9 1 8 , 2 4 7 5

8
α) Στο τέλος κάθε δεκαδικού αριθμού μπορούμε να προσθέσουμε μηδενικά ή και να τα
διαγράψουμε, χωρίς να αλλάζει ο αριθμός.
π.χ. 3,71 = 3,710 = 3,7100 =3,71000 =3,710000
1. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα, όπως στο παράδειγμα.
Με ψηφία Με λέξεις
5,42 πέντε μονάδες και σαράντα δύο εκατοστά
3,40
16,05
30,008
45,375
2. Σημειώνω την υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση, ώστε:
α) Το 3 να δηλώνει δέκατα : Α.6534 Β. 1039 Γ. 983 Δ. 76543 Ε. 3
β) Το 5 να δηλώνει εκατοστά : Α.7654 Β. 1235 Γ. 765 Δ. 98765 Ε. 5
γ) Το 2 να δηλώνει χιλιοστά : Α. 5432 Β. 432 Γ. 2
3. Γράφω το όνομα της τάξης μεγέθους που δηλώνει ο αριθμός 7 σε κάθε έναν από τους
αριθμούς που ακολουθούν.
α) 723,56 ........................................................
β) 57,3.............................................................
γ) 106,745.......................................................
δ) 7.630.243,12...............................................
ε) 28,476.........................................................

9
στ) 00,527........................................................
ζ) 72,5096........................................................
4. Γράφω με ψηφία τους αριθμούς που ακολουθούν.
α) Τριάντα ένα και εννιά δέκατα. ...............................
β) Τριακόσια πενήντα δύο και είκοσι τρία εκατοστά. ...............................
γ) Εκατόν είκοσι οκτώ και έξι χιλιοστά. ...............................
δ) Πέντε και επτακόσια πενήντα ένα χιλιοστά. ...............................
ε) Τριάντα πέντε και διακόσια τρία χιλιοστά. ...............................
στ) Έξι και δώδεκα εκατοστά. ...............................
5. Γράφω τον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε γράμμα.
Α : Β : Γ :
ιδευτήρια ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΖΩΗ Στ΄ Δημοτικού
Α : Β : Γ :
6. Σημειώνω με «Σ» τις σωστές και «Λ» τις λανθασμένες προτάσεις. Σε περίπτωση που η
πρόταση είναι λανθασμένη, δικαιολογώ γιατί τη θεώρησα λάθος.
α) (……) Σε έναν δεκαδικό αριθμό το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή είναι τα δέκατα.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……) Ένας δεκαδικός αριθμός αποτελείται από δεκαδικό και ακέραιο μέρος.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……) Η διαγραφή του 0 στον αριθμό 30,75 δεν επηρεάζει την αξία του.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

10
δ) (……) Στον αριθμό 3,08 το 8 αναφέρεται στα δέκατα.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
ε) (……) Ο αριθμός 8,02 διαβάζεται «οκτώ μονάδες και δύο εκατοστά».
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
στ) (……) Ισχύει ότι 2,15 = 2,150.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
ζ) (……) Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού αλλάζει, αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε
μηδενικά στο τέλος του.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
7. Τοποθετώ στο σωστό σημείο τους αριθμούς που ακολουθούν
α. 0,5 ε. 2,35
β. 0,05 ζ. 2,5
γ. 3,54 η. 1,92
δ. 3,08 θ. 0,62
8. Από τους παρακάτω αριθμούς διαγράφω όσα ψηφία μπορώ ώστε να μην αλλάξει ο
αριθμός.
α. 0,2500 δ. 3,00800 η. 01,392
β. 3,040 ε. 020,35 θ. 0,620
γ. 03,504 ζ. 02,15 ι. 32,007

11
Κλάσμα: είναι ένας αριθμός που δηλώνει «το μέρος» ενός «συνόλου».
Όταν λοιπόν λέμε ότι πήραμε το
1
4
μιας πίτσας σημαίνει ότι κόψαμε την πίτσα (σύνολο ή
αλλιώς μονάδα αναφοράς) σε 4 ίσα κομμάτια και πήραμε το 1 (μέρος).
Το κλάσμα αποτελείται από:
o τον παρονομαστή που μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε το σύνολο
o τον αριθμητή που μας δείχνει πόσα μέρη πήραμε από το σύνολο
Ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδέν, γιατί αυτό θα σήμαινε ότι δεν
χωρίσαμε καθόλου το σύνολο. Κάτι τέτοιο δεν έχει νόημα για ένα κλάσμα.
Ο αριθμητής μπορεί να είναι μηδέν, αυτό σημαίνει απλώς ότι δεν πήραμε κανένα κομμάτι από
το σύνολό μας.
αριθμητής
παρονομαστής
κλασματική γραμμή

12
Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι
μικρότερο από τη μονάδα.
Όταν o αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή τότε σημαίνει ότι πήραμε όλα τα κομμάτια του
συνόλου και άρα το κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα.
Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο
από τη μονάδα.
4
= 1

13
Δεκαδικά κλάσματα λέγονται τα κλάσματα που έχουν για παρονομαστή έναν από τους αριθμούς
10, 100, 1.000, 10.000 κτλ
π.χ.
1
10
,
1
100
,
1
1.000
,
1
10.000
Τα δεκαδικά κλάσματα τα χρησιμοποιούμε σε πολλές περιπτώσεις, όπως όταν μιλάμε για
χρήματα, για βάρος, για μήκος κτλ.
Μέγεθος Μονάδες
Χρήματα
Ευρώ
1
100
€=1 λεπτό - -
Μήκος
Μέτρο
1
10
μ=1 δεκ.
1
100
μ=1 εκ.
1
1.000
μ=1 χιλ.
Βάρος
Κιλό
1
1.000
κ=1 γρ. - -
Κάθε ένα από τα παραπάνω μεγέθη εκφράζεται με διαφορετικά δεκαδικά κλάσματα. Για να
επιλέξουμε λοιπόν το σωστό, πρέπει πρώτα να ξέρουμε σε πόσα «ίσα μέρη» μπορούμε να
χωρίσουμε το μέγεθος αυτό. Έτσι για παράδειγμα:
➢ Εάν πάρουμε ένα κιλό, αυτό μπορούμε να το χωρίσουμε σε 1.000 ίσα μέρη που τα
ονομάζουμε γραμμάρια. Επομένως το 1 γραμμάριο είναι
𝟏
𝟏.𝟎𝟎𝟎
του κιλού.
➢ Εάν πάρουμε ένα ευρώ, αυτό μπορούμε να το χωρίσουμε σε 100 ίσα μέρη που τα
ονομάζουμε λεπτά (cents). Επομένως το 1 λεπτό είναι
𝟏
𝟏𝟎𝟎
του ευρώ.
➢ Εάν πάρουμε το ένα μέτρο, αυτό μπορούμε να το χωρίσουμε και 10 και σε 100 και
σε 1.000 ίσα μέρη. Αυτά τα ονομάζουμε δέκατα, εκατοστά και χιλιοστά αντίστοιχα.

14
Επομένως το 1 δέκατο είναι
𝟏
𝟏𝟎
του μέτρου , το 1 εκατοστό είναι
𝟏
𝟏𝟎𝟎
του μέτρου και
το 1 χιλιοστό είναι
𝟏
𝟏.𝟎𝟎𝟎
του μέτρου.
Κάθε δεκαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως
δεκαδικό κλάσμα και αντίστροφα. Σαν να λέμε
δηλαδή, ότι οι δύο αριθμοί αποτελούν τις δύο
όψεις του ίδιου νομίσματος.
1. Τοποθετώ στον αριθμητή τον δεκαδικό χωρίς την υποδιαστολή.
132
2. Στον παρονομαστή τοποθετώ τη μονάδα.
132
1
3. Προσθέτω στη μονάδα τόσα μηδενικά όσα ήταν τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού .
132
100
Για να γράψω έναν δεκαδικό αριθμό με μορφή δεκαδικού κλάσματος, για
παράδειγμα τον αριθμό 1,32 ακολουθώ τα παρακάτω βήματα:
5
10
= 0,5 ⇆ 0,12 =
12
100

15
1. Ξαναγράφω τον αριθμό που βρίσκεται στον αριθμητή σκέτο.
215
2. Μετράω πόσα μηδενικά υπήρχαν στον παρονομαστή του κλάσματος. Στην
περίπτωσή μας είναι δύο μηδενικά.
3. Μετακινώ την υποδιαστολή αριστερά τόσες θέσεις όσα είναι και τα μηδενικά του
παρονομαστή.
2,15
Μερικά παραδείγματα
Το νερό και ο πάγος καταλαμβάνουν τα εφτά δέκατα της επιφάνειας της Γης.
Ο αριθμός εφτά δέκατα γράφεται με μορφή:
Α) κλάσματος Β) δεκαδικού αριθμού 0,7
7
10
Για να γράψω ένα δεκαδικό κλάσμα με μορφή δεκαδικού αριθμού για παράδειγμα το
215
100
ακολουθώ τα παρακάτω βήματα:
Με δεκαδικούς αριθμούς ασχολήθηκαν πρώτοι οι Άραβες και οι Κινέζοι. Εκείνος
όμως που τους έβαλε στη καθημερινή χρήση ως άλλη μορφή γραφής των δεκαδικών
κλασμάτων ήταν ο Φλαμανδός μαθηματικός, μηχανικός και αρχιτέκτονας Σίμον
Στέβιν. Έγραψε μάλιστα για αυτό κι ένα βιβλίο με τίτλο «το Δέκατο», το 1585 μ.Χ.

16
1. Γράφω με δεκαδικό κλάσμα και δεκαδικό αριθμό τι μέρος της ακέραιης μονάδας έχει
απομείνει από την πίτα.
έμειναν: ή .... , .... έμειναν: ή .... , .... έμειναν: ή .... , .... έμειναν: ή .... , ....
2. Γράφω τα κλάσματα με τη μορφή δεκαδικών αριθμών.
α) β) γ) δ)
ε) στ) ζ) η)
θ) ι) ια) ιβ)
3. Γράφω τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς με τη μορφή δεκαδικού κλάσματος.
0,4 0,03 0,008
3,5 4,72 1,435
4. Γράφω με δεκαδικό αριθμό και με δεκαδικό κλάσμα τους παρακάτω αριθμούς.
5 δέκατα = ............................ ή .........................
32 εκατοστά = ...................... ή .........................
45 χιλιοστά = ........................ ή ........................
12 δέκατα = .......................... ή ........................
137 εκατοστά = .................... ή ........................
2.348 χιλιοστά = ................... ή ........................
5
10
27
10
173
10
1453
10
6
100
35
100
142
100
2345
100
8
1000
76
1000
562
1000
1384
1000

17
5. Ξεχωρίζω ποια από τα παρακάτω κλάσματα είναι δεκαδικά και τα γράφω σαν
δεκαδικούς αριθμούς.
6. Συμπληρώνω τον πίνακα.
7. Συμπληρώνω τον πίνακα
8
9
7
10
105
100
83
925
5
1000
2
3
8725
1000
μικτή γραφή με κλάσμα με δεκαδικό
φτάνω στην πιο κοντινή μονάδα
με πρόσθεση
65 εκατοστά 65
100
0,65
65
100
+
35
100
=
100
100
=1
0,5
250 χιλιοστά
43
10
χρήματα
με
συμμιγή
με
ακέραιο
με
κλάσματα
με
διαίρεση
με
δεκαδικό
με μεικτό
2€ 20λ. 2€ 20λ. 220λ.
220
100
220:100 2,20€ 2
20
100
€
0€ 6λ.
10€ 15λ.
3€ 5λ.
0€ 80λ.

18
8. Συγκρίνω τα παρακάτω ζεύγη, χρησιμοποιώντας το σύμβολο της ισότητας ή
ανισότητας ( < , > , = ).
Α. 57
10
........ 5,07 Β. 456
100
........ 0,456
Γ. 5,20 5,02 Δ. 3,40 3,35
Ε. 203
100
........ 2,3 ΣΤ. 345
100
........ 3,45
9. Ο κ. Αλέξανδρος έχει
43
100
€ και ο κ. Δημήτρης έχει 4,34€.
Α. Ποιος από τους δύο έχει περισσότερα χρήματα;
Β. Πόσο περισσότερα χρήματα έχει;
10. Ο Κώστας έχει στο πορτοφόλι του ένα χαρτονόμισμα των πέντε ευρώ, ένα κέρμα των
δύο ευρώ και ένα κέρμα των είκοσι λεπτών.Ο Μάνος έχει στο πορτοφόλι του ένα
χαρτονόμισμα των πέντε ευρώ , ένα κέρμα των δύο ευρώ και ένα κέρμα των πέντε
λεπτών. Γράφω με δεκαδικό αριθμό το χρηματικό ποσό που έχει κάθε παιδί και
συγκρίνω ποιο παιδί έχει περισσότερα χρήματα στο πορτοφόλι του.
11. Ο κ. Παναγιώτης γράφει τα μαθήματα της ημέρας για τον Πέτρο που έλειπε σήμερα.
Χρησιμοποιεί ένα φύλλο χαρτί με μήκος
15
100
μ. και πλάτος 0,09 μ. . Οι καινούριοι
φάκελοι του σχολείου έχουν διαστάσεις
70
1000
μ. μήκος και 16 εκατοστά πλάτος.
α) Θα χωρέσει το χαρτί;
β) Υπάρχει τρόπος να χωρέσει;
γ) Πώς πρέπει να το διπλώσει ο κ. Παναγιώτης, οριζόντια ή κάθετα;

19
1. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την περιουσία των πέντε πλουσιότερων ανθρώπων της
Ελλάδας. Διατάσσω τους αριθμούς από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο. Προσοχή,
διατάσσω τους αριθμούς και όχι τα ονόματα των ανθρώπων.
Ονόματα Χρήματα (ευρώ)
Χιονάς 6.516.000
Αλεξίου 5.471.000
Βαμιεδάκης 4.425.000
Κανιούρας 6.192.000
Αμοιραλής 6.695.000
.......................... > .......................... > .......................... > .......................... > .........................
2. Γράφω τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς από τον μεγαλύτερο προς το
μικρότερο,χρησιμοποιώντας το σύμβολο της ανισότητας.
2,34 8,699 5,1 8,69 1,22
……………………………………………………………………………………............................................................
3. Βάζω το κατάλληλο σύμβολο ( <,>,=) στα ζεύγη αριθμών που ακολουθούν.
α. 2501 ...... 2051 ε. 18,07 ...... 18,007
β. 31,4 ...... 031,400 ζ. 02,15 ...... 21,05
γ. 14,5 ...... 1,450 η. 01,00 ...... 10
δ. 367,0 ...... 367 θ. 0,640 ...... 0,64

20
4. Συμπληρώνω τον πίνακα με τον προηγούμενο και τον επόμενο δεκαδικό αριθμό.
5. Τοποθετώ τους αριθμούς στις αριθμογραμμές.
6. Συμπληρώνω τα κενά με ένα δικό μου αριθμό.
α. 1,32 <...............< 1,35 ε. 3,9 <...............< 4
β. 3,14 <...............< 3,15 ζ. 3,248 <...............< 3,249
γ. 14,5 <...............< 14,50 η. 01,00 <...............< 10
δ. 0,023 <...............< 0,024 θ. 0,460 <...............< 0,46
Στα δέκατα Στα εκατοστά Στα χιλιοστά
α) .....… < 0,5 < ….... β) .....… < 0,50 < ….... γ) .....… < 0,500 < …....
δ) .....… < 0,8 < ….... ε) .....… < 0,72 < ….... στ) .....… < 0,453 < …....

21
Πρόσθεση:
Οι αριθμοί που δίνονται για πρόσθεση ονομάζονται προσθετέοι,
ενώ το αποτέλεσμά τους ονομάζεται άθροισμα.
Αντιμεταθετική ιδιότητα στην πρόσθεση : το άθροισμα
δεν αλλάζει εάν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων
π.χ. 2+5+7 = 5+7+2
Προσεταιριστική ιδιότητα στην πρόσθεση: σε μια πρόσθεση με πολλούς
αριθμούς μπορουμε να ξεκινήσουμε με όποιο ζευγάρι προσθετέων επιθυμούμε
και στη συνέχεια, στο άθροισμα που βρήκαμε, προσθέτουμε και τον επόμενο
προσθετέο.
π.χ. 7+8+3 = (7+3) +8 = 10 + 8 = 18
Αφαίρεση:
Ο μεγαλύτερος αριθμός ονομάζεται Μειωτέος (Μ) και ο μικρότερος
Αφαιρετέος (Α), ενώ το αποτέλεσμα ονομάζεται Διαφορά (Δ).
Πρόσθεση και την αφαίρεση των δεκαδικών αριθμών:
Γράφουμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο, με τέτοιον τρόπο, ώστε οι
υποδιαστολές να είναι η μία κάτω από την άλλη, οι μονάδες να είναι κάτω από τις μονάδες,
οι δεκάδες κάτω από τις δεκάδες, τα δέκατα κάτω από τα δέκατα, τα εκατοστά κάτω από τα
εκατοστά κτλ.
Κάνω τις πράξεις:
Α. 3,72 + 12,49 Β. 12,43 - 7,763 Γ. 15 - 3,264
3 , 7 2
+ 1 2 , 3 4 9
1 6 , 0 6 9
1 2 , 4 3 0
- 7 , 7 6 3
4 , 6 6 7
1 5 , 0 0 0
- 3 , 2 6 4
1 1 , 7 3 8
Στις κενές θέσεις μπορούμε να
προσθέσουμε μηδενικά, εάν θέλουμε.

22
Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις, αφού η μία μπορεί να αναιρέσει την
άλλη.
1. Κάνω κάθετα τις παρακάτω πράξεις. Στη συνέχεια επαληθεύω, χρησιμοποιώντας την
αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης.
Α. 3,6 + 14 Β. 14,56 + 28,3 Γ. 0,05 + 2,3 Δ. 4,05 + 7
Επαλήθευση Επαλήθευση Επαλήθευση Επαλήθευση
2. Κάνω κάθετα τις παρακάτω πράξεις και τις επαληθεύσεις τους.
Α. 12 - 3,4 Β. 13,55 - 1,4 Γ. 9 - 0,14 Γ. 15 - 0,03

23
3. Συμπληρώνω τα κενά:
4. Χρησιμοποιώ την προσεταιριστική ιδιότητα, για να επιλύσω γρήγορα τα παρακάτω
αθροίσματα.
15 + 12 + 20 + 5 + 8
……………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………….………
22 + 23 + 30 + 48 + 47
……………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………….………
5. Κάνω τις πράξεις στο τετράδιό μου:
α. 2,374 + 3,657 β. 4,2 + 5,32 γ. 3,7 + 6,445
δ. 3,05 - 0,75 ε. 6,54 - 2,173 στ. 21,4 - 15,345
5 3 6
+ 5 7 8
9 0 1 1 3
6 7 2
+ 8 1 3
9 1 8 9 7
7 2 8 4
+ 1 7 5
3 3 2
2 9 7
- 1 9 2 6
3 8 8 1 9
5 2 6 7
- 9 7
9 6 3 2 8
9 3
- 2 8 8 9
6 5 3 5 5 1

24
6. Σημειώνω με Σ τις σωστές και Λ τις λανθασμένες προτάσεις. Σε περίπτωση που η
α) (…..) Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει και στην αφαίρεση.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (…..) Η επαλήθευση της πρόσθεσης είναι πάντα η αφαίρεση.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (…..) Η επαλήθευση της αφαίρεσης είναι πάντα η πρόσθεση.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (…..) Η ιδιότητα που ακολουθεί ονομάζεται προσεταιριστική.
9 + 10 + 1 = (9 + 1) + 10
………………………………………………………………………………………………………….…………………………………
7. Στο παρακάτω ραβδόγραμμα παρουσιάζονται στοιχεία από τη συγκομιδή μήλων την
περίοδο του φθινοπώρου.
α) Πόσα μήλα μάζεψαν και τα τέσσερα παιδιά;
β) Απαντώ χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα.
γ) Επαληθεύω, χρησιμοποιώντας, επίσης, την προσεταιριστική ιδιότητα.
8. Εάν x+ψ=7,5 και φ+ω=13,2 βρίσκω τα αθροίσματα στο τετράδιό μου:
α) x + 3 + ψ + 6,3 = β) 3 + φ + 5 + ω + 2 =
γ) x + 3 + ψ + 2,1 + φ + 5,4 + ω = δ) x + φ + 4,1 + ψ + ω + 2,6 =

25
Πολλαπλασιασμός:
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο ή περισσότερων
αριθμών ονομάζεται γινόμενο. Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται
ονομάζονται παράγοντες του γινομένου.
αντιμεταθετική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό: το αποτέλεσμα δεν αλλάζει εάν
αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων.
π.χ. 2 x 4 x 9 = 9 x 4 x 2
προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό: σε έναν πολλαπλασιασμό με πολλούς
αριθμούς μπορουμε να ξεκινήσουμε με όποιο ζευγάρι επιθυμούμε και στη συνέχεια, να
πολλαπλασιάσουμε το γινόμενο που βρήκαμε με τον τρίτο παράγοντα.
π.χ. 20 x 12 x 5 = (20x5) x12 = 100 x 12 = 1.200
επιμεριστική ιδιότητα: για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το άθροισμα δύο ή
περισσότερων προσθετέων μπορούμε πρώτα να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε
προσθετέο ξεχωριστά και στη συνέχεια να προσθέσουμε τα επιμέρους γινόμενα. Η
ιδιότητα αυτή ισχύει και για την αφαίρεση.
π.χ. 15 x (4-3)= 15x4 - 15x3 = 60 - 45 = 15
Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν δεκαδικό αριθμό με το 10, 100, 1000, 10.000..., τότε
απλώς μετακινούμε την υποδιαστολή τόσες θέσεις δεξιά όσα είναι και τα μηδενικά.
π.χ. 3,562 x 10.000 = 35.620
Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν δεκαδικό αριθμό με το 0,1 , 0,01 , 0,001, 0,0001..., τότε
απλώς μετακινούμε την υποδιαστολή τόσες θέσεις αριστερά όσα είναι και τα δεκαδικά
ψηφία.
π.χ. 356,2 x 0,001 = 0,3562

26
Στον κάθετο πολλαπλασιασμό δεκαδικών αριθμών δεν μας ενδιαφέρει να γράφεται το
ακέραιο μέρος κάτω από το ακέραιο και το δεκαδικό κάτω από το δεκαδικό. Όμως
προσέχουμε στο τέλος να συμπληρώσουμε στον αριθμό τόσα δεκαδικά ψηφία όσα έχουν
μαζί όλοι οι παράγοντες του γινομένου.
1. Κάνω κάθετα τις παρακάτω πράξεις. Στη συνέχεια επαληθεύω, χρησιμοποιώντας την
αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού (οι επαληθεύσεις να γίνουν με
υπολογιστή τσέπης).
Α. 3,6 x 14 Β. 4,5 x 8,34 Γ. 0,08 x 2,7 Δ. 0,56 x 2,3
2. Συμπληρώνω τους παρακάτω πίνακες.
x 10 100 1.000 10.000
2,348
12,5
0,032

27
x 0,1 0,01 0,001 0,0001
354,9
12,5
0,32
3. Υπολογίζω τα γινόμενα στο τετράδιό μου:
α) 2,34 x 1,7 β) 13,2 x 5,3 γ) 14,53 x 4,42 δ) 3,79x 3,7
4. Βρίσκω τα γινόμενα με το μυαλό:
α) 10 x 2,95 = ................................. στ) 10 x 0,08 = ........................................
β) 100 x 37,29 = ................................... ζ) 100 x 5,741 = ...................................
γ) 0,065 x 100 = .................................... η) 1.000 x 0,29 = ...................................
δ) 1.000 x 72,5 =............................. θ) 10 x 3,8 = ...................................
ε) 10 x 0,027 =................................. ι) 100 x 47,2 = ...................................
5. Λύνω τις παρακάτω πράξεις, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα του
πολλαπλασιασμού.
Απλός πολλαπλασιασμός με προτεραιότητα
στην παρένθεση
Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού
12 x (9 + 1) =
= 12 x 10 =
= 120
12 x (9 + 1) =
= (12 x 9) + (12 x 1) =
= 108 + 12 =
=120
15 x (4 + 8) = 15 x (4 + 8) =

28
12 x (10 – 4) = 12 x (10 – 4) =
6. Χρησιμοποιώ την προσεταιριστική ιδιότητα, για να επιλύσω τους παρακάτω
πολλαπλασιασμούς,όπως στο παράδειγμα.
Προσεταιριστική ιδιότητα του
πολλαπλασιασμού
3 x 4 x 5 =
= (3 x 4) x 5 =
= 12 x 5 =
= 60
3 x 4 x 5 =
= 3 x (4 x 5) =
= 3 x 20 =
= 60
8 x 12 x 5 = 8 x 12 x 5 =
α) (…..) Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει και στον πολλαπλασιασμό.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (…..) Ισχύει ότι 3 x (4 + 5) = (3 x 4) + 5.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (…..) Ισχύει ότι 12 x (9 + 1) = (12 x 9) + (12 x 1)
………………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (…..) Ισχύει ότι 12,34 x 1.000 = 12.340.
………………………………………………………………………………………………………………………………………

29
ε) (…..) Ισχύει ότι 3 x 10 x 0 = 30.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
στ) (…..) Ισχύει ότι 1.234 x 0,01 = 12,34.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
ζ) (…..) Η ιδιότητα που ακολουθεί ονομάζεται προσεταιριστική.
3 x 4 x 5 = (3 x 4) x 5
………………………………………………………………………………………………………………………………………
8. Στο κατάστημα του Αλέξη υπάρχει μια οικονομική συσκευασία με 72 σοκολατάκια.
Κάθε σοκολατάκι κοστίζει 0,32€. Μέχρι το απόγευμα ο Αλέξης είχε πουλήσει 10
οικονομικές συσκευασίες. Πόσα χρήματα κέρδισε ο Αλέξης; Βρίσκω το αποτέλεσμα με
μία αριθμητική παράσταση. Επαληθεύω χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική
ιδιότητα.
9. Συμπληρώνω τα κενά:
α) 0,85 x 1000 = ............................. β).............. x 1000 = 0,53
γ) ................. x 100 = 7,26 δ) 0,023 x 1000 =...................................
ε) 24,72 x …………… = 247,2 στ) …………………. x 100 = 3.285
10. Παρατηρώ τα παραδείγματα και συμπληρώνω τα κενά, χωρίς να κάνω τις πράξεις.
65 x 24 = 1.560
α) 6,5 x 24 = ........................................ β) 6,5 x 2,4= ..........................................
γ) 65 x 0,24 = .................................... δ) 6,5 x 0,24 = ........................................
ε) 0,65 x 2,4 = ................................... ζ) 6,5 x 0,0024 = ...................................

30
36 x 25 = 900
α) 36 x .......... = 90 β) .......... x .......... = 0,9 γ) .......... x 0,25 = 900
δ) .......... x .......... = 9 ε) 3,6 x .......... = 90 στ) .......... x 2,5 = 0,9
ζ) .......... x 0,25 = 900 η) 0,36 x .......... = 0,9 θ) 0,36 x .......... = 0,9
ι) .......... x .......... = 0,09
11. Παρατηρώ τα παραδείγματα και συμπληρώνω τα κενά, χωρίς να κάνω τις πράξεις.
48 x 13 = 624
α) 4,8 x 1,3 = ........................................ β) 0,48 x ................. = 62,4
γ) 0,48 x 0,13 = ................................... δ) ........... x ............ = 6,24
ε) 48 x 0,13 = ...................................
125 x 36 = 4500
α) 12,5 x 3,6 = ................................... β) 12,5 x ................. = 4500
γ) 1,25 x 3,6 = ................................... δ) ........... x 0,36 = 45
ε) 0,125 x 36 = .................................. ζ)........... x ............ = 0,45
12. Κάνω τις πράξεις που ακολουθούν στο τετράδιό μου χρησιμοποιώντας την
επιμεριστική ιδιότητα.
α) 21 x (12 + 7) = β) 11 x (9 + 14) =
γ) 5 x (6 + 3) = δ) 5 x (13 - 5) =
ε) 4 x (25 - 7) = στ) 6 x (17 - 6) =
13. Ο κύριος Μιχάλης έχει κρεοπωλείο και αγοράζει από τον παραγωγό κρέατα με τις εξής
τιμές:
μοσχαρίσιο -> 12,5 ευρώ ανά κιλό
χοιρινό -> 8,75 ευρώ ανά κιλό
κοτόπουλο -> 9,20 ευρώ ανά κιλό
Εάν ο κύριος Μιχάλης πληρώσει τον παραγωγό με ένα χαρτονόμισμα των 500 ευρώ για
να αγοράσει 10 κιλά μοσχαρίσιο κρέας, 25 κιλά χοιρινό και 20 κιλά κοτόπουλο πόσα ρέστα
θα πάρει;

31
Σε κάθε διαίρεση, υπάρχουν τέσσερις όροι. Αυτοί είναι:
α) «Δ» ο διαιρετέος (ο αριθμός που χωρίζεται σε μικρότερα μέρη, αυτός που
διαιρείται)
β) «δ» ο διαιρέτης ( ο αριθμός που δείχνει σε πόσα μέρη θα χωριστεί ο διαιρετέος,
αυτός που προκαλεί τη διαίρεση)
γ) «π» το πηλίκο (το αποτέλεσμα τη διαίρεσης)
δ) «υ» το υπόλοιπο (πόσα περισσεύουν από τη διαίρεση)
Σχηματική απεικόνιση:
Όταν το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι μηδέν, τότε λέμε ότι η διαίρεση είναι τέλεια, ενώ σε
αντίθετη περίπτωση ονομάζουμε τη διαίρεση ατελή.
Τέλεια διαίρεση Ατελής διαίρεση

32
Όταν έχουμε μια διαίρεση που αφήνει υπόλοιπο (ατελή διαίρεση), μπορούμε να συνεχίσουμε τη
διαίρεση χρησιμοποιώντας υποδιαστολή μέχρι το υπόλοιπο να γίνει μηδέν.
Για να επαληθεύσουμε το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το
πηλίκο και προσθέτουμε το υπόλοιπο. Το αποτέλεσμα της πράξης θα πρέπει να μας δίνει τον
Διαιρετέο.
Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες:
α) άρτιοι (οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το 2)
β) περιττοί (οι αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 2)
Όταν διαιρούμε έναν αριθμό με το 10, 100, 1.000 ... τότε μετακινούμε την υποδιαστολή αριστερά
τόσες θέσεις όσα είναι και τα μηδενικά του διαιρέτη.
π.χ. 231,76 : 100 = 2,3176 184 : 1.000 = 0,184
Όταν διαιρούμε έναν αριθμό με το 0,1 , 0,01 , 0,001 ... τότε μετακινούμε την υποδιαστολή δεξιά
τόσες θέσεις όσα είναι και τα δεκαδικά ψηφία του διαιρέτη.
π.χ. 231,76 : 0,01 = 23.176 184 : 0.001 = 184.000
υποδιαστολή
Δ = δ x π + υ
δ × π + υ= 13 × 4 + 2 = 52+2 = 54
Δ = 54
Σωστό
Οι πραξεις της πρώτης
γραμμής δίνουν
αποτέλεσμα τον Διαιρέτη

33
1. Βρίσκω τα πηλίκα κάνοντας την κάθετη διαίρεση στο τετράδιο μου, σημειώνει ποιες
από αυτές είναι τέλειες και ποιες ατελείς και στη συνέχεια κάνω γραπτά την
επαλήθευση.
α. 12 : 8 β. 3 : 4 γ. 10 : 4
δ. 48 : 5 ε. 36 : 5 στ. 126: 8
ζ. 87 : 15 η. 884 : 17 θ. 1008 : 36
ι. 183 : 15 κ. 369 : 18 λ. 1008: 6
2. Κάνω κάθετα τις παρακάτω πράξεις. Στη συνέχεια επαληθεύω, κάνοντας
πολλαπλασιασμό.
Α. 90,86 : 2,8 Β. 3.570:8
Επαλήθευση Επαλήθευση
3. Γράφω τις διαιρέσεις που προκύπτουν από τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς.
α. 17 x 32 = 544 ....................................... ..........................................
β. 28 x 57 = 1.596 ....................................... ..........................................
γ. 19 x 23 = 437 ....................................... ..........................................
δ. 25 x 38 = 950 ....................................... ..........................................
ε. 12,3 x 18 = 221,4 ....................................... ..........................................
στ. 9,2 x 8,35 = 76,82 ....................................... ..........................................

34
4. Κάνω με το νου τις παρακάτω διαιρέσεις.
α. 12 : 10 = β. 35 : 100 = γ. 1,25 : 100 =
δ. 482,5 : 100 = ε. 32,6 : 1.000 = στ. 72,6 : 10 =
ζ. 1.204 : 100 = η. 12.000 : 100 = θ. 300 : 1000 =
5. Συμπληρώνω τα παρακάτω κενά.
α. 45 : ………. = 4,5 β. 456 : ………. = 4,56
γ. 5,6 : ………. = 0,056 δ. 5,69 : ………. = 0,0569
ε. 45,6 : ………. = 0,456 στ. 4.567 : ………. = 4.567
6. Λύνω τις παρακάτω πράξεις, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα της
διαίρεσης.
Απλή διαίρεση με προτεραιότητα στην
παρένθεση
Επιμεριστική ιδιότητα της διαίρεσης
(12 + 24) : 6 =
= 36 : 6=
= 6
(12 + 24) : 6 =
= (12 : 6) + (24 : 6) =
= 2 + 4 =
=6
παρένθεση
(24 + 36) : 6 = (24 + 36) : 6 =
παρένθεση
(36 - 24) : 6 = (36 - 24) : 6 =

35
η πρόταση είναι λανθασμένη, δικαιολογώ την απάντηση μου.
α) (……)Ο πολλαπλασιασμός είναι αντίθετη πράξη με τη διαίρεση.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……)Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει στη διαίρεση.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……)Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει στη διαίρεση.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (……)Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός φυσικού αριθμού με το 9 είναι 11
………………………………………………………………………………………………………………………………………
ε) (……)Ισχύει ότι 10 : 0 = 10.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
στ) (……)Ισχύει ότι 0 : 10 = 0.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
ζ) (……)Σε μία διαίρεση φυσικών αριθμών το πηλίκο είναι πάντα μεγαλύτερο από το
υπόλοιπο.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
η) (……)Ο διαιρετέος είναι πάντα μεγαλύτερος από τον διαιρέτη.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
θ) (……)Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
ι) (……)Η διαίρεση που αφήνει υπόλοιπο λέγεται τέλεια.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
ια) (……)5 : 5 = 1
………………………………………………………………………………………………………………………………………
ιβ) (……)10 : 1 = 1
………………………………………………………………………………………………………………………………………
8. Μια εταιρεία αναψυκτικών παράγει δύο ειδών συσκευασίες αναψυκτικού. Η μία είναι
1 λίτρου και η άλλη 1,5 λίτρου. Η συσκευασία του 1 λίτρου κοστίζει 0,96€ και εκείνη
του 1,5 κοστίζει 1,44€. Ποια συσκευασία είναι πιο συμφέρουσα;

36
9. Ένας οινοπαραγωγός έχει ένα βαρέλι που χωράει 1 τόνο κρασί. Από αυτά πούλησε
92,5 κιλά και το υπόλοιπο κρασί το έβαλε σε νταμιτζάνες των 16,5 κιλών. Πόσες
νταμιτζάνες χρησιμοποίησε;
10. Ένα τετράγωνο περιφραγμένο οικόπεδο έχει περίμετρο 96μ. Εάν σε κάθε πλευρά
έχουμε 15 πάσσαλους στήριξης σε ίσες αποστάσεις, πόσα μέτρα απέχει ο ένας από τον
άλλο;
11. Οι αρχαίοι Έλληνες αποκαλούσαν «Χρυσό Ορθογώνιο» το ορθογώνιο που, όταν το
μήκος του διαιρεθεί με το πλάτος του, δίνει πηλίκο περίπου ίσο με 1,6.Τον αριθμό αυτό
συμβολίζουμε μέχρι σήμερα με το ελληνικό γράμμα «φ». Ποιο από τα παρακάτω
ορθογώνια είναι «Χρυσό Ορθογώνιο»;
Ορθογώνιο Μήκος Πλάτος Πηλίκο
Α 5,8 1,8
Β 4,8 3
Γ 6,2 2,4
Δ 4,4 3,8
12. Γράφω το αποτέλεσμα για κάθε διαίρεση.
α. 580 : 10 = ................................. στ. 22 : 10.000 = .............................
β. 1.245 : 100 = ............................. ζ. 3,27 : 100 = .................................
γ. 0,032 : 100 =.............................. η. 4.578 : 100.000 = .......................
δ. 278,69 : 1000 = ......................... θ. 815,7 : 10 = .................................
ε. 0,13 : 10 = ................................. ι. 0,68 : 100 = ..................................

37
13. Βρίσκω τα δυσκολότερα πηλίκα.
α. 18,4 : 2,3 β. 14,4 : 3,2 γ. 38,7 : 4,5
δ. 658:0,08 ε. 130 : 3,25 στ. 0,075: 0,25
14. Βρίσκω τα σούπερ δύσκολα πηλίκα.
α. 2,419 : 32 β. 127,65 : 15 γ. 352,89 : 36
δ. 1973,188 : 7,6 ε. 42,29496 : 2,14 στ.0,75946 :1,3
15. Γράφω το αποτέλεσμα για κάθε διαίρεση.
α. 8,30 : 0,1 = ............................ στ. 0,22 : 0,001 =...........................
β. 24,5 : 0,01 = .......................... ζ. 0,002 : 0,1 =...............................
γ. 78 : 0,01 = ............................. η. 0,05 :0,0001 =............................
δ. 2,877 : 0,0001 = .................... θ. 24 : 0,00001 =............................
ε. 13 : 0,1 = ............................... ι. 1,8 : 0,1 =....................................
16. Για να αγοράσουμε στο σινεμά 2 ποπ-κορν και 3 αναψυκτικά χρειαζόμαστε 8,4 ευρώ.
Στο διάλειμμα αγοράσαμε άλλα 2 ποπ-κορν και άλλα 2 αναψυκτικά και πληρώσαμε
7,2 ευρώ. Πόσο κοστίζει κάθε ποπ-κορν και κάθε αναψυκτικό;
17. Εάν «α» είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης 258 : 8 και «β» το υπόλοιπο της διαίρεσης
325 : 12, χωρίς να κάνω τις διαιρέσεις δικαιολογώ γιατί α + β < 20 .

38
Αριθμητική παράσταση λέγεται μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με
σύμβολα των πράξεων.
Παραδείγματα
α. 2.8 – 4 + 12 : 3 β. (50 + 25) : 3 – 4 x 6
Η λύση ενός προβλήματος μπορεί να εκφραστεί κατάλληλα με αριθμητική παράσταση.
ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
(Πρώτα γίνονται οι δυνάμεις για τις οποίες θα μάθουμε σε επόμενο μάθημα).
1. Μετά οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις (κατά προτίμηση με τη σειρά που
εμφανίζονται από αριστερά προς τα δεξιά).
2. Στο τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις (ΠΑΝΤΑ με τη σειρά που εμφανίζονται από
αριστερά προς τα δεξιά).
3. Σε περίπτωση που έχουμε παρενθέσεις γίνονται πρώτα οι πράξεις μέσα σε αυτές
ακολουθώντας την παραπάνω σειρά.
1. Λύνω τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις. Προσέχω τη σειρά με την οποία κάνω
τις πράξεις.
Α. 35 – 6 + 13 – 27 + 8 =
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
B. 59 – 35 – 18 + 11 – 2 =
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

39
Γ. 432 : 36 x 12 =
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Δ. 13 x 15 – 2 + 13 =
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Ε. 16 + 14 + 11 x 4 =
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
ΣΤ. 40 – 2 x 14 + 33 : 3 -3 =
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Z. 100 : 20 x 4 -2 x 4 + 30-12
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
H. 10 + 4 x 20 – 5+8 +15 x 3
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
2. Γράφω τις πράξεις με τη σειρά που θα γίνουν, όπως στο παράδειγμα.
1) 135 : 15 – 2 x 4 = 1, γιατί:
α. 135 : 15 = 9 β. 2 x 4 = 8 γ. 9 – 8 = 1
2) 45 – 3 x 1 + 6 = ........................, γιατί:
α. ............................ β. ........................... γ. ............................
3) (81 : 9) x 3 – 4 x 3 = .............., γιατί:
α. ..................... β. .................... γ. ..................... δ. ........................

40
3. Υπολογίζω στο τετράδιό μου τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων.
α) 32 : (3 + 5) β) 45 – 7 x 3
γ) (8 + 12) : 4 δ) 36 : 9 – 4
α) 13 x 3 + 63 - 49 : 7
β) 13 x (3 + 63) - 49 : 7
γ) 13 x 3 + (63 - 49)
5. Βάζω παρενθέσεις, για να ισχύουν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις.
α) 5 x 3 + 4 – 8 = 27 β) 6,5 + 5,5 : 100 = 0,12
γ) 56 : 5 + 3 x 3 = 21 δ) 7 x 8 + 12 – 7 + 9 : 4 = 136
η πρόταση είναι λανθασμένη, δικαιολογώ γιατί τη θεώρησα λάθος.
α) (……) Οι πράξεις που είναι στις παρενθέσεις έχουν προτεραιότητα.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……) Ισχύει ότι 12 + 4 x 3 = 48.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……) Ισχύει ότι 25 – 8 : 2 + 5 x 3 = 36.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (……) Μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων
λέγεται αριθμητική παράσταση.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
ε) (……) Στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά
με μια ορισμένη σειρά:
1. πρώτα προσθέσεις και αφαιρέσεις
2. μετά πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

41
7. Η Σάντρα πήγε στο σούπερ μάρκετ και αγόρασε 0,750 κιλά τυρί φέτα με 7,40€ το κιλό,
5 κουτιά γάλα με 1,20€ το ένα, 4 πακέτα χαρτοπετσέτες με 0,80€ το ένα, 3 γιαούρτια
με 1,30€ το ένα και 10 αυγά με 0,15€ το ένα. Έδωσε ένα χαρτονόμισμα των 50€. Πόσα
ρέστα θα πάρει; Λύνω χρησιμοποιώντας μια αριθμητική παράσταση.
8. Ο Κωνσταντίνος αγόρασε από το ψιλικατζίδικο της γειτονιάς 350 γραμμάρια
καραμέλες βουτύρου προς 3,8 ευρώ το κιλό, 0,55 κιλά γλειφιτζούρια προς 475 λεπτά
το κιλό και 4 σοκολάτες προς 3,5 Ευρώ η μία. Για να πληρώσει έδωσε 2
χαρτονομίσματα των 5 ευρώ και 1 των 10. Πόσα ρέστα πήρε;
9. Υπολογίζω στο τετράδιό μου τις τιμές των παραστάσεων:
α) Κ = (α – β : γ) x (δ - ε)
β) Λ = (α x γ - β) x (δ + ε),
όταν α = 10, β = 6, γ = 2, δ = 8 και ε = 3
α) 51 x 2 – 3 x 2 + 4 – 3 x 5
β) 45,08 x 13 + 45,08 x 65 + 45,08 x 22
γ) 32,64 x 15 + 32,64 x 25 x 32,64 x 60
δ) 24 : 2 – 8 : 4 + 6 x 3
ε) 230 + 55 : 5 – 4 x 12
στ) 30 – 6 : 3 + 10 : 5 – 3 x 6
11. Τοποθετώ παρενθέσεις, όπου χρειάζονται, ώστε να είναι σωστές οι παρακάτω
αριθμητικές παραστάσεις.
α) 250 + 25 : 5 = 55 ε) 250 + 25 : 5 = 255
β) 270 – 70 : 5 = 256 στ) 270 – 70 : 5 = 256
γ) 60 x12 + 3 = 723 ζ) 60 x 12 + 3 = 723
δ) 150 : 5 + 20 x 3 = 90 η) 150 : 5 + 20 x 3 = 18

42
α) 2,4 x 100 - (87,6 - 87,2) : 0,1
β) 2 x 8 - (25 - 17) : 4 +3 x (6 + 9)
γ) 2,1 x (23 + 12) - (15 -7) : 4
δ) 18 x 32 -(72 - 48) x (54 - 46) + 4 x (2 +4)
ε) 4,8 x 0,5 + (3,56 + 6,44) : 0,1 - (3,4 - 2,5) x7
α) 183 : (7 x 9 - 4 x 15) + 48 : 12 x ( 39 - 2 x 15 - 28 :7)
β) 1,45 x 2 + 32 x (73: 10 - 0,23 x 10) - (100 x 0,04 - 10 x 0,25)
γ) (196 : 4 - 3 x 16) : (15 x 24 - 700 :2) + (35 x 6 - 175 - 68: 2)
δ) (179 + 3 x 7) x (1.024:32 - 5 x 6) + 4 x (19 x 6 : 3 - 3)
14. Ποιο είναι το αποτέλεσμα της παρακάτω αφαίρεσης:
Α. 10 Β. 20 Γ. 1 Δ. 30 Ε. 40

43
έχει όμως κάποια ωραία προβλήματα!
1. Το άθροισμα των ηλικιών του Κώστα και της μητέρας του είναι 36. Η ηλικία της μητέρας του
Κώστα είναι πενταπλάσια της ηλικίας του Κώστα. Πόσων χρόνων είναι ο Κώστας;
2. Σε μια διαδρομή με λεωφορείο, μια μητέρα και το παιδί της πλήρωσαν 16,5 €. Αν το εισιτήριο
του παιδιού ήταν ”μισό”, το εισιτήριο της μητέρας κόστιζε σε ΕΥΡΩ:
α. 11 β. 10 γ. 9 δ. 8
3. Να μοιρασθεί ποσό 1.200 € σε τρία πρόσωπα ως εξής:
α. Ο Α να πάρει διπλάσια από τον Β
β. Ο Γ να πάρει 200 € περισσότερα από τον Β.
4. Ο Πέτρος έχει 2 € περισσότερα από όσα έχει η Νίκη. Η Νίκη έχει 50 λεπτά περισσότερα από το
Γιώργο. Όλοι μαζί έχουν 6,60 €. Πόσα έχει ο Γιώργος;
5. Ένας ενήλικας αναπνέει 180 περίπου φορές κάθε 15 λεπτά. Ένα βρέφος αναπνέει 300 περίπου
φορές σε 15 λεπτά. Πόσες περισσότερες φορές αναπνέει ένα βρέφος από έναν ενήλικα σε 1
ώρα;
6. Ο Πέτρος έβαλε στο μυαλό του έναν αριθμό, τον πολλαπλασίασε με 3, το γινόμενο που βρήκε
το διπλασίασε, από το νέο γινόμενο αφαίρεσε 50, τη διαφορά τη διαίρεσε με 5 και στο πηλίκο
πρόσθεσε 10. Έτσι βρήκε τελικό αποτέλεσμα 30. Ποιον αριθμό είχε βάλει στο μυαλό του ο
Πέτρος;

44
7. Ο Πέτρος παίζει μπίλιες με τους φίλους του. Το πρωί κέρδισε 14 μπίλιες και το βράδυ έχασε 31
μπίλιες, οπότε του έμειναν 23. Πόσες μπίλιες είχε από την αρχή;
8. Ένας ράφτης αγόρασε 33,75 μέτρα ύφασμα για να ράψει κοστούμια. Για κάθε κοστούμι
χρειάζεται 2,25 μέτρα. Πόσο πρέπει να πουλήσει το κάθε κοστούμι για να πάρει συνολικά
900€.
9. Ένα φορτηγό με καρπούζια ζυγίζει 2,58 τόνους άδειο. Ο ιδιοκτήτης το φόρτωσε με τελάρα
καθένα από τα οποία χωράει 4 καρπούζια των 14 κιλών το ένα. Τώρα το φορτηγό ζυγίζει 6,78
τόνους. Πόσα τελάρα φόρτωσε στο φορτηγάκι
10. Δύο οικοδόμοι, μάστορας και βοηθός, εργάζονται τις ίδιες ημέρες και παίρνουν μαζί 95 € την
ημέρα. Ο μάστορας πήρε 330 € και ο βοηθός 240 €. Πόσες ημέρες εργάστηκαν και ποια είναι
η ημερήσια αμοιβή για κάθε έναν από αυτούς;
11. Μια γεμάτη κανάτα με νερό ζυγίζει 1340 γραμμάρια. Η ίδια κανάτα, αλλά με το μισό νερό,
ζυγίζει 720 γραμμάρια. Πόσο ζυγίζει η κανάτα όταν είναι άδεια;
Α. 360 Β. 670 Γ. 100
Δ. 200 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα
12. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 € το κιλό.
Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 € το κιλό και έβγαλε κέρδος 500 €. Το νερό που πρόσθεσε
ήταν σε κιλά:
Α. 88 Β. 56
Γ. 60 Δ. 65
13. Ένα σκουλήκι έπεσε σ’ ένα πηγάδι βάθους 30 μέτρων. Στην προσπάθειά του να βγει
ακολούθησε την εξής πορεία: Κατά τη διάρκεια της ημέρας σκαρφάλωνε 3 μέτρα, ενώ κατά τη
διάρκεια της νύχτας, που ακολουθούσε, γλιστρούσε κατά 2 μέτρα. Σε πόσες ημέρες συνολικά
το σκουλήκι βγήκε από το πηγάδι;

45
14. Ο Πέτρος θέλει να αγοράσει ένα καινούριο σύστημα για τα βιντεοπαιχνίδια του το οποίο
αποτελείται από τα παρακάτω:
Play station 3 -> 350 euro
Τηλεόραση 32 ιντσών -> 400 euro
Ηχεία home cinema -> 250 ευρώ
Τιμονιέρα -> 90 ευρώ
Το πρόβλημα όμως είναι ότι διαθέτει μόνο 500 ευρώ. Έτσι ο πωλητής του προτείνει να δώσει
τα 500 ευρώ και το υπόλοιπο ποσό να το εξοφλήσει σε 4 δόσεις των 151,3 ευρώ. Βρίσκω εάν
σε κάθε δόση θα υπάρχουν τόκοι και εάν ναι σε τι ποσό ανέρχονται.
15. Σε μια πολυκατοικία ο διαχειριστής έβαλε 3000 λίτρα πετρέλαιο προς 0,56 ευρώ το λίτρο. Στην
πολυκατοικία υπάρχουν 8 μικρά και 4 μεγάλα διαμερίσματα. Τα μεγάλα διαμερίσματα
πληρώνουν διπλάσιο ποσό κοινοχρήστων από τα μικρά. Υπολογίζω το ποσό που θα πληρώσει
καθένα από τα διαμερίσματα.
Για σκληρά καρύδια
16. Ένα ΤΕΣΤ περιέχει 16 ερωτήσεις σύντομης απάντησης. Κάθε μαθητής πρέπει να απαντήσει σε
όλες τις ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση παίρνει 5 μονάδες, ενώ για κάθε λανθασμένη
χάνει 3 μονάδες. Να βρείτε πόσες σωστές και πόσες λανθασμένες απαντήσεις έδωσε ο
μαθητής, αν η βαθμολογία του είναι:
α. 48 μονάδες β. 0 μονάδες
17. Αν οι μαθητές ενός σχολείου παραταχθούν κατά τετράδες, θα σχηματισθούν 50 σειρές
περισσότερες απ’ ότι θα σχηματισθούν αν παραταχθούν κατά εξάδες. Πόσοι ήταν οι μαθητές;

46
Ο Μάνος θέλει να αγοράσει καινούριο σταθερό
υπολογιστή. Πηγαίνει στο κατάστημα και
επιλέγει τις συσκευές που φαίνονται στον
πίνακα. Στο πορτοφόλι του έχει 885 ευρώ και
θέλει κάνοντας έναν γρήγορο υπολογισμό με το
νου να δει εάν του φτάνουν. Πώς μπορεί να
υπολογίσει γρήγορα πόσο περίπου κοστίζουν οι
συσκευές που επέλεξε;
➢ Με βάση τον γρήγορο υπολογισμό, του φτάνουν τα χρήματα που έχει; ................................
➢ Πόσα ρέστα περίπου θα πάρει όταν θα πληρώσει; ..................................................................
➢ Ο Μάνος φτάνει στο ταμείο και πληρώνει τις συσκευές που αγόρασε δίνοντας 885 ευρώ.
Πόσα ρέστα ακριβώς θα πάρει από τον ταμεία;
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
Κεντρική μοναδα 599 ευρώ
Οθόνη 158 ευρώ
Πληκτρολόγιο 31 ευρώ
Ηχεία 82 ευρώ
Ποντίκι 11 ευρώ
Κεντρική μοναδα κοστίζει περίπου ............
Οθόνη κοστίζει περίπου ............
Πληκτρολόγιο κοστίζει περίπου ............
Σετ Ηχεία κοστίζει περίπου ............
Ποντίκι κοστίζει περίπου ............
Συνολικό ποσό : ............
Βοηθητικές πράξεις

47
➢ Κόστος συσκευών με βάση τον γρήγορο υπολογισμό: ..............................................................
➢ Πραγματικό κόστος συσκευών με ακριβή υπολογισμό: ..........................................................
➢ Διαφορά των δυο ποσών (σφάλμα) : ........................................................................................
➢ Σε ποιο ψηφίο στρογγυλοποιήσαμε τους αριθμούς; ................................................................
➢ Όταν στρογγυλοποιήσαμε τους αριθμούς και κάναμε την πρόσθεση, το αποτέλεσμα που
βρήκαμε ήταν ελεφρώς διαφορετικό από το “πραγματικό” αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Αυτή
η διαφορά ονομάζεται .....................................................................................................
Ο Κώστας αγοράζει ζαχαρωτά από το
ψιλικατζίδικο της γειτονιάς και έχει στην τσέπη
του 2,5 ευρώ. Έχει διαλέξει τα ζαχαρωτά που
φαίνονται στον πίνακα. Μπορεί με έναν γρήγορο
υπολογισμό να δει εάν του φτάνουν τα χρήματα;
➢ Με βάση τον γρήγορο υπολογισμό, τού φτάνουν τα χρήματα που έχει; ...........................
➢ Πόσο κοστίζουν ακριβώς τα ζαχαρωτά που θέλει να αγοράσει; .......................
➢ Πόσα χρήματα λείπουν στον Κώστα; .....................
Γλειφιτζούρι 0,92 ευρώ
Καραμέλες 0,28 ευρώ
Τσίχλες 0,09 ευρώ
Σοκολάτα 1 ευρώ
γλειφιτζούρι κοστίζει περίπου ............
καραμέλες κοστίζουν περίπου ............
τσίχλες κοστίζουν περίπου ............
σοκολάτα κοστίζει περίπου ............
Συνολικό ποσό: ............

48
➢ Σε ποιο ψηφίο στρογγυλοποιήσαμε τους αριθμούς; ................................................................
➢ Πόσο ήταν το σφάλμα στον υπολογισμό μας; ..........................................................................
➢ Ποιο γλυκό θα μπορούσε να αφήσει ο Κώστας για να του φτάσουν τα χρήματα που έχει;
....................................................................................................................................................
Τι είναι η στρογγυλοποίηση;
Πολλές φορές στη θέση ενός αριθμού χρησιμοποιούμε κάποιον άλλο που είναι λίγο
μικρότερος ή μεγαλύτερος από τον αρχικό, αλλά πιο «στρογγυλός». Αυτό το κάνουμε για
πρακτικούς λόγους όπως για να κάνουμε πιο εύκολα κάποιες πράξεις.
π.χ. 198 + 51 = 200 + 50 = 250 το αποτέλεσμα της πρόσθεσης είναι περίπου 250
Για παράδειγμα, εάν ένα σακουλάκι πατατάκια κοστίζει 1,95 ευρώ μπορούμε να πούμε
ότι κοστίζει περίπου 2 ευρώ.
Για να στρογγυλοποιήσω έναν αριθμό πρέπει πρώτα να αποφασίσω σε ποιο ψηφίο θα
κάνω τη στρογγυλοποίηση. Έτσι η στρογγυλοποίηση μπορεί να γίνει στις μονάδες, στις
δεκάδες, στις εκατοντάδες, στα δέκατα, στα εκατοστά, στα χιλιοστά κτλ.
Προσοχή !!! Πρέπει πάντα να αναφέρουμε την τάξη μεγέθους (δηλαδή το ψηφίο) στην
οποία γίνεται η στρογγυλοποίηση. Για παράδειγμα, λέμε ότι κάνουμε «
στρογγυλοποίηση στις δεκάδες» .

49
Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό, φυσικό ή δεκαδικό, ακολουθούμε τα βήματα
που φαίνονται στο διάγραμμα που ακολουθεί.
Βήμα τρίτο
Βήμα δεύτερο
Βήμα πρώτο
Αριθμοί για
στρογγυλοποίηση
Για παράδειγμα οι
αριθμοί:
19.624 & 578,9
Κυκλώνουμε/υπογραμμίζουμε το
ψηφίο που βρίσκεται στη θέση που
θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε
19.624 & 578,93
Αν το ψηφίο που
βρίσκεται δεξιά από το
ψηφίο που θέλουμε
να
στρογγυλοποιήσουμε
είναι μικρότερο από 5,
ο αριθμός που είναι
στον κύκλο μένει ίδιος,
ενώ όλα τα ψηφία που
βρίσκονται δεξιά
μηδενίζονται
19.600
Αν το ψηφίο που
βρίσκεται δεξιά από το
ψηφίο που θέλουμε να
στρογγυλοποιήσουμε
είναι μεγαλύτερο από 5,
ο αριθμός που είναι
στον κύκλο αυξάνεται
κατά 1, ενώ όλα τα
ψηφία που βρίσκονται
δεξιά μηδενίζονται.
579,00

50
1. Γράφω ξανά τους δεκαδικούς αριθμούς στρογγυλοποιώντας στο υπογραμμισμένο
ψηφίο.
α) 10,674 β) 5,91 γ) 0,2802 δ) 7,342 ε) 7,3926 στ) 3,0196
................. ................. ................. ................. ................. .................
2. Στρογγυλοποιώ τους παρακάτω αριθμούς:
➢ Στις δεκάδες
2.347.182 5.486.149 2.327.151
...................... ...................... ......................
➢ Στις εκατοντάδες
3.548.791 8.354.342 1.373.842
...................... ...................... ......................
➢ Στις χιλιάδες
9.382.148 1.476.596 4.564.678
...................... ...................... ......................
➢ Στις δεκάδες χιλιάδες
9.165.342 8.962.563 2.546.897
...................... ...................... ......................
➢ Στις εκατοντάδες χιλιάδες
2.176.847 3.639.758 4.567.898
...................... ...................... ......................

51
3. Στρογγυλοποιώ τους παρακάτω αριθμούς.
Δεκαδικοί αριθμοί
Στρογγυλοποίηση στο ψηφίο των:
δεκάδων μονάδων δέκατων εκατοστών
236,174
350,124
205,509
327,835
106,549
259,261
4. Γράφω όλους τους αριθμούς, οι οποίοι μετά από τη στρογγυλοποίησή τους, δίνουν τον
αριθμό:
➢ 670
…………………………………………………………………………………………………………………………………
➢ 2,60
…………………………………………………………………………………………………………………………………
➢ 0,75
…………………………………………………………………………………………………………………………………
5. Στρογγυλοποιώ τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς στις μονάδες.
α) 28,423 β) 88,60 γ) 35,703 δ) 78,39 ε) 57,9 στ) 40,20
................. ................. ................. ................. ................. .................

52
Πολλαπλάσια ενός αριθμού:
Όταν πολλαπλασιάσω έναν αριθμό, για παράδειγμα το 4, με έναν άλλο ακέραιο αριθμό,
για παράδειγμα το 3 , τότε ο αριθμός που προκύπτει, το 12, ονομάζεται πολλαπλάσιο
του 4.
4 x 3 = 12
Διαιρέτες ενός αριθμού:
Στο προηγούμενο παράδειγμα είδαμε ότι το 12 είναι πολλαπλάσιο των 3 και 4 αφού 4x3=12.
Αυτό σημαίνει επίσης ότι το
Με άλλα λόγια το 12 διαιρείται ακριβώς και με το 3 και με το 4.
Διαιρέτες ενός αριθμού: όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν ακριβώς.
Μέγιστος κοινός διαιρέτης: ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες που έχουν
κάποιοι αριθμοί.
Πρώτοι αριθμοί: ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη
μονάδα, π.χ. 2, 3, 5, 7, κτλ.
Σύνθετοι αριθμοί : ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν τουλάχιστον τρεις διαιρέτες.
Όλοι οι αριθμοί έχου τουλάχιστον δύο διαιρέτες, τον εαυτό τους και τη μονάδα.
Το 12 είναι πολλαπλάσιο του 4, γιατί προέκυψε όταν
πολλαπλασίασα το 4 με έναν άλλο ακέραιο (τον αριθμό 3).
το 4 χωράει 3 φορές μέσα στο 12 => 12 : 4 = 3
το 3 χωράει 4 φορές μέσα στο 12 => 12 : 3 = 4

53
Ας πάρουμε για παραδειγμα τους αριθμούς 12, 18, 24 και 32.
1ος τρόπος
Δ12 = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
Δ18 = 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18
Δ24 = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24
Δ32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32
Οι αριθμοί 1, 2 είναι κοινοί διαιρέτες του 12, 18, 24 και 32.
Ο μεγαλύτερος από αυτούς, δηλαδή το 2, ονομάζεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης
Έτσι λέμε ότι Μ.Κ.Δ. (12, 18, 24, 32) = 2
2ος τρόπος
Βημα 1ο
Γράφουμε τους αριθμούς οριζόντια.
12 18 24 32
Βημα 2ο
Ξαναγράφουμε τον μικρότερο κάτω από τον εαυτό του.
12 18 24 32
12
Βημα 3ο
Διαιρούμε τους άλλους με τον αριθμό αυτό και γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης κάτω
από τον κάθε αριθμό.
12 18 24 32
12 6 0 8

54
Βημα 4ο
Ξαναγράφουμε τον μικρότερο αριθμό κάτω από τον εαυτό του.
12 18 24 32
12 6 0 8
6
Βημα 5ο
Διαιρούμε ξανά τους υπόλοιπους αριθμούς με αυτόν γράφοντας τα υπόλοιπα των
διαιρέσεων από κάτω.
12 18 24 32
12 6 0 8
0 6 0 2
Βημα 6ο
Συνεχίζουμε μέχρι να μείνει μόνο ένας αριθμός στην τελευταία γραμμή (όλοι οι άλλοι
αριθμοί να είναι μηδέν), ο οποίος είναι ο Μ.Κ.Δ. Στην περίπτωσή μας είναι το 2.
12 18 24 32
12 6 0 8
0 6 0 2
0 0 0 2
Μ.Κ.Δ. (12,18,24,32) = 2

55
1. Σημειώνω ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι.
3 5 7 9 13 15 19 20
21 24 25 27 29 30 31 33
Πρώτοι αριθμοί:
…………………………………………………………………………………….………………………………………………….
Σύνθετοι αριθμοί:
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. Βρίσκω τους διαιρέτες των αριθμών 36 και 90. Σημειώνω τους κοινούς διαιρέτες και
μετά από αυτούς τον μεγαλύτερο.
Δ36= ......................................................................................................................................
Δ60= ......................................................................................................................................
Κοινοί διαιρέτες: .......................................................................................................................
Μ.Κ.Δ. (36 , 60)=.........................................................................................................................
3. Βρίσκω τον Μ.Κ.Δ. των παρακάτω αριθμών χρησιμοποιώντας και τους δύο τρόπους (η
άσκηση να γίνει στο τετράδιο) :
α) 24 , 40 β) 30 , 45 , 75
γ) 12 , 18 ,36 δ) 32 , 48 , 64
α) (……) Οι πράξεις που είναι στις παρενθέσεις έχουν προτεραιότητα.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……) Κάθε φυσικός αριθμός έχει διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

56
γ) (……) Οι φυσικοί αριθμοί που έχουν παραπάνω από δύο διαιρέτες ονομάζονται
σύνθετοι.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (……) Οι διαιρέτες του 8 είναι οι αριθμοί 1, 2, 4, 8.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
ε) (……) Ο αριθμός 3 είναι πρώτος αριθμός.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
στ) (……) Ο αριθμός 6 είναι πρώτος αριθμός.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
ζ) (……) Μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών είναι ο μικρότερος από τους κοινούς
διαιρέτες των αριθμών.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. Ένα ζαχαροπλαστείο πρόσφερε για την εκδρομή του Club των Μαθηματικών 126
αλμυρά και 84 γλυκά κρακεράκια. Κάθε παιδί θα πάρει τον ίδιο αριθμό αλμυρών και
γλυκών με τα άλλα παιδιά.
α. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός παιδιών που μπορεί να αποτελεί το Club των
Μαθηματικών;
β. Πόσα αλμυρά κρακεράκια θα πάρει το κάθε παιδί;
γ. Πόσα γλυκά κρακεράκια θα πάρει το κάθε παιδί;
6. Τα 60 παιδιά της Ε΄ δημοτικού και τα 36 της Στ΄ θα χωριστούν σε ομάδες, για να
αναλάβουν δράσεις καθαριότητας. Θέλουν να δημιουργήσουν όσο το δυνατό
περισσότερες ομάδες. Κάθε ομάδα θα έχει τον ίδιο αριθμό παιδιών της Ε΄ και της Στ’
τάξης.
α. Σε πόσες ομάδες μπορούν να χωριστούν τα παιδιά, αν όλα τα παιδιά μπουν σε
κάποια ομάδα;
β. Πόσα παιδιά από κάθε τάξη θα βρίσκονται σε κάθε ομάδα;
7. Έχουμε 60 τετράδια, 30 βιβλία και 90 μολύβια. Πόσα το πολύ δέματα μπορούμε να
φτιάξουμε με αυτά και πόσα τετράδια, βιβλία και μολύβια θα περιέχει το κάθε δέμα;
8. Ένας ανθοπώλης έχει 96 τριαντάφυλλα, 60 γαρίφαλα και 48 κρίνα και θέλει να φτιάξει
με αυτά ομοιόμορφες ανθοδέσμες. Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί
να φτιάξει και πόσα λουλούδια από κάθε είδος θα έχει η κάθε μία;

57
9. Έχουμε 150 μολύβια, 240 γόμες και 180 τετράδια, τα οποία θα συσκευάσουμε και θα
τα στείλουμε σε παιδιά στην Αφρική. Πόσα είναι τα δέματα που θα φτιάξουμε, έτσι
ώστε να πάρουν όσο γίνεται περισσότερα παιδιά ;
10. Ένας βοσκός μετράει τα πρόβατά του σε οκτάδες, δεκάδες και δωδεκάδες και του
περισσεύουν πάντοτε 5. Αν ξέρετε ότι αυτά είναι από 113 μέχρι 137, πόσα πρόβατα
έχει;

58
Πολλές φορές χρειάζεται να ξέρουμε απλώς εάν ένας αριθμός διαιρείται με κάποιον άλλο,
χωρίς όμως να μας ενδιαφέρει να βρούμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης. Ας δούμε μια τέτοια
περίπτωση μέσα από το ακόλουθο πρόβλημα:
Πρόβλημα
«Ο ιδιοκτήτης μιας μονάδας παραγωγής αβγών αγαπάει
πολύ τα μαθηματικά και βάζει συχνά προβλήματα στους
εργάτες του με χρηματικά έπαθλα. Σήμερα επισκέφτηκε το
τμήμα συσκευασίας και έβαλε το εξής πρόβλημα με
έπαθλο 200 ευρώ σε όποιον το λύσει πρώτος: Η
εβδομαδιαία παραγωγή είναι 10.257 αβγά. Για να τα
συσκευάσουμε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε θήκες
των 2 αβγών είτε θήκες των 3 αβγών είτε θήκες των 5 αβγών. Για τη συσκευασία μπορούμε
να χρησιμοποιήσουμε όσες θήκες θέλουμε αρκεί να είναι όλες από το ίδιο είδος και πρέπει
στο τέλος όλες οι θήκες να είναι τέλεια γεμισμένες (δηλαδή να μην υπάρχει άδεια θέση
αβγού). Ποιο είδος θήκης πρέπει να επιλέξουμε;
Λύση 1η
Ο Γιώργος για να λύσει το πρόβλημα έψαξε να βρει εάν τα αβγά αυτά μπορούν να χωριστούν
τέλεια σε 2άδες σε 3άδες ή σε 5άδες. Έτσι ξεκίνησε να κάνει τις διαιρέσεις 10.257 : 2 ,
10.257 : 3 και 10.257 : 5 . Δυστυχώς όμως του πήρε πολύ ώρα να τελειώσει…

59
Λύση 2η
Ο Μάνος θέλησε να διαπιστώσει το ίδιο πράγμα με τον Γιώργο, αλλά δεν έκανε διαιρέσεις.
Χρησιμοποίησε τα κριτήρια διαιρετότητας. Τα κριτήρια διαιρετότητας είναι απλοί κανόνες
που μας λένε εάν ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με έναν άλλο (δηλαδή η διαίρεση να
αφήνει υπόλοιπο 0), χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε την πράξη. Συγκεκριμένα
χρησιμοποίησε τα ακόλουθα κριτήρια
Κριτήριο του 2 Με το 2 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8.
Κριτήριο του 3
Με το 3 διαιρούνται οι αριθμοί που το άθροισμα των ψηφίων τους
διαιρείται με το 3.
π.χ. 12.306 => 1 + 2 + 3 + 0 + 6 = 12 => 12 : 3 = 4
Άρα ολόκληρος ο αριθμός 12.306 διαιρείται με το 3.
Κριτήριο του 5 Με το 5 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5.
Έτσι, με αυτό τον τρόπο, ο Μάνος βρήκε γρηγορότερα από όλους ότι τα 10.257 δεν μπορούν
να χωριστού ακριβώς ούτε σε 2άδες ούτε σε 5άδες, αλλά μόνο σε 3άδες, διότι
1+0+2+5+7=15. Το 15 διαιρείται ακριβώς με το 3 και επομένως ολόκληρος ο αριθμός 10.257
διαιρείται ακριβώς με το 3. Ο Μάνος νίκησε!
Προσοχή!
Τα κριτήρια διαιρετότητας δεν μας δίνουν
το αποτέλεσμα της διαίρεσης. Ο Μάνος
απλώς βρήκε ότ ιτα αβγά μπορούν να
χωριστούν σε τριάδες, αλλά δεν ξέρει
πόσες θήκες θα χρειαστούν.

60
Τα κυριότερα κριτήρια διαιρετότητας είναι τα ακόλουθα:
Με το 2 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8. Οι αριθμοί αυτοί
ονομάζονται ζυγοί ή άρτιοι.
Με το 3 και το 9 διαιρούνται οι αριθμοί που το άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται
με το 3 ή το 9 αντίστοιχα.
π.χ. 12.306 => 1 + 2 + 3 + 0 + 6 = 12 => 12 : 3 = 4
Άρα ολόκληρος ο αριθμός 12.306 διαιρείται με το 3
Με το 4 διαιρούνται οι αριθμοί που το τελευταίο διψήφιο τμήμα τους διαιρείται με το
4 ή τελειώνουν σε δύο μηδενικά.
π.χ. 7.548 => 7.548 => 48 : 4 =12
Άρα ολόκληρος ο αριθμός 7.548 διαιρείται με το 4
Με το 5 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5.
Με το 6 διαιρούνται οι αριθμοί που διαιρούνται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 3.
Με το 9 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που το άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται με
το 9.
Με το 25 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που τα δύο τελευταία ψηφία τους είναι 25 ή 50 ή
75 ή 00.
Με το 10 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε τουλάχιστον ένα μηδενικό.
Με το 100 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε τουλάχιστον δύο μηδενικά.
Με το 1.000 διαιρούνται όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε τουλάχιστον τρία μηδενικά.

61
1. Βρίσκω τους διαιρέτες των αριθμών : 5, 7 , 9 , 12 , 24, 36 , 48:
α) Δ5 = .................................................................................................................
β) Δ7 = .................................................................................................................
γ) Δ9 = .................................................................................................................
δ) Δ12 = .................................................................................................................
ε) Δ24 = .................................................................................................................
στ) Δ36 = .................................................................................................................
ζ) Δ48 = .................................................................................................................
2. Δίνονται οι αριθμοί: 76, 85, 99, 1.130, 136, 1.220, 6.231 . Ποιοι από αυτούς διαιρούνται
με το 2, ποιοι με το 3, ποιοι με το 4 και ποιοι με το 5. Δίπλα σε κάθε απάντηση εξηγώ
με βάση το κατάλληλο κριτήριο διαιρετότητας.
3. Συμπληρώνω δίπλα από κάθε αριθμό εκείνους με τους οποίους διαιρείται ακριβώς (2,
3, 4, 5 , 10).
582: ..................................................................
885: ..................................................................
146: ..................................................................
387: ..................................................................
768: ..................................................................
2.014: ..................................................................
4. Ξέρουμε ότι ο αριθμός 3 2 _ διαιρείται ακριβώς με το 4. Ποιο μπορεί να είναι το
τελευταίο ψηφίο του αριθμού; Αιτιολογώ την απάντησή μου.
α)1 β) 5 γ) 3 δ) 4 ε) 6
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

62
5. Αγόρασε κάποιος 5 ίδιες τηλεοράσεις και πλήρωσε 1 .2 4 _ ευρώ. Αν η τιμή της κάθε
τηλεόρασης είναι ακέραιος, τότε ποιο είναι το ψηφίο που λείπει: Αιτιολογώ την
απάντησή μου.
α)1 β) 5 γ) 3 δ) 4 ε) 6
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. Συμπληρώνω με τα κατάλληλα ψηφία τα τετραγωνάκια, για να προκύψουν αριθμοί,
που να διαιρούνται ακριβώς και με το 2 και με το 9.
3. 5
7. Κυκλώνω τη σωστή/σωστές απαντήσεις.
α) Πόσοι από τους αριθμούς 36, 145, 328, 704 διαιρούνται ακριβώς με το 2;
α. ένας β. δύο γ. τρεις δ. τέσσερις ε. κανένας
β) Πόσοι από τους αριθμούς 1.036, 1.248, 1.328, 1.704 διαιρούνται ακριβώς με το 10;
γ) Πόσοι από τους αριθμούς 1.036, 1.248, 1.328, 1.704 διαιρούνται ακριβώς με το 3;
δ) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται ακριβώς με το 4 και το 5;
α. 112 β. 115 γ. 130 δ. 140 ε. 113
ε) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται ακριβώς με το 3, το 4, το 5 και το 6;
α. 12 β. 18 γ. 42 δ. 60 ε. 90
στ) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3, το 4 και το 5;
α. 60 β. 80 γ. 100 δ. 125 ε. 160

63
ζ) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται ακριβώς ταυτόχρονα με το 2, το 3, το 4
και το 6;
α. 48 β. 74 γ. 100 δ. 124 ε. 178
η) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται με το 9;
α. 1.234 β. 12.345 γ. 123.456 δ. 1.234.567 ε. 12.345.678
8. Μας δίνεται ο αριθμός 1289..... Ποιο ψηφίο πρέπει να βάλουμε στο τέλος του αριθμού
αυτού, δηλαδή μετά το 9, ώστε ο πενταψήφιος αριθμός που θα πάρουμε να είναι
πολλαπλάσιο του 9;
9. Συμπληρώνω τα ψηφία που λείπουν, ώστε:
Α. ο αριθμός 3 ….. 1 να διαιρείται με το 3
Β. ο αριθμός 4 9 ….. να διαιρείται με το 2
Γ. ο αριθμός 6 ….. 2 να διαιρείται με το 9
Δ. ο αριθμός 9 7 ….. να διαιρείται με το 25
Ε. ο αριθμός 2 ….. 4 να διαιρείται με το 4
10. Βάζω, στο τέλος των παρακάτω αριθμών, ένα ψηφίο, ώστε οι αριθμοί που θα
προκύψουν να διαιρούνται με το 9.
Α. 47 ….. Β. 53 …..
Γ. 26 …... Δ. 83 …..
Ε. 15 ….. Στ. 618 …..
α) (……) Ο αριθμός 860 διαιρείται με το 3.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……) Οι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται με το 2.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……) Ο αριθμός 2.600 διαιρείται με το 4 και με το 25.
…………………………………………………………………………………………………………………………………

64
δ) (……) Ένας αριθμός που διαιρείται με το 2 και το 3 διαιρείται και με το 6.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
ε) (……) Ένας αριθμός που τελειώνει σε μηδέν όταν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
12. Συμπληρώνω το κενό με ένα ψηφίο, ώστε ο αριθμός που προκύπτει να διαιρείται
ακριβώς με τους αριθμούς που είναι δίπλα του.
α) 6 4 3 ___ με το 2 και το 5 β) 6 4 3 ___ με το 3 και το 4
γ) 6 4 3 ___ με το 3 και το 5 δ) 6 4 3 ___ με το 10
13. Η Άλκηστις έχει 892 λίτρα χυμού πορτοκάλι και θέλει να τα αποθηκεύσει σε
συσκευασίες των 9 λίτρων. Μπορεί να το κάνει; Χρησιμοποιώ τα κριτήρια
διαιρετότητας, για να βρω την απάντηση. Περιγράφω με λόγια το κριτήριο που
εφάρμοσα.
14. Βρίσκω τον αριθμό που:
α) Είναι τριψήφιος
β) Όλα τα ψηφία του είναι άρτιοι αριθμοί (ζυγοί)
γ) Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 14
δ) Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι μεγαλύτερο από το ψηφίο των δεκάδων
ε) Διαιρείται και με το 4 και με το 8.
Ο αριθμός που βρήκα είναι:

65
15. Αν οι μαθητές ενός σχολείου παραταχθούν κατά δυάδες, περισσεύει ένας, ενώ αν
παραταχθούν κατά τριάδες, περισσεύουν δύο. Πόσοι μπορεί να είναι οι μαθητές, αν
είναι περισσότεροι από 320 και λιγότεροι από 330;
16. Ρώτησαν τον διευθυντή κάποιου σχολείου πόσοι είναι οι μαθητές του σχολείου του.
Αυτός απάντησε: ”Αν τους μετρήσεις σε εξάδες, περισσεύουν 5. Αν τους μετρήσεις σε
δεκάδες, περισσεύουν 3. Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού των μαθητών
είναι 11. Το πλήθος τους είναι μεταξύ του 400 και του 500”. Πόσοι είναι οι μαθητές του
σχολείου;
17. Η μητέρα της οικογένειας Παπαδόπουλου θέλει να μοιράσει χρήματα στα δύο παιδιά
της. Ο ένας της γιος ισχυρίζεται ότι έχει 600€ σε χαρτονομίσματα των 10€, ενώ ο άλλος
ισχυρίζεται ότι έχει 590 € σε χαρτονομίσματα των 20€. Ένα από τα δύο αδέρφια έχει
κάνει λάθος. Ποιο είναι αυτό;

66
Πρώτοι ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και με τη
μονάδα. π.χ. 2 , 3 , 5
Σύνθετοι ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν τουλάχιστον τρεις διαιρέτες.
π.χ. 4 , 6 , 9
Ο αριθμός 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος, διότι έχει μόνο έναν διαιρέτη, τη
μονάδα.
ΤΟ ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ
Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (275 – 194 π. Χ.), γύρω στο 230
π. Χ., βρήκε μια μέθοδο με την οποία βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Οι αριθμοί που δεν έχουν διαγραφεί είναι οι πρώτοι αριθμοί. Οι αριθμοί αυτοί είναι:
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97

67
1. Εξετάζω αν οι παρακάτω αριθμοί είναι πρώτοι ή σύνθετοι, έχοντας πρώτα
συμπληρώσει τη λίστα των διαιρετών τους. Όταν έχω πάρει την τελική μου απόφαση,
σημειώνω με ένα «Χ» στην κατάλληλη στήλη.
Αριθμός Λίστα διαιρετών Πρώτος Σύνθετος
10
5
12
18
41
15
2
49
73
21
2. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτοι;
α) 19 β) 39 γ) 63 δ) 87 ε) 93
3. Πόσοι από τους αριθμούς 64, 90, 23, 101, 45 είναι σύνθετοι:
α) ένας β) δύο γ) τρεις δ) τέσσερις ε) πέντε
4. Σε μια τάξη η δασκάλα ζήτησε από τους μαθητές της να της εξηγήσουν γιατί το 13 είναι
πρώτος αριθμός. Πέντε μαθητές απάντησαν ως εξής:
→ Γιάννης: Είναι πρώτος γιατί το 1 και το 3 είναι πρώτοι αριθμοί.
→ Μαρία: Είναι πρώτος γιατί 1 επί 3 κάνει 3 που είναι πρώτος αριθμός.
→ Άννα: Είναι πρώτος γιατί το 13 διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και το 1
→ Κώστας: Είναι πρώτος γιατί το 1 και το 3 κάνουν 4, που είναι σύνθετος αριθμός.
→ Ειρήνη: Είναι πρώτος γιατί το 13 είναι μονός αριθμός.
Ποιος μαθητής έχει δίκιο;

68
5. Διευκολύνω τη Hippie να πάρει το σωστό μονοπάτι, ώστε να φτάσει στο κόκαλο. Το
μονοπάτι αποτελείται από πρώτους αριθμούς.

69
α) (……)Ο μικρότερος πρώτος αριθμός είναι το 2.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……)Ο μικρότερος σύνθετος αριθμός είναι το 6.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……)Το 1 είναι πρώτος αριθμός.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (……)Το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών μπορεί να έχει αποτέλεσμα πρώτο αριθμό.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
ε) (……)Ένας αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει μόνο δύο διαιρέτες (το 1 και τον
εαυτό του) λέγεται πρώτος.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
7. Ο Δημήτρης ρώτησε τον θείο του πόσων χρονών είναι και του απάντησε ότι η ηλικία
του είναι πρώτος αριθμός από το 30 έως το 60. Αν τα ψηφία της ηλικίας του
αντιστραφούν, ο αριθμός που προκύπτει μπορεί να διαιρεθεί ακριβώς με το 2. Πόσων
χρονών είναι ο θείος του Δημήτρη;

70
80 2 120 2
40 2 60 2
20 2 30 2
10 2 15 3
5 5 5 5
1 1
Επομένως: Επομένως:
80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
6 8
48
6 1. Αναλύω τον αριθμό 48 σε
γινόμενο δύο παραγόντων.
Α’ ΤΡΟΠΟΣ: Παραγοντικό δέντρο
Β’ ΤΡΟΠΟΣ: Διαδοχικές διαιρέσεις
4
2
2 3
2 2
2 3 2
48 = 2x2x2x2x3
2. Αναλύω εκ νέου καθέναν από τους
παράγοντες (το 6 και το 8)
ξεχωριστά σε δύο νέους παράγοντες.
3. Όταν εμφανιστούν πρώτοι
παράγοντες (τα μπλέ κυκλάκια με
τους αριθμούς 2,3,2) τους
μεταφέρω στην από κάτω γραμμή.
όπως είναι.
4. Συνεχίζω την ανάλυση μέχρι
να δημιουργήσω γραμμή
στην οποία όλοι οι αριθμοί
να είναι πρώτοι.
48 = 2x2x2x2x3
2 24
48
6
4
2
2 2
2 3
2
Η ανάλυση ενός αριθμού με τη χρήση του
παραγοντικού δέντου μπορεί να γίνει με
διάφορους τρόπους. Στην εικόνα που
ακολουθεί παρατηρούμε ότι το 48
αναλύεται αρχικώς ως 2x24. Όποια
ανάλυση όμως και να ακολουθήσουμε, θα
καταλήγουμε πάντοτε στο ίδιο τελικό
αποτέλεσμα.

71
1. Παρακάτω υπάρχουν έξι αριθμοί που είναι αναλυμένοι σε γινόμενα πρώτων
παραγόντων. Ποιοι αριθμοί είναι αυτοί;
α) 2 x 3 x 3 x 5 = ……………………….….. β) 3 x 3 x 5 x 7 = ………………..………..
γ) 7 x 7 x 11 x 13 = ……………………….. δ) 3 x 7 x 13 = ……………………………..
ε) 11 x 13 x 17 = ………………….……….. στ) 13 x 17 x 31 = ………………………..
2. Αναλύω σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, με το παραγοντικό δέντρο, τους αριθμούς:
48, 64, 160, 216
3. Αναλύω τους αριθμούς 360, 240, 180 και 160 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με τον
πρώτο τρόπο, δηλαδή με το παραγοντικό δέντρο.
4. Αναλύω σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, με διαδοχικές διαιρέσεις, τους αριθμούς:
64, 160, 216.
5. Μετατρέπω τους αριθμούς 15, 32, 45, 75, 96, 100 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με
τον δεύτερο τρόπο, δηλαδή με τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων.
α) (…… )Η ανάλυση πρώτων παραγόντων του 21 είναι 3 x 7 = 21.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……) Η ανάλυση πρώτων παραγόντων του 12 είναι 3 x 4 = 12.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
Προσοχή!
Κάθε αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων
παραγόντων με μοναδικό τρόπο.

72
γ) (……) Η ανάλυση πρώτων παραγόντων του 40 είναι 2 x 4 x 5 = 40.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (…… ) Η παραγοντοποίηση με δενδροδιάγραμμα και με διαδοχικές διαιρέσεις είναι
ισοδύναμες διαδικασίες.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
7. Το 13 είναι παράγοντας του αριθμού 1.170. Ποιους άλλους παράγοντες έχει ο αριθμός
αυτός;
8. Χρησιμοποιώ τους αριθμούς 4 , 5 και 7 για να φτιάξω πρώτους αριθμούς, με τις πράξεις
της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού.
9. Ένας αριθμός έχει παράγοντες το 2, το 5 και το 21 μόνο.
α) Βρίσκω ποιος είναι ο αριθμός αυτός.
β) Τον αναλύω σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
10. Σε ένα κιβώτιο υπάρχουν 45 βιβλία, τυλιγμένα σε τριάδες και τοποθετημένα σε τρεις
στήλες. Πόσα βιβλία είναι τοποθετημένα σε κάθε στήλη;

73
Πολλαπλάσιο ενός αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει όταν τον πολλαπλασιάσουμε με
έναν άλλον φυσικό αριθμό.
π.χ. 1 x 5 = 5
2 x 5 = 10
7 x 5 = 35
Οι αριθμοί 5, 10 , 35 είναι όλοι πολλαπλάσια του αριθμού 5.
Κάθε φυσικός αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.
Κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών λέγονται οι κοινοί αριθμοί που συναντάμε
στις προπαίδειές τους. Για παράδειγμα:
Π3 : 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , 39 , 42 , 45 , 48 …
Π5 : 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 …
Οι αριθμοί 15, 30 , 45 είναι κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 5.
Για να το εκφράσουμε αυτό πιο σωστά στη γλώσσα των μαθηματικών γράφουμε:
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ή Ε.Κ.Π. ονομάζεται το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο
ή περισσότερων αριθμών.
Στην περίπτωσή μας γράφουμε

74
Εάν βρούμε το Ε.Κ.Π. κάποιων αριθμών μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε και επόμενα κοινά
πολλαπλάσια των αριθμών αυτών.
Στο προηγούμενο παράδειγμα είδαμε ότι το Ε.Κ.Π. (3 , 5) = 15
Επομένως τα επόμενα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 5 μπορούν να υπολογιστούν
εύκολα με πολλαπλασιασμό.
Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. του 5, του 6 και του 15
1. Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια του κάθε αριθμού.
2. Επιλέγουμε τα κοινά πολλαπλάσια.
3. Από τα κοινά πολλαπλάσια επιλέγουμε το μικρότερο.
Π5 = 0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , 65, 70, 75, 80, 85, 90...
Π6 = 0, 6, 12, 18, 24, 30 , 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90...
Π15 = 0, 15, 30 , 45, 60, 75, 90....
1. Παίρνουμε τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς.
2. Εξετάζουμε αν διαιρείται ακριβώς με τους άλλους.
3. Αν ναι, αυτός είναι το Ε.Κ.Π.
4. Αν όχι, τον διπλασιάζουμε, τον τριπλασιάζουμε κλπ, μέχρις ότου να διαιρείται ακριβώς
με τους άλλους.
1ος
ΤΡΟΠΟΣ
2ος
ΤΡΟΠΟΣ

75
Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. του 4, του 5, του 6 και του 15.
Ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς είναι το 15.
Παρατηρούμε πως δε διαιρείται ακριβώς με όλους τους άλλους αριθμούς.
Τον διπλασιάζουμε και γίνεται 30, που όμως δε διαιρείται ακριβώς με το 4.
Τον τριπλασιάζουμε και γίνεται 45, που όμως δε διαιρείται ακριβώς με το 4 και το 6.
Τον τετραπλασιάζουμε και γίνεται 60, που διαιρείται ακριβώς και με το 4 και με το
5 και με το 6.
βήμα 1o: Γράφουμε τους αριθμούς οριζόντια και
φέρνουμε μια κατακόρυφη γραμμή δίπλα στον
τελευταίο αριθμό.
βήμα 2o
: Εξετάζουμε αν κάποιος ή κάποιοι από τους
αριθμούς διαιρούνται με έναν από τους πρώτους
αριθμούς 2 , 3 , 5 κλπ, αρχίζοντας από το 2. Αν
διαιρείται, γράφουμε δεξιά από την κατακόρυφη
γραμμή τον αριθμό 2.
βήμα 3o
: Κάνουμε τη διαίρεση του αριθμού ή των
αριθμών που διαιρούνται ακριβώς με το 2 και κάτω από
τον αριθμό γράφουμε το πηλίκο. Όσους αριθμούς δεν
διαιρούνται με το 2, τους ξαναγράφουμε από κάτω
όπως είναι.
βήμα 4o
: Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με το 3, το 5
κλπ. Όταν στην ίδια σειρά έχουμε μόνο το 1, η
διαδικασία έχει τελειώσει.
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι το γινόμενο των αριθμών που βρίσκονται δεξιά από
την κατακόρυφη γραμμή.
3ος
ΤΡΟΠΟΣ
Παράδειγμα
Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των
αριθμών 4 , 12 , 15 , 20.
Έχουμε:
4 12 15 20 2
2 6 15 10 2
1 3 15 5 3
1 1 1 1
Επομένως
Ε.Κ.Π. (4 , 12 , 15 , 20) =
2x2x3x5=60

76
1. Βρίσκω τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια των παρακάτω αριθμών μέχρι το 60,
κυκλώνοντας τα κοινά πολλαπλάσια και επιλέγοντας το μικρότερο από αυτά.
Π3:
...................................................................................................................................................
Π5:
...................................................................................................................................................
Ποιο είναι το ελάχιστο κοινό τους πολλαπλάσιο; ………….
2. Βρίσκω τα δέκα πρώτα πολλαπλάσια και το Ε.Κ.Π. των αριθμών: 9 , 12 , 18
Π9 = .............................................................................................................................................
Π12 = ............................................................................................................................................
Π18 = ............................................................................................................................................
Ε.Κ.Π.(9 , 12 , 18) =......................................................................................................................
3. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών:
α) 4 , 6 , 8 β) 6 , 9 , 12 γ) 10 , 25 δ) 12 , 18 , 30
α) (……)Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 3 και του 7 είναι το 21.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……)Το δύο διαιρεί το 4, άρα και τα πολλαπλάσια του 4.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……)Το 5 διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (……)ΕΚΠ(12,24)= 24.
…………………………………………………………………………………………………………………………………

77
ε) (……)ΕΚΠ(6,12,18) = 18.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
5. Οι μαθητές ενός τμήματος μπορούν να χωριστούν σε τριάδες ή σε τετράδες ή σε
εξάδες, χωρίς να περισσεύει κανένας. Πόσοι μπορεί να είναι οι μαθητές το τμήματος
αυτού;
6. Ένα βιβλίο έχει περισσότερες σελίδες από 100 και λιγότερες από 150. Αν μετράμε τις
σελίδες ανά 5 ή ανά 6 δεν περισσεύει καμία. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο;
7. Στην κουζίνα ενός μαγαζιού ετοιμάζουν μπριζόλες κάθε 9 λεπτά, πατάτες κάθε 6 λεπτά
και σαλάτες κάθε 4 λεπτά. Αν η κουζίνα ξεκινάει να δουλεύει στις 13:30 και τελειώνει
τις 16:30, πόσες φορές θα μαγειρέψει μπριζόλες, πατάτες και σαλάτα μαζί;
8. Τρία κουδούνια χτυπούν μαζί στις 8:00 π.μ. Το πρώτο χτυπά κάθε 2 ώρες, το δεύτερο
κάθε 5 ώρες και το τρίτο κάθε 4 ώρες. Ποια ώρα θα ξαναχτυπήσουν μαζί;
9. Όταν οι μαθητές ενός σχολείου τοποθετηθούν ανά εξάδες ή ανά δωδεκάδες ή ανά
δεκαπεντάδες, δεν περισσεύει κανένας. Αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός των μαθητών
βρίσκεται μεταξύ του 170 και του 200, να βρείτε πόσα παιδιά έχει το σχολείο.
10. Από το Αστεροσκοπείο Θεσσαλονίκης ο κομήτης Α είναι ορατός κάθε 12 χρόνια, ο
κομήτης Β κάθε 15 χρόνια και ο κομήτης Γ κάθε 29 χρόνια. Η τελευταία φορά που οι
τρεις κομήτες έγιναν συγχρόνως ορατοί ήταν το καλοκαίρι του 1950. Ποιο έτος θα
εμφανιστούν ξανά μαζί οι τρεις κομήτες από το Αστεροσκοπείο Θεσσαλονίκης;

78
11. Τέσσερα λεωφορεία εξυπηρετούν την ίδια γραμμή. Το Α εκτελεί 1 διαδρομή κάθε 10
λεπτά. Το Β εκτελεί 1 διαδρομή κάθε 12 λεπτά, το Γ εκτελεί 1 διαδρομή κάθε 15 λεπτά
και το Δ εκτελεί 1 διαδρομή κάθε 20 λεπτά. Αν τα λεωφορεία ξεκινήσουν συγχρόνως
από την αφετηρία, ύστερα από πόσο χρόνο θα συναντηθούν ξανά όλα μαζί στην
αφετηρία;
12. Τέσσερα λεωφορεία εξυπηρετούν την ίδια γραμμή. Το Α εκτελεί 10 διαδρομές σε 1
ώρα. Το Β εκτελεί 12 διαδρομές σε 1 ώρα, το Γ εκτελεί 15 διαδρομές σε 1 ώρα και το Δ
εκτελεί 20 διαδρομές σε 1 ώρα. Αν τα λεωφορεία ξεκινήσουν συγχρόνως από την
αφετηρία, ύστερα από πόσο χρόνο θα συναντηθούν στην αφετηρία;

79
Στον καινούριο ουρανοξύστη που κατασκευάζεται στο New
Jersey όλα τα διαμερίσματα έχουν σαλόνι σε σχήμα κύβου
αλλά με διαφορετικές διαστάσεις το κάθε ένα. Σε όλα τα
σαλόνια χρησιμοποιήθηκαν στο πάτωμα μεγάλα τετράγωνa
πλακάκια μήκους ενός μέτρου για την κάλυψή τους. Μπορείτε
να υπολογίσετε πόσα πλακάκια χρησιμοποιήθηκαν για τα
πατώματα των παρακάτω διαμερισμάτων;
Πάτωμα διαμερίσματος Πλακάκια Δύναμη
α)
β)
γ)

80
Τα σαλόνια σε κάθε διαμέρισμα έχουν και μια άλλη
ιδιαιτερότητα, εκτός από το τετράγωνο πατώμα. Όλα
τα σαλόνια είναι κατασκευασμένα σε σχήμα κύβου.
Δηλαδή όλοι οι τοίχοι και το ταβάνι έχουν ακριβώς το
ίδιο σχήμα με το πάτωμα (τετράγωνο). Μπορείς να
υπολογίσεις στον παρακάτω πίνακα από πόσους
«εσωτερικούς» κύβους αποτελείται κάθε σαλόνι;
δ)
ε)
Σαλόνι «κύβος» Εσωτερικοί κύβοι Δύναμη
α)

81
β)
γ)
δ)
ε)

82
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

83
Για να υπολογίσουμε πόσα είναι τα εσωτερικά κυβάκια, μπορούμε να σκεφτούμε ότι
«κόβουμε» τον μεγάλο κύβο σε «φέτες».
4 x 4 = 16
Κυβάκια η κάθε
«φέτα»
4 x 16 = 64
κυβάκια όλες οι
«φέτες» μαζί
Άρα ο μεγάλος κύβος
αποτελείται από
4 x 4 x 4= 64 κυβάκια

84
4 x 4 = 42
= 16 5 x 5 = 52
= 25
4 x 4 x 4 = 43
= 64 5 x 5 x 5 = 53
= 125
Συνοψίζοντας τις δυνάμεις

85
➢ Μπορείτε να υπολογίσετε πόσο κάνουν οι παρακάτω δυνάμεις:
44
=…………………………………………………………… 54
= ………………………………………………………………
➢ Πως θα μπορούσαμε άραγε να απεικονίσουμε με κύβους τη δύναμη 44
;
44= 4 x 4 x 4 x 4 = 256
64
κυβάκια
Το τελευταίο 4 του πολλαπλασιασμού μάς δείχνει ότι
παίρνουμε τον μεγάλο κύβο 4 φορές. Άρα έχουμε
64 x 4 = 256
Αυτό φαίνεται με σχήμα στην εικόνα που ακολουθεί.
64 64 64 64

86
Δύναμη ενός αριθμού ονομάζουμε έναν διαφορετικό τρόπο γραφής ενός γινομένου από
ίδιους παράγοντες.
π.χ. 3 x 3 x 3 x 3 = 34
Ο αριθμός 4 ονομάζεται εκθέτης και φανερώνει το πλήθος επαναλήψεων της βάσης.
Ο αριθμός 3 ονομάζεται βάση και είναι ο παράγοντας του γινομένου που επαναλαμβάνεται.
Θυμόμαστε ότι
✓ Για να βρούμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά «α» γράφουμε:
α Ετετραγώνου = α x α = α2
α
Επομένως, όταν έχουμε ένα αριθμό υψωμένο στην δευτέρα, διαβάζουμε «στο τετράγωνο».
π.χ. 52 : «πέντε στο τετράγωνο»
✓ Για να βρούμε τον όγκο ενός κύβου με πλευρά «α», γράφουμε:
α Οκύβου = α x α x α = α3
α
α
Επομένως, όταν έχουμε αριθμό υψωμένο στην τρίτη, διαβάζουμε «στον κύβο».
π.χ. 53
: «πέντε στον κύβο»
34
βάση
εκθέτης

87
Αριθμητικές παραστάσεις & δυνάμεις
Σε μια αριθμητική παράσταση που υπάρχουν δυνάμεις ξεκινάμε τη λύση πρώτα
υπολογίζοντας τις δυνάμεις και μετά ακολουθούν πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις και
προσθέσεις- αφαιρέσεις.
Ιδιότητες δυνάμεων... για σκληρά καρύδια!
α) Το γινόμενο δύο δυνάμεων με την ίδια βάση είναι ίσο με μία άλλη δύναμη, που έχει την
ίδια βάση και εκθέτη το άθροισμα των εκθετών.
Δηλαδή: 22
· 23
= 22+3
= 25
β) Το πηλίκο δύο δυνάμεων με την ίδια βάση είναι ίσο με μία άλλη δύναμη, που έχει την
ίδια βάση και εκθέτη τη διαφορά των εκθετών.
Δηλαδή: 34
: 32
= 34-2
= 32
γ) Αν υψώσουμε μία δύναμη σε μία άλλη δύναμη, αφήνουμε την ίδια βάση και εκθέτη
βάζουμε το γινόμενο των εκθετών.
Δηλαδή: (23
)2
= 22x3
= 26

88
1. Γράφω με μορφή δυνάμεων τα γινόμενα:
α) 5 x 5 x 5 x 5 = ....................
β) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = ..............
γ) 4 x 4 x 4 = .........................
2. Γράφω με μορφή δυνάμεων τα παρακάτω γινόμενα
α) 4 x 4 x 4 x 5 x 5 x 7 = …………………….……….
β) 4 x 3 x 4 x 3 x 3 x 4 = …………………….……….
γ) 3 x 3 x 3 x 3 x 7 x 7 x 7 x 7 = ……………..……
δ) 5 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 x 7 x 7 x 8 x 8 = ……..…
3. Συμπληρώνω τα κενά.
α) Το τετράγωνο του 9.
92
=.................................................
β) Τον κύβο του 4.
43
=.................................................
γ) Το 3 στην τετάρτη.
34
= .................................................
4. Συμπληρώνω τον πίνακα.
Δύναμη Διαβάζεται Τιμή της δύναμης
α) 54
β) 63
γ) 83
δ) 62

89
5. Συγκρίνω τα παρακάτω ζεύγη, χρησιμοποιώντας το σύμβολο της ισότητας ή
ανισότητας (<,>,=). Για να κάνω σύγκριση, χρειάζεται να βρω πρώτα το αποτέλεσμα
των δυνάμεων ή των γινομένων.
34
…………. 43
25
…………. 52
44
…………. 4 x 4 x 4
92
…………. 29
84
…………. 26
6. Συμπληρώνω τον πίνακα:
Αριθμός Δύναμη του 10 Δύναμη του 10 Αριθμός
100 105
103
1.000.000
104
1.000.000.000
1.000.000 108
107
1012
α) (……) Το 145.678=45.678.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
β) (……) Ισχύει ότι 72=49.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
γ) (……) Ισχύει ότι 32=3 x 2.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
δ) (……) Ισχύει ότι 24=42.
……………………………………………………………………………………………………………………………………

90
8. Ποιους αριθμούς φανερώνουν οι παρακάτω παραστάσεις.
α) 2 x 103
+ 5 x 102
= ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..…………………..……………
β) 5 x 104
+ 3 x 102
+ 5 = ………………………………………………………………………………….………………………….
……………………………………………………………………………………………………………..…………………..……………
γ) 8 x 105
+ 7 x 103
+ 2 x 10 + 9 = ………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………..…………………..……………
δ) 104
+ 2 x 103
+ 5 x 102
+ 9 x 10 + 4 = ……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………..…………………..……………
9. Να γίνουν οι πράξεις:
α) 57 - 26
: 16 + 24
x 5 + 63
=
β) 72
- (32
+ 42
) + (24
x 3 ) : (22
x 3) - 4 x (52
- 2 x 32
) =
γ) (17 - 12)2
+ (21 - 17 )2
- ( 32 - 29 )2
=
10. Υπολογίζω την αριθμητική παράσταση:
0,5×(32
-23
)+ (1+
1
2
) :
1
2
x (101
×
102
103) =

91
Ένας άλλος τρόπος εύρεσης του Ε.Κ.Π. και του Μ.Κ.Δ.
Ε.Κ.Π.
Μετατρέπουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και παίρνουμε το γινόμενο
των κοινών και των μη κοινών παραγόντων με τον μεγαλύτερο εκθέτη.
Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 18 και 15.
18 => 2 x 3 x 3 = 2 x 32
Είναι: 15 => 3 x 5
Επομένως Ε.Κ.Π. (18 , 15) = 2 x 32
x 5 = 90
Μ.Κ.Δ.
Μετατρέπουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και παίρνουμε το γινόμενο
των κοινών μόνο παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη.
Να βρείτε τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών 180 και 240.
180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 22
x 32
x 5
Είναι :
240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 24
x 3 x 5
Επομένως Μ.Κ.Δ.(180 , 240) = 22
x 3 x 5 = 60

92
1. Αναλύω σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών:
α) 14 και 21 β) 6 και 14 γ) 12 και 16
2. Αναλύω σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και βρίσκω τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών:
α) 16 και 18 β) 60 και 92 γ) 36 και 120
3. Ο Αλέξης έχει 20 κόκκινους, 25 πράσινους και 30 κίτρινους βόλους. Θέλει να τους βάλει
σε σακουλάκια, ομοιόμορφα ως προς τον αριθμό και το χρώμα των βόλων. Πόσα
σακουλάκια θα χρειαστεί και πόσους βόλους κάθε χρώματος θα βάλει σε κάθε
σακουλάκι;
4. Η γιαγιά Ανούσκα θέλει να μοιράσει στα 5 εγγονάκια της 36 καρύδια, 60 αμύγδαλα,
48 κάστανα και 30 φουντούκια. Εννοείται πως δε θέλει να αδικήσει κανένα. Πόσους
καρπούς από κάθε είδος θα δώσει σε κάθε ένα από τα εγγόνια της; Θα φτάσουν να
περιποιηθεί τα εγγονάκια της ή μήπως θα περισσέψουν;

στ δημ μαθηματικά α τεύχος

στ δημ μαθηματικά α τεύχος

More Related Content

What's hot

Similar to στ δημ μαθηματικά α τεύχος

More from Εκπαιδευτήρια Γεωργίου Ζώη

Recently uploaded

In this document

στ δημ μαθηματικά α τεύχος