Downloaded 18 times
Μη τετραγωνικά συστήματα
- 1. µη τετραγωνικά συστήµατα ΜανόληςΒάβαλης 11/11/2015 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
- 2. Προσοχή Απο εδώ καιπέρα έχουμε n ̸= m 1
- 3. Άνω κλιµακωτός πίνακας Έναςπίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν 2
- 4. Άνω κλιµακωτός πίνακας Έναςπίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν ∙ όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του, και 2
- 5. Άνω κλιµακωτός πίνακας Έναςπίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν ∙ όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του, και ∙ το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίο λέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού στοιχείου της προηγούμενης γραμμής. 2
- 6. Άνω κλιµακωτός πίνακας Έναςπίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν ∙ όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του, και ∙ το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίο λέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού στοιχείου της προηγούμενης γραμμής. Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 $ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 $ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
- 7. Παράδειγµα 1 3 32 2 6 9 5 −1 −3 3 0 3
- 8. Παράδειγµα 1 3 32 2 6 9 5 −1 −3 3 0 → 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 6 2 3
- 9. Παράδειγµα 1 3 32 2 6 9 5 −1 −3 3 0 → 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 6 2 → 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 0 0 1 3 3 2 2 6 9 5 −1 −3 3 0 = 3
- 10. Παράδειγµα 1 3 32 2 6 9 5 −1 −3 3 0 → 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 6 2 → 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 0 0 1 3 3 2 2 6 9 5 −1 −3 3 0 = 1 0 0 2 1 0 −1 2 1 3
- 11. Παράδειγµα 1 3 32 2 6 9 5 −1 −3 3 0 → 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 6 2 → 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 0 0 1 3 3 2 2 6 9 5 −1 −3 3 0 = 1 0 0 2 1 0 −1 2 1 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 0 0 3
- 12. Παραγοντοποίηση A =PLU (n ̸= m) Κάθε n × m πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο ενός πίνακα αντιμετάθεσης P, ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω κλιμακωτού πίνακα U. ∙ Ο P καθορίζεται απο τις εναλλαγές γραμμών που απαιτεί η διαδικασία της απαλοιφής με οδήγηση. ∙ Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής κάτω απο την διαγώνιο. ∙ Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν μετά την απαλοιφή. 4
- 13. Ορισµοί xγϵνικη: όλες οιλύσεις του Ax = b 5
- 14. Ορισµοί xγϵνικη: όλες οιλύσεις του Ax = b xoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax = 0 5
- 15. Ορισµοί xγϵνικη: όλες οιλύσεις του Ax = b xoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax = 0 xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b 5
- 16. Ορισµοί xγϵνικη: όλες οιλύσεις του Ax = b xoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax = 0 xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό. 5
- 17. Σχέσεις Μεταξύ Λύσεων Ηδιαφορά δύο οποιονδήποτε λύσεων του μη-ομογενούς συστήματος Ax = b ισούται με μία λύση του ομογενούς συστήματος Ax = 0. Έστω x1 , x2 δύο οποιεσδήποτε λύσεις του ομογενούς. Τότε έχουμε Ax1 = b και Ax2 = b Συνεπώς A(x1 − x2 ) = 0 Άρα x1 − x2 είναι λύση του ομογενούς. 6
- 18. Υπολογισµός Γενικευµένης ΛύσηςAx = b 1. Aπαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c) 7
- 19. Υπολογισµός Γενικευµένης ΛύσηςAx = b 1. Aπαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c) 2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε (xειδικη) 7
- 20. Υπολογισµός Γενικευµένης ΛύσηςAx = b 1. Aπαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c) 2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε (xειδικη) 3. Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη μεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια ομογενή λύση (xoµoγϵνoυς) 7
- 21. Υπολογισµός Γενικευµένης ΛύσηςAx = b 1. Aπαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c) 2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε (xειδικη) 3. Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη μεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια ομογενή λύση (xoµoγϵνoυς) 4. xγϵνικη = xειδικη + xoµoγϵνoυς 7
- 22. A = 1 30 2 −1 0 0 1 4 −3 1 3 1 6 −4 x = 5 2 7 1 0 0 0 1 0 1 1 1 y1 y2 y3 = 5 2 7 8
- 23. A = 1 30 2 −1 0 0 1 4 −3 1 3 1 6 −4 x = 5 2 7 1 0 0 0 1 0 1 1 1 y1 y2 y3 = 5 2 7 → y1 y2 y3 = 5 2 0 8
- 24. A = 1 30 2 −1 0 0 1 4 −3 1 3 1 6 −4 x = 5 2 7 1 0 0 0 1 0 1 1 1 y1 y2 y3 = 5 2 7 → y1 y2 y3 = 5 2 0 1 3 0 2 −1 0 0 1 4 −3 0 0 0 0 −0 x1 x2 x3 x4 x5 = 5 2 0 8
- 25. A = 1 30 2 −1 0 0 1 4 −3 1 3 1 6 −4 x = 5 2 7 1 0 0 0 1 0 1 1 1 y1 y2 y3 = 5 2 7 → y1 y2 y3 = 5 2 0 1 3 0 2 −1 0 0 1 4 −3 0 0 0 0 −0 x1 x2 x3 x4 x5 = 5 2 0 ⇒ xειδικη = x1 x2 x3 x4 x5 = 5 0 2 0 0 ⇒ 8
- 26. xγϵνικη = xειδικη+ xoµoγϵνoυς, ∀c1, c2, c3 ∈ R 9
- 27. xγϵνικη = xειδικη+ xoµoγϵνoυς, ∀c1, c2, c3 ∈ R xγϵνικη = c1 −3 1 0 0 0 + c2 −2 0 −4 1 0 + c3 1 0 3 0 1 9
- 28. xγϵνικη = xειδικη+ xoµoγϵνoυς, ∀c1, c2, c3 ∈ R xγϵνικη = c1 −3 1 0 0 0 + c2 −2 0 −4 1 0 + c3 1 0 3 0 1 + 5 0 2 0 0 9
- 29. Επίλυση οµογενούς m× n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 10
- 30. Επίλυση οµογενούς m× n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 0 0 u v w y = 0 0 0 10
- 31. Επίλυση οµογενούς m× n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 0 0 u v w y = 0 0 0 x = −3v − y v −1 3 y y 10
- 32. Επίλυση οµογενούς m× n Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0 1 3 3 2 0 0 3 1 0 0 0 0 u v w y = 0 0 0 x = −3v − y v −1 3 y y = v −3 1 0 0 + y −1 0 −1 3 1 10
- 33. Ερωτήµατα ∙ Είναι ταδιανύσματα του xγϵνικη όλα λύσεις του συστήματος? ∙ Είναι τα διανύσματα του xγϵνικη όλες οι λύσεις του συστήματος? ∙ Υπάρχει και άλλος τρόπος αναπαράστασης του xγϵνικη? ∙ Κάτω απο ποιές συνθήκες ένα σύστημα έχει λύση? 11
- 34. Ύπαρξη λύσεων ∙ Ανένα ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει περισσότερους αγνώστους απο εξισώσεις (n > m) τότε έχει μια τουλάχιστον μη-τετριμένη λύση. 12
- 35. Ύπαρξη λύσεων ∙ Ανένα ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει περισσότερους αγνώστους απο εξισώσεις (n > m) τότε έχει μια τουλάχιστον μη-τετριμένη λύση. ∙ Το σύνολο των μη-τετριμένων λύσεων του ομογενούς συστήματος Ax = 0 είναι ίσο με το σύνολο των μη-τετριμένων λύσεων του ομογενούς συστήματος Ux = 0 όπου U ο άνω κλιμακωτός πίνακας που προκύπτει απο τον A με απαλοιφή. 12
- 36. Ύπαρξη λύσεων Έστω ότιη απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax = b στο σύστημα Ux = c. Έστω επίσης ότι υπάρχουν r (μη-μηδενικοί) οδηγοί τότε ∙ r = min{m, n}. ∙ Οι τελευταίες m − r γραμμές του U είναι μηδενικές. ∙ Υπάρχει λύση μόνον αν οι τελευταίες m − r συνίστώσες του c είναι και αυτές μηδενικές. ∙ Αν r = m υπάρχει πάντα λύση ∙ An r = n το ομογενές σύστημα έχει μόνον την τετριμένη λύση 13
- 37.
- 38. Τέσσερα σηµαντικά σύνολα ∙Μηδενόχωρος N(A) ∙ Χώρος Στηλών R(A) ∙ Χώρος Γραμμών R ( AT ) ∙ Αριστερός Μηδενόχωρος N ( AT ) 15
- 39. Μηδενόχωρος N(A) ενόςΠίνακα A ∈ Rm×n είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύει ότι Ax = 0. 16
- 40. Μηδενόχωρος N(A) ενόςΠίνακα A ∈ Rm×n είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύει ότι Ax = 0. N(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0} 16
- 41. Χώρος Στηλών R(A)ενός πίνακα A ∈ Rm×n είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στηλών του A. 17
- 42. Χώρος Στηλών R(A)ενός πίνακα A ∈ Rm×n είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στηλών του A. R(A) = { x ∈ Rm : x = n∑ k=1 ckA∗,k, ∀ck ∈ R } 17
- 43. Χώρος Γραμμών R ( AT ) ενόςπίνακα A ∈ Rm×n είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των γραμμών του A. 18
- 44. Χώρος Γραμμών R ( AT ) ενόςπίνακα A ∈ Rm×n είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των γραμμών του A. R ( AT ) = { x ∈ Rn : x = m∑ k=1 ckAk,∗, ∀ck ∈ R } 18
- 45. Αριστερός Μηδενόχωρος N ( AT ) ενόςπίνακα A είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύει ότι xT A = 0. 19
- 46. Αριστερός Μηδενόχωρος N ( AT ) ενόςπίνακα A είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύει ότι xT A = 0. N(AT ) = { x ∈ Rm : xT A = 0 } 19
- 47. Αριστερός Μηδενόχωρος N ( AT ) ενόςπίνακα A είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύει ότι xT A = 0. N(AT ) = { x ∈ Rm : xT A = 0 } N(AT ) = { x ∈ Rm : AT x = 0 } 19
- 48. Θεωρήµατα Έστω ότι ηαπαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax = b στο σύστημα Ux = c. ∙ N(A) = N(U). 20
- 49. Θεωρήµατα Έστω ότι ηαπαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax = b στο σύστημα Ux = c. ∙ N(A) = N(U). ∙ x λύση του Ax = b ⇔ b ∈ R(A). 20
- 50. διανυσµατικοί χώροι καιυπόχωροι
- 51. Ορισµός Διανυσματικός χώρος είναιένα σύνολο αντικειμένων (που συνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε ορίσει τις πράξεις ∙ άθροισμα δύο διανυσμάτων και ∙ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό. 22
- 52. Ορισµός Διανυσματικός χώρος είναιένα σύνολο αντικειμένων (που συνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε ορίσει τις πράξεις ∙ άθροισμα δύο διανυσμάτων και ∙ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό. Παραδείγματα: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το σύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο (στον τρισδιάστατο χώρο), το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων, . . . 22
- 53. Ορισµός Διανυσματικός υποχώρος Yενός διανυσματικού χώρου V είναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε ∙ το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y να ανήκει και αυτό στο Y και ∙ ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y με έναν αριθμό να ανήκει και αυτό στο Y. 23
- 54. Ορισµός Διανυσματικός υποχώρος Yενός διανυσματικού χώρου V είναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε ∙ το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y να ανήκει και αυτό στο Y και ∙ ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y με έναν αριθμό να ανήκει και αυτό στο Y. Παραδείγματα: Το σύνολο των διανυσμάτων του Rn , το σύνολο των συμμετρικών n × n πινάκων, το σύνολο των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων, . . . 23
- 55. Εναλακτικός Ορισµός Διανυσματικός υποχώροςY ενός διανυσματικού χώρου V είναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε κάθε γραμμικός συνδοιασμός των στοιχείων του Y ανήκει στο Y. Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου V είναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε ∀x, y ∈ Y και ∀α, β ∈ R, αx + βy ∈ Y. 24
- 56. Άσκηση Ποιά απο ταπαρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι 1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες. 25
- 57. Άσκηση Ποιά απο ταπαρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι 1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες. 2. Οι n × n αντιστρέψιμοι πίνακες. 25
- 58. Άσκηση Ποιά απο ταπαρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι 1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες. 2. Οι n × n αντιστρέψιμοι πίνακες. 3. Οι λύσεις του συστήματος Ax = b. 25
- 59. Άσκηση Ποιά απο ταπαρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι 1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες. 2. Οι n × n αντιστρέψιμοι πίνακες. 3. Οι λύσεις του συστήματος Ax = b. 4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax = 0. 25
- 60. Άσκηση Ποιά απο ταπαρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι 1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες. 2. Οι n × n αντιστρέψιμοι πίνακες. 3. Οι λύσεις του συστήματος Ax = b. 4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax = 0. 5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x, y, z) που ανήκουν στο επίπεδο z = 2. 25