![2
Teorema ini akan dibuktikan dengan menyajikan S dalam bentuk (Gambar
1) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 maka 𝑓1( 𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓2(𝑥), atau untuk 𝑢 ≤ 𝑦 ≤ 𝑣 maka
𝑔1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑔2(𝑦)
Langkah pembuktian:
(i) Akan dibuktikan ∮ 𝑃𝑑𝑥 = −𝐶
∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
(ii) Akan dibuktikan∮ 𝑄𝑑𝑦 =𝐶
∬
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
(iii) Akan dibuktikan∮ ( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) = ∬ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆𝐶
Bukti:
i. Akan dibuktikan∮ 𝑃𝑑𝑥 = −𝐶
∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
Perhatikan
Ambil persamaan kurva AUB sebagai y = f1(x) dan AVB sebagai y = f2(x).
Jika S adalah daerah yang dibatasi oleh C, maka:
∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑓2 (𝑥)
𝑦=𝑓1(𝑥)
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑥=𝑎𝑆
= ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑦)
𝑏
𝑥=𝑎
|
𝑓1(𝑥)
𝑓2(𝑥)
𝑑𝑥
= ∫ [ 𝑃( 𝑥, 𝑓2(𝑥)) − 𝑃( 𝑥, 𝑓1(𝑥))] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓2(𝑥)) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓1(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓1(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓2(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
= − [∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓1(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓2(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
]
= −∮ 𝑃𝑑𝑥𝐶
− ∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∮ 𝑃𝑑𝑥𝐶𝑆
Jadi terbukti bahwa ∮ 𝑃𝑑𝑥 = −𝐶
∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
…(1)](https://image.slidesharecdn.com/teoremagreenjadi-150331094216-conversion-gate01/85/Teorema-green-dalam-bidang-2-320.jpg)
![3
ii. Akan dibuktikan ∮ 𝑄𝑑𝑦 =𝐶
∬
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
Perhatikan:
Sekarang ambil persamaan kurva UAV sebagai x = g1(y) dan UBV sebagai x
= g2(y). Jika S adalah daerah yang dibatasi oleh C, maka:
∬
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝑑𝑥
𝑔2(𝑦)
𝑥=𝑔1(𝑦)
] 𝑑𝑦
𝑣
𝑦=𝑢𝑆
= ∫ 𝑄( 𝑥, 𝑦)
𝑣
𝑦=𝑢
|
𝑔1(𝑦)
𝑔2(𝑦)
𝑑𝑦
= ∫ [ 𝑄( 𝑔2( 𝑦), 𝑦) − 𝑄( 𝑔1( 𝑦), 𝑦)] 𝑑𝑦
𝑣
𝑢
= ∫ 𝑄( 𝑔2 ( 𝑦), 𝑦) 𝑑𝑦 − ∫ 𝑄( 𝑔1( 𝑦), 𝑦) 𝑑𝑦
𝑣
𝑢
𝑣
𝑢
= ∫ 𝑄( 𝑔1( 𝑦), 𝑦) 𝑑𝑦
𝑢
𝑣
+ ∫ 𝑄( 𝑔2( 𝑦), 𝑦) 𝑑𝑦
𝑣
𝑢
= ∮ 𝑄𝑑𝑦
𝐶
Jadi terbukti bahwa ∮ 𝑄𝑑𝑦 =𝐶
∬
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦. . . (2)𝑆
iii. Akan dibuktikan ∮ ( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) = ∬ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆𝐶
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
∮ 𝑃𝑑𝑥 = −𝐶
∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
…(1)
∮ 𝑄𝑑𝑦 =𝐶
∬
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 … (2)𝑆
∮ 𝑃𝑑𝑥 +𝐶
∮ 𝑄𝑑𝑦𝐶
= ∬
𝜕𝑄
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
− ∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
∮ ( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦)
𝐶
= ∬ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
+
Jadi terbukti bahwa ∮ ( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) = ∬ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆𝐶](https://image.slidesharecdn.com/teoremagreenjadi-150331094216-conversion-gate01/85/Teorema-green-dalam-bidang-3-320.jpg)
![4
C. ContohSoal
1. Periksa teorema Green pada bidang untuk ∫ (2𝑥𝑦− 𝑥2
)𝑐
𝑑𝑥 + ( 𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑦
dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥2
dan
𝑦2
= 𝑥. Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1)
Penyelesaian
Arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar
Sepanjang y = x2 integral garisnya sama dengan
∫ [(2𝑥)(𝑥2
1
𝑥=0
)− 𝑥2
] 𝑑𝑥 + [( 𝑥) + ( 𝑥2)2] 𝑑(𝑥2
)
= ∫ (2𝑥2
+ 𝑥2
+
1
𝑥=0
2𝑥5
) 𝑑𝑥 = 7/6
Sepanjangy2= x integral garisnyasamadengan
∫ [(2𝑦2)( 𝑦)− ( 𝑦2)2] 𝑑( 𝑦2) + ( 𝑦2
+ 𝑦2) 𝑑𝑦
0
𝑦=1
= ∫(4𝑦2
− 2𝑦5
+ 2𝑦2) 𝑑𝑦 = −17/15
0
𝑦=1
Maka integral garis yang diinginkan = 7/6 – 17/15 = 1/30](https://image.slidesharecdn.com/teoremagreenjadi-150331094216-conversion-gate01/85/Teorema-green-dalam-bidang-4-320.jpg)
![5
Dengan menggunakan teorema Green
∬ (
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ [
𝜕( 𝑥 + 𝑦2)
𝜕𝑥
−
𝜕(2𝑥𝑦 − 𝑥2)
𝜕𝑦
] 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅𝑅
= ∬(1 − 2𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ (1 − 2𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑥
√ 𝑥
𝑦= 𝑥2
1
𝑥=0𝑅
= ∫( 𝑦 − 2𝑥𝑦)| √ 𝑥
𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫(𝑥
1
2 − 2𝑥
3
2 − 𝑥2
+ 2𝑥3
) 𝑑𝑥
1
0
=
1
30
1
𝑥=0
Dengan demikian selesailah periksaan teorema Green
2. Hitunglah ∮ [( 𝑥2
− 𝑥𝑦3) 𝑑𝑥 + (𝑦2
𝑐
− 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 ] dimana C adalah suatu
bujur sangkardengan titik sudut (0,0) , (0,2) , (2,2) , (2,0)
Penyelesaian
Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut
(0,2) (2,2)
(0,0) (2,0)
Berdasarkan Teorema Green
∮ 𝑀 𝑑𝑥
𝑐
+ 𝑁 𝑑𝑦 = ∬(
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑅
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) dy dx](https://image.slidesharecdn.com/teoremagreenjadi-150331094216-conversion-gate01/85/Teorema-green-dalam-bidang-5-320.jpg)
![6
(3,1)(1,1)
(2,0)(0,0) x
y
Maka
∬(
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑅
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) dy dx = ∬(
𝜕(𝑦2
− 2𝑥𝑦)
𝜕𝑥
𝑅
−
𝜕( 𝑥2
− 𝑥𝑦3)
𝜕𝑦
) dy dx
= ∫ ∫ (−2𝑦 + 3𝑥𝑦2)
0
𝑦=2
2
𝑥 = 0
𝑑𝑦 𝑑𝑥
= ∫ (
1
2
(−2𝑦2) +
1
3
3𝑥𝑦3
)
2
𝑥=0
𝑑𝑥
= ∫ ((−𝑦2) + 𝑥𝑦3
)
2
𝑥=0
0
]
2
𝑑𝑥
= ∫ (−4 + 8𝑥) 𝑑𝑥
2
𝑥=0
= (−4𝑥 +
1
2
8 𝑥2
)
2
]
0
= (− 4 .2+ 4 .2 )– 0
= 8
3. Hitunglah ∮ (3𝑥2
+ 2𝑦) 𝑑𝑥 − (𝑥 + 3cos 𝑦) 𝑑𝑦𝑐
Sekeliling jajar genjang
dengan ujung – ujung (0,0); (2,0); (3,1); dan (1,1).
Penyelesaian :
R](https://image.slidesharecdn.com/teoremagreenjadi-150331094216-conversion-gate01/85/Teorema-green-dalam-bidang-6-320.jpg)
Teorema green dalam bidang
- 1. 1 A. Fungsi Teorema Green Teori ini adalah teori yang sangat penting jika dihubungkan dengan integrasi garis pada kurva tertutup bidang. Teori ini menjelaskan hubungan antara integral garis di sepanjang kurva (atau kurva-kurva) yang membentuk atau membangun sebuah daerah/domain dan integral ganda (double integral) atau integral integral permukaan yang di ambil di daerah tersebut. Dengan kata lain teori ini menjelaskan bahwa permasalahan integral garis dapat di selesaikan dengan Teorema Green dan demikian sebaliknya B. Pembuktian Teorema Green Jika D suatu domain dalam bidang XY dan C adalah kurva tertutup sederhana di D.Misal P(x,y), Q(x.y) masing-masing fungsi terdefinisi dan kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu juga di D, maka Dengan S adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh Cdimana Cbergerak ke arah positif (berlawanan arah dengan jarum jam).Perhatikan gambar 1 berikut: ∮( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) = ∬ ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝐶
- 2. 2 Teorema ini akan dibuktikan dengan menyajikan S dalam bentuk (Gambar 1) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 maka 𝑓1( 𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓2(𝑥), atau untuk 𝑢 ≤ 𝑦 ≤ 𝑣 maka 𝑔1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑔2(𝑦) Langkah pembuktian: (i) Akan dibuktikan ∮ 𝑃𝑑𝑥 = −𝐶 ∬ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 (ii) Akan dibuktikan∮ 𝑄𝑑𝑦 =𝐶 ∬ 𝜕𝑄 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 (iii) Akan dibuktikan∮ ( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) = ∬ ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆𝐶 Bukti: i. Akan dibuktikan∮ 𝑃𝑑𝑥 = −𝐶 ∬ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 Perhatikan Ambil persamaan kurva AUB sebagai y = f1(x) dan AVB sebagai y = f2(x). Jika S adalah daerah yang dibatasi oleh C, maka: ∬ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑓2 (𝑥) 𝑦=𝑓1(𝑥) ] 𝑑𝑥 𝑏 𝑥=𝑎𝑆 = ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑦) 𝑏 𝑥=𝑎 | 𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ [ 𝑃( 𝑥, 𝑓2(𝑥)) − 𝑃( 𝑥, 𝑓1(𝑥))] 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓2(𝑥)) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓1(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 = − ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓1(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 − ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓2(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 = − [∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓1(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 + ∫ 𝑃( 𝑥, 𝑓2(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 ] = −∮ 𝑃𝑑𝑥𝐶 − ∬ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∮ 𝑃𝑑𝑥𝐶𝑆 Jadi terbukti bahwa ∮ 𝑃𝑑𝑥 = −𝐶 ∬ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 …(1)
- 3. 3 ii. Akan dibuktikan ∮ 𝑄𝑑𝑦 =𝐶 ∬ 𝜕𝑄 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 Perhatikan: Sekarang ambil persamaan kurva UAV sebagai x = g1(y) dan UBV sebagai x = g2(y). Jika S adalah daerah yang dibatasi oleh C, maka: ∬ 𝜕𝑄 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝜕𝑄 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝑔2(𝑦) 𝑥=𝑔1(𝑦) ] 𝑑𝑦 𝑣 𝑦=𝑢𝑆 = ∫ 𝑄( 𝑥, 𝑦) 𝑣 𝑦=𝑢 | 𝑔1(𝑦) 𝑔2(𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ [ 𝑄( 𝑔2( 𝑦), 𝑦) − 𝑄( 𝑔1( 𝑦), 𝑦)] 𝑑𝑦 𝑣 𝑢 = ∫ 𝑄( 𝑔2 ( 𝑦), 𝑦) 𝑑𝑦 − ∫ 𝑄( 𝑔1( 𝑦), 𝑦) 𝑑𝑦 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 = ∫ 𝑄( 𝑔1( 𝑦), 𝑦) 𝑑𝑦 𝑢 𝑣 + ∫ 𝑄( 𝑔2( 𝑦), 𝑦) 𝑑𝑦 𝑣 𝑢 = ∮ 𝑄𝑑𝑦 𝐶 Jadi terbukti bahwa ∮ 𝑄𝑑𝑦 =𝐶 ∬ 𝜕𝑄 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. . . (2)𝑆 iii. Akan dibuktikan ∮ ( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) = ∬ ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆𝐶 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: ∮ 𝑃𝑑𝑥 = −𝐶 ∬ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 …(1) ∮ 𝑄𝑑𝑦 =𝐶 ∬ 𝜕𝑄 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 … (2)𝑆 ∮ 𝑃𝑑𝑥 +𝐶 ∮ 𝑄𝑑𝑦𝐶 = ∬ 𝜕𝑄 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 − ∬ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 ∮ ( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) 𝐶 = ∬ ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 + Jadi terbukti bahwa ∮ ( 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) = ∬ ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆𝐶
- 4. 4 C. ContohSoal 1. Periksa teorema Green pada bidang untuk ∫ (2𝑥𝑦− 𝑥2 )𝑐 𝑑𝑥 + ( 𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑦 dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥2 dan 𝑦2 = 𝑥. Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1) Penyelesaian Arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar Sepanjang y = x2 integral garisnya sama dengan ∫ [(2𝑥)(𝑥2 1 𝑥=0 )− 𝑥2 ] 𝑑𝑥 + [( 𝑥) + ( 𝑥2)2] 𝑑(𝑥2 ) = ∫ (2𝑥2 + 𝑥2 + 1 𝑥=0 2𝑥5 ) 𝑑𝑥 = 7/6 Sepanjangy2= x integral garisnyasamadengan ∫ [(2𝑦2)( 𝑦)− ( 𝑦2)2] 𝑑( 𝑦2) + ( 𝑦2 + 𝑦2) 𝑑𝑦 0 𝑦=1 = ∫(4𝑦2 − 2𝑦5 + 2𝑦2) 𝑑𝑦 = −17/15 0 𝑦=1 Maka integral garis yang diinginkan = 7/6 – 17/15 = 1/30
- 5. 5 Dengan menggunakan teorema Green ∬ ( 𝜕𝑁 𝜕𝑥 − 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ [ 𝜕( 𝑥 + 𝑦2) 𝜕𝑥 − 𝜕(2𝑥𝑦 − 𝑥2) 𝜕𝑦 ] 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅𝑅 = ∬(1 − 2𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ (1 − 2𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑥 √ 𝑥 𝑦= 𝑥2 1 𝑥=0𝑅 = ∫( 𝑦 − 2𝑥𝑦)| √ 𝑥 𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 1 2 − 2𝑥 3 2 − 𝑥2 + 2𝑥3 ) 𝑑𝑥 1 0 = 1 30 1 𝑥=0 Dengan demikian selesailah periksaan teorema Green 2. Hitunglah ∮ [( 𝑥2 − 𝑥𝑦3) 𝑑𝑥 + (𝑦2 𝑐 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 ] dimana C adalah suatu bujur sangkardengan titik sudut (0,0) , (0,2) , (2,2) , (2,0) Penyelesaian Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut (0,2) (2,2) (0,0) (2,0) Berdasarkan Teorema Green ∮ 𝑀 𝑑𝑥 𝑐 + 𝑁 𝑑𝑦 = ∬( 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝑅 − 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ) dy dx
- 6. 6 (3,1)(1,1) (2,0)(0,0) x y Maka ∬( 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝑅 − 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ) dy dx = ∬( 𝜕(𝑦2 − 2𝑥𝑦) 𝜕𝑥 𝑅 − 𝜕( 𝑥2 − 𝑥𝑦3) 𝜕𝑦 ) dy dx = ∫ ∫ (−2𝑦 + 3𝑥𝑦2) 0 𝑦=2 2 𝑥 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ( 1 2 (−2𝑦2) + 1 3 3𝑥𝑦3 ) 2 𝑥=0 𝑑𝑥 = ∫ ((−𝑦2) + 𝑥𝑦3 ) 2 𝑥=0 0 ] 2 𝑑𝑥 = ∫ (−4 + 8𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑥=0 = (−4𝑥 + 1 2 8 𝑥2 ) 2 ] 0 = (− 4 .2+ 4 .2 )– 0 = 8 3. Hitunglah ∮ (3𝑥2 + 2𝑦) 𝑑𝑥 − (𝑥 + 3cos 𝑦) 𝑑𝑦𝑐 Sekeliling jajar genjang dengan ujung – ujung (0,0); (2,0); (3,1); dan (1,1). Penyelesaian : R
- 7. 7 Kita menggunakanTeorema Green untuk menyelesaikan soal ini ∮(3𝑥2 + 2𝑦) 𝑑𝑥 − (𝑥 + 3cos 𝑦) 𝑑𝑦 𝑐 = ∬ { 𝜕(𝑥 + 3 cos 𝑦) 𝜕𝑥 − 𝜕(3𝑥2 + 2𝑦) 𝜕𝑦 } 𝑅 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∬ (−1 − 2 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑅 = −3 ∬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑅 = −3 ( 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔) = −3 (2× 1) = −6
- 8. 8 D. Biografi George Green Gambar George Green. Teorema Green dinamai untuk menghormati ilmuwan otodidak Inggris George Green (1793-1841). Dia bekerja penuh diperusahaan roti ayahnya sejak usia 9 tahun dan belajar sendiri matematika dari buku perpustakaan. Pada tahun 1828 dia menerbitkan secara pribadi An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, tetapi hanya dicetak 100 eksemplar dan kebanyakan untuk temannya. Brosur ini mengandung teorema yang setara dengan apa yang kita kenal sebagai Teorema Green, tetapi dia tidak menjadi dikenal luas pada waktu itu. Akhirnya pada usia 40 tahun, Green masuk Cambridg University sebagai mahasiswa tetapi meninggal empat tahun setelah wisuda. Pada tahun 1846, William Thomson (Lord Kelvin) menemukan satu eksemplar tulisan Green, menyadari pentingnya tulisan itu dan mencetak ulang. Green adalah orang pertama yang mencoba merumuskan teori matematis dari listrik dan magnet. Karyanya merupakan dasar untuk teori elektromagnetik yang muncul dikemudian hari dari Thomson, Stokes, Rayleigh, dan Maxwell.
- 9. 9 DAFTAR PUSTAKA Soemartojo, Noeniek. 1988. Analisa Vektor Edisi keempat. Jakarta: Erlangga