Teori himpunan

Agenda
 Himpunan
 Pengertian himpunan
 Notasi himpunan
 Macam-macam himpunan
 Operasi antar himpunan
 Diagram Venn
 Latihan soal

Himpunan
Gerorg Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan.
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai
syarat tertentu dan jelas.
Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia,
hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya.
Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari
suatu himpunan .

Himpunan
 Suatu himpunan dikatakan baik (well-defined set)
jika mempunyai syarat tertentu dan jelas dalam
menentukan anggota suatu himpunan, ini sangat
penting karena untuk membedakan mana yang
menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan
merupakan anggota himpunan

Notasi Himpunan
 Dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K , dsb
 Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol
“{….}”.
 Untuk melambangkan anggota himpunan biasanya
menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y , dsb.
 Untuk menyatakan anggota suatu himpunan
digunakan lambang “Î” (baca: anggota)
 Untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan
digunakan lambang “Ï” (baca: bukan anggota).

Simbol-simbol baku
R = himpunan bilangan riil = {...-2, -1.77, -1, 0, 0.21, 1, 2, 2.6789,...}
Q = himpunan bilangan rasional = {..., -2, -1/2, 0, 1/3, 1, 3/2, 2,...}
Z = himpunan bilangan bulat ={...,-2, -1, 0, 1, 2,...}
N = himpunan bilangan asli (natural) = { 1, 2, ...}
P = himpunan bilangan bulat positif = { 0, 1, 2, 3, ...}
C = himpunan bilangan kompleks

Pendefinisian Himpunan
 Mendaftarkan semua anggotanya.
Contoh: A = {a,e,i,o,u}
B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
 Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya
Contoh: A = Himpunan vokal dalam abjad latin
B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

Pendefinisian Himpunan
 Menyatakan sifat dengan pola
contoh: P = {0,2,4,8,10,…,48}
Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}
 Menggunakan notasi pembentuk himpunan
contoh P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
Q = { t | t bilangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
R = { s | s2 -1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})

Pendefinisian himpunan
 Jumlah unsur dalam suatu himpunan dinamakan
kardinalitas dari himpunan tersebut. Misalkan, untuk
menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan
notasi: n(A) atau |A|
 Contoh : A = { 1,3,5,7,9,11} maka n(A) = 6 atau |A| = 6

Macam-macam Himpunan
 Himpunan Semesta
adalah himpunan yang anggotanya semua objek
pembicaraan.
Dilambangkan dengan S atau U.
 Himpunan Kosong
adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Dilambangkan dengan “Ø” atau { }

Macam-macam himpunan
 Himpunan Bagian
Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A
merupakan anggota B maka dikatakan A merupakan
himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B
memuat A
 Dilambangkan dengan AÌB.
Jadi AÌB jika dan hanya jika
xÎA xÎB
 Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan
anggota B maka A bukan bukan himpunan bagian dari
B, dilambangkan dengan AËB.

Contoh
Nyatakanlah himpunan berikut ini dengan notasi-notasi himpunan!
1. A = himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama
dengan lima
2. B = himpunan kucing, meja, buku, air
3. C = himpunan bilangan riil yang lebih kecil dari 10.
Jawab:
1. A = {1, 2, 3, 4, 5} atau A = {x Bulat | 1 ≤ 5}
2. B = { kucing, meja, buku, air}
3. C = {x Riil | x < 10}
 Perhatikan bahwa kedua cara menyatakan himpunan dapat
diterapkan pada a., tetapi hanya salah satu cara yang dapat
diterapkan pada b. dan c.

Contoh
 N = { 1, 2, 3, …. } = himpunan bilangan natural
 Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. } = himpunan bilangan
bulat (integer)
 Z+ = { 1, 2, 3, …. } = himpunan integer positif
 Q = { p/q | p Î Z, q Î Z, q ¹ 0 } = himpunan
bilangan rasional
 R = himpunan bilangan nyata (real numbers)

Operasi Himpunan
 Gabungan (Union)
 Diberikan himpunan A dan B.
 Lambang operasi gabungan berbentuk È
 Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan AÈB
adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di
A atau berada di B.
 Jadi AÈB = { x | xÎA atau xÎB }
 Contoh:
A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}.
Maka AÈB = {a,b,c,d,e,f,1,2}

Operasi himpunan (2)
 Irisan (Intersection)
 Diberikan himpunan A dan B.
 Lambang operasi irisan berbentuk ∩
 Irisan himpunan A dan B ditulis dengan AÇB adalah suatu
himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di
B.
 Jadi AÇB = { x | xÎA dan xÎB }
 Contoh:
• A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}.
Maka AÇB = {c}
• P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}.
Maka PÇQ = Ø

 Komplemen
 Diberikan suatu himpunan A.
 Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac“ atau Ā
adalah himpunan yang anggotanya berada dalam
himpunan semesta tetapi bukan berada di A.
 Jadi Ac= { x | xÎS, xÏA }
 Contoh:
Diberikan semesta himpunan bilangan asli.
Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}

 Power Set
 S adalah himpunan berhingga dengan n
anggota
 Maka power set dari S -dinotasikan P(S)- adalah
himpunan dari semua subset dari S dan |P(S)| =
2n
 Contoh: S = { a, b, c}
P(S) = { Æ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c},
{b, c}, {a, b, c} }

 Selisih (difference)
 Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh
tanda ‘– ‘.
 Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B
dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B
 Contoh : Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5,
7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9, 10 } dan B – A = ∅

 Beda Setangkup (Symmetric Difference)
 Beda setangkup antara dua buah himpunan
dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘.
 Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda
setangkup antara A dan B dinotasikan oleh :
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A)
 Contoh : Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka
A ⊕ B = { 1, 4, 7 }

 Perkalian Kartesian (cartesian product)
 Perkalian kartesian antara dua buah himpunan
dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.
 Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian
kartesian antara A dan B dinotasikan oleh :
A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B }
 Contoh : Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka
C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

Latihan Soal
1. Tentukan Power Set dari himpunan dibawah ini:
 A = {a}
 B = {a,b}
 C = {1,2,3}
2. Diketahui A={1,2,3,4,5} dan B={0,3,6}. Tentukan:
 A È B
 A – B
 A Ç B
 B – A

Latihan soal
3. Tentukan kardinalitas dari himpunan berikut :
a. P = {Mahasiswa Teknik Industri STT Telkom
yang pernah ke Mars}
b. A = {a, {a}, {{a}} }
c. Q = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N }
d. B = {jumlah huruf konsonan pada abjad
yunani}
e. S = {himpunan bilangan prima antara 10 dan 30}

Diagram Venn
 Merupakan sebuah metode dalam
merepresentasikan objek-objek diskrit dan
hubungan antara objek-objek tersebut secara
grafis.
 Diagram yang menggambarkan keberadaan
himpunan terhadap himpunan lain.
 Himpunan Semesta (S) digambarkan sebagai suatu
segi empat sedangkan himpunan lain digambarkan
sebagai lingkaran.

Model – model diagram venn
Ditulis : A ≠ B

Model – model diagram venn
Ditulis : A Ì B

Contoh 1
Contoh
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5}
dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:

Contoh 2
2. S = {bilangan asli}, A = {bilangan ganji} dan
B = {bilangan prima > 2}, himpunan –
himpunan tersebut dapat dinyatakan ke dalam
diagram venn. Buatlah diagram venn yang
sesuai!

Pembahasan
S = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}
A = { 1, 3, 5, 7, 11, ...}
B = { 3, 5, 7, 11, ...}
Karena semua anggota himpunan B dimuat di A
maka kurva B ada di dalam kurva A. Jadi
jawaban yang benar adalah : C

Contoh 4
K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K È L = ...
a. { p, o, s u, k, m, a }
b. { m, a, s, b, u, k }
c. { p, a, k, u, m, i, s}
d. {k, a, m, p, u, s }

Contoh 5
P = { faktor dari 10 }
Q = { tiga bilangan prima pertama }
P È Q = ...

Pembahasan
P = { 1, 2, 5, 10 }
Q = { 2, 3, 5 }
maka :
P È Q = { 1, 2, 3, 5, 10}
Jadi jawaban yang benar adalah : D

Pembahasan
n (M) = 17 orang
n (F) = 15 orang
n (M ∩ F) = 8 orang
n (M È F) = n(M) + n(F) - n (M ∩ F)
= 17 + 15 – 8
= 24 orang
Jadi jawaban yang benar adalah B

Pembahasan
n (S) = 180 orang
n (M) = 103 orang
n (B) = 142 orang
n (M ∩ B) = x orang
n (S) = n (M) + n (B) - n (M ∩ B)
180 = 103 + 142 – x
x = 245 – 180
= 65 (C)

Pembahasan
Biola = 12 orang
Gitar = 32 orang
Biola & gitar = 10 orang
Jumlah siswa = 40 orang
Tdk suka keduanya = x orang
Jumlah siswa = n(B) + n(G) – n(B ∩ G) + x
40 = 12 + 32 – 10 + x
40 = 34 + x
x = 40 – 34
x = 6

Contoh 10
Dari 130 anak, yang menyukai lagu pop 80
anak, suka lagu klasik 40 anak dan suka lagu
rock 70 anak. Yang suka pop & klasik 24
anak, yang suka klasik & rock 23 anak dan
yang suka pop & rock 28 anak. Berapakah
yang suka ketiganya?

Pembahasan
Jml anak = n(P) + n(K) + n(R) – n(P ∩ K ∩ R) + x
130 = 80 + 40 + 70 – (24 + 23 + 28) + x
130 = 190 – 75 + x
130 = 115 + x
x = 130 – 115
x = 15 anak

Latihan
1. Sebuah RS mempunyai pasien sebanyak 53
orang, 26 orang menderita demam berdarah, 32
orang menderita muntaber, penderita DBD dan
muntaber 7 orang, yang tidak menderita DBD dan
muntaber adalah...(gambarkan diagram venn nya)
2. Dari 40 orang anak ternyata 24 anak gemar
minum teh, 18 anak gemar minum kopi, 5 anak
tidak gemar minum keduanya. Banyaknya anak
yang gemar keduanya adalah...(gambarkan
diagram venn nya)

Latihan (2)
3. Dalam sebuah kelas terdapat 20 siswa gemar matematika,
15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya. Berapa
banyak siswa dalam kelas adalah ... (gambarkan diagram
venn nya)
4. Dari 60 siswa ternyata 36 orag gemar membaca, 34 orang
gemar menulis, 12 orang gemar kedua-duanya. Banyaknya
anak yang tidak menggemari keduanya adalah...(gambarkan
diagram venn nya)
5. Diketahui 40 siswa, 14 siswa ikut les matematika, 17 ikut les
fisika dan 15 ikut les b.inggris. 7 siswa ikut matematika dan
fisika, 5 siswa ikut fisika dan b.inggris, 4 siswa ikut les
matematika dan b.inggris. Berapa siswa yang tidak ikut les?
(Gambarkan diagram venn nya)

Teori himpunan

More Related Content

What's hot

Similar to Teori himpunan

Recently uploaded

Teori himpunan