Transformasi

TRANSFORMASI
KELOMPOK 7
UFIT FITRIANI (145500016)
MAR’ATUS SH (145500042)
FIKA ALIFTIANA (145500165)
ANI ROSIDAH (145500181)

Apa saja yang akan kita pelajari ?

P (x,y)
• Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran
namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik
penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.
• Contoh :
1. Translasi (Perpindahan)
Sebuah titik P(x,y)
ditranslasikan sejauh a
satuan sepanjang
sumbu x dan b satuan
sepanjang sumbu y,
diperoleh peta titik
P’(x’,y’).
x‘x
y‘
y
Y
X
P ‘ (x ‘,y ‘) = P ‘ (x+a , y+b)
T=
a
b
b
a
0

dy
dx
• Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.
x’ = x + dx
y’ = y + dy
Model Matrik:


















dy
dx
y
x
y
x
'
'
P (x,y)
P‘ (x ‘,y ‘)

O (n,d)P (m,d)D (a,d)
N (n,c)M (m,c)B (b,c)A (a,c)
nmba
c
d
• Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh
h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut
harus bergeser sejauh h juga.
• Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif
Y
X
C (b,d)
h

s
o
p
O (n,p)P (m,p)
N (n,o)M (m,o)
C (b,d)D (a,d)
B (b,c)A (a,c)
• Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y sekaligus ?
nmba
c
d
Y
X
h
Karena bentuk buku harus tetap, maka

• Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M, dan
titik B menjadi titik N dengan T
h
s
 
  
 
adalah :
A( , ) M( , )a c a h c s 
T
h
s
 
  
 
B( , ) N( , )b c b h c s 
T
h
s
 
  
 

Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 jika ditranslasikan oleh :
Titik P ditranslasi dengan diperoleh titik T’ sbb :
3
T
4
 
  
 
P( , ) P'( 3, 4)a b a b 
3
T
4
 
  
 
Jawab :
Contoh soal :
Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga persamaan dapat
ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9
3
T
4
 
  
 

Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1). Dengan dilakukan translasi pusat
lingkaran diperoleh :
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 4
Substitusi ke persamaan :
(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9
(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
a = a’ – 3 dan b = b’ – 4
O(2,1) O'(2 3,1 4) O'(5,5)  
3
T
4
 
  
 
Cara lain :

2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik
dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.
1. Pencerminan terhadap sumbu x (dilambangkan dengan Mx)
Mx : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(x,-y)
Persamaan matriksnya :
y
y
-y
A (x,y)
A‘ (x,-y)

A‘ (-x,-y)
2. Pencerminan terhadap sumbu y (dilambangkan dengan My)
My : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(-x,y)
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0) (dilambangkan dengan Mo)
Mo : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(-x,-y)
y
x -x
A‘ (-x,y) y A (x,y)
x
y
x
A (x,y)

4. Pencerminan terhadap garis y = x (dilambangkan dengan My = x)
My = x : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(y,x)
5. Pencerminan terhadap garis y = -x (dilambangkan dengan My = -x)
My = -x : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(-y,-x)
y
A‘ (x,y)
A (x,y)
x
y = x
y
A‘ (-y,-x)
A (x,y)
x
y = -x

x
6. Pencerminan terhadap garis x = h (dilambangkan dengan Mx =
h)
Mx = h : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(2h - x , y)
7. Pencerminan terhadap garis y = k (dilambangkan dengan My =
k)
My = k : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(x , 2k-y)
A=(x,y) A ‘(2h-x,y)
x
x h-x
2h-xh
h-x
y
2k-y
k
A ‘(x,2k-y)
A(x,y)
y=k
k-y
k-y
y

8. Pencerminan terhadap titik (a,b)(dilambangkan dengan
M(a,b))
M(a,b) : P(x,y) P‘(x‘,y‘) = P‘(2a-x , 2b-y)

CONTOH :
1. P (3,5) di refleksikan terhadap garis x = 4. Maka bayangannya
adalah....
Penyelesaian :
P(3,5) Mx = 4 P‘(2h-x, y)
P‘(2(4)-3, 5))
P‘(5,5)
2. Q (4,-1) di refleksikan terhadap garis y = 5. Maka Q‘....
Penyelesaian :
Q(4,-1)My = 5 Q‘(x, 2k-y)
Q‘(4, 2(5)+1)
Q‘(4,11)


x
y
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalan transformasi yang memindahkan titik pada
bidang dengan perputaran yang ditentukan oleh pusat rotasi,
besar sudut rotasi dan arah sudut rotasi.
x’ = x cos() - y sin()
y’ = x sin() + y cos()
P‘ (x ‘,y ‘)
P (x,y)

• Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat
notasi dalam bentuk matrik :
dengan :
- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ
- x’ kombinasi linier dari x dan y
- y’ kombinasi linier dari x dan y
cos -sin
sin cos
x x
y y
 
 
     
          

Bukti :
Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.
Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ).
Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)).
Maka, diperoleh :
Matrik transformasi
untuk titik yang dirotasi
terhadap titik pusat O (0,0)
α
r cos (θ + α)
r cos θ
 x
y
A‘ (a‘, b‘)
A (a , b)

CONTOH :
1. P (2,3) diputar 90 berlawanan arah jarum jam dengan pusat O
(0,0). Bayangan titik P adalah ….
Penyelesaian :
x‘
y‘
A‘

4. Dilatasi (Penskalaan )
• Merupakan transformasi suatu titik atau sistem terhadap
suatu acuan yang menyebabkan jarak titik atau sistem
berubah dengan perbandingan tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’ sebesar
m kali titik P)
x
y
P(x,y)
P’(x’,y’)
mx.x
my.y
x’ = mx x
y’ = my y

• Dalam bentuk matrik dituliskan :
• Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk,
hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak titik-
titik penyusun berubah dengan perbandingan tertentu
terhadap acuan.
0
0
x
y
mx x
my y
     
         

• Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebab-kan
perbesaran atau perkecilan suatu sistem.
• Jika nilai k (bilangan nyata):
 k > 1 : hasil dilatasi diperbesar
 -1 < k < 1 : hasil dilatasi diperkecil
 k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya.
• Contoh :
Gambar disamping dilakukan
dilatasi dengan faktor k = 2.
Carilah titik-titik A’, B’ C’ dan D’
!

• Jawab :
Transformasi dapat dilakukan dengan :
Jadi hasil dilatasi
terhadap titik O(0,0):
A’(4,6), B’(10,6)
C’(12,10), D’ (6,10)
Notasi :
A(a,b) A’(ka,kb)
(0,k)

CONTOH :
1. Garis y = 2x – 1 didilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor skala 3.
Petanya adalah ....
Penyelesaian :
A (x , y) [0 , 3] A‘(3x , 3y)
x‘ = 3x
y‘ = 3y
Bayangan : | x3= 2. - 1
= 2 x ‘ - 3
y = 2x - 3
2x – y – 3 = 0
Benda : y = 2x - 1
TERIMA KASIH

Transformasi

More Related Content

What's hot

Similar to Transformasi

More from Ikak Waysta

Recently uploaded

Transformasi