Transformasi

Transformasi

• 1.
  TRANSFORMASI GEOMETRI DEFINISI Transformasi merupakanproses perpindahan suatu titik atau garis atau bidang menjadi bayangan titik atau garis atau bidang tersebut. Jenis-jenis transformasi : 1. Refleksi (pencerminan) 2. Translasi (Perpindahan) 3. Rotasi (perputaran) 4. Dilatasi (perbesaran) 1. REFLEKSI Refleksi adalah pencerminan. Dalam geometri bidang, sebagai cermin digunakan a. Sumbu x b. Sumbu y c. x = m d. y = n e. y = x f. y = -x g. Titik pusat O(0,0) a. Refleksi terhadap sumbu x x y P(x,y) P’(x,-y)
• 2.
  Berdasarkan gambar tersebut,jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’, y’) = P’(x, -y) sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : x’ = x y’ = -y                    y x y x 10 01 ' ' Jadi       10 01 adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x. Contoh : 1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(2,0), B(0,-5) dan C(-3,1). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu x jawab : Pencerminan terhadap sumbu x P(x,y) P’(x, -y) A(2,0) A’(2,0) B(0,-5) B’ (0,5) C(-3,1) C’ (-3,-1) 2. Bayangan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh refleksi terhadap sumbu x adalah Jawab : oleh pencerminan terhadap sumbu X maka: x’ = x x = x’ y’ = -y y = -y’ x = x’ dan y = -y’ disubstitusi ke persamaan garis 3x – 2y + 5 = 0 diperoleh: 3x’ – 2(-y’) + 5 = 0 3x’ + 2y’ + 5 = 0 Jadi bayangannya adalah 3x + 2y + 5 = 0 b. Refleksi terhadap sumbu y Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(-x,y), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : x’ = -x y’ = y                   y x y x 10 01 ' ' y P’(x,y)P(-x,y) x
• 3.
  jadi       10 01 adalah matrikspencerminan terhadap sumbu y. Contoh : 1. Tentukan bayangan kurva y = x2 – x oleh pencerminan terhadap sumbu Y. Jawab: oleh pencerminan terhadap sumbu Y maka: x’ = -x → x = -x’ y’ = y → y = y’ x = -x’ dan y = y’ disubstitusi ke y = x2 – x diperoleh: y’ = (-x’)2 – (-x’) y’ = (x’)2 + x’ Jadi bayangannya adalah y = x2 + x c. Refleksi terhadap garis x = m Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(2m-x,y). Contoh : 1. Tentukan bayangan kurva y2 = x – 5 oleh pencerminan terhadap garis x = 3. Jawab: oleh pencerminan terhadap garis x = 3 maka: x’ = 2m - x → x = 2.3 - x’ = 6 –x’ y’ = y → y = y’ x = 6 – x’ dan y = y’ disubstitusi ke y2 = x - 5 diperoleh: (y’)2 = (6 – x’) – 5 (y’)2 = 1 – x’ Jadi bayangannya adalah y2 = 1 – x d. Refleksi terhadap garis y = n P(x,y) P’(2m-x,y) x = m x y P(x,y) P’(x,2n-y) y = n x y x = m
• 4.
  Berdasarkan gambar diatas,jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(x, 2n-y). Contoh : 1. Tentukan bayangan kurva x2 + y2 = 4 oleh pencerminan terhadap garis y=-3. Jawab: oleh pencerminan terhadap garis y = - 3 maka: x’ = x y’ = 2n - y pencerminan terhadap garis y = - 3 maka: x’ = x  x = x’ y’ = 2n – y y’ = 2(-3) – y y’ = - 6 – y  y = -y’ – 6 disubstitusi ke x2 + y2 = 4 (x’)2 + (-y’ – 6)2 = 4 (x’)2 +((-y’)2 + 12y’ + 36) – 4 = 0 Jadi bayangannya: x2 + y2 + 12y + 32 = 0 e. Refleksi terhadap garis y = x Berdasarkan gambar diatas, jika bayangan P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(y,x), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : x’ = y y’ = x                   y x y x 01 10 ' ' jadi       01 10 adalah matriks pencerminan terhadap garis y = x. Contoh : 1. Bayangan garis 2x – y + 5 = 0 yang dicerminkan tehadap garis y = x adalah…. Pembahasan: Matriks transformasi refleksi terhadap y = x adalah       01 10 Sehingga x’ = y dan y’ = x disubstitusi ke 2x – y + 5 = 0 P(x,y) P’(y,x) y = x x y
• 5.
  diperoleh: 2y’ –x ’ + 5 = 0 -x’ + 2y’ + 5 = 0 -x’ + 2y’ + 5 = 0 dikali (-1) → x’ – 2y’ – 5 = 0 Jadi bayangannya adalah x – 2y + 5 = 0 f. Refleksi terhadap garis y = -x Berdasarkan gambar diatas, jika bayangan P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(-y,-x), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : x’ = -y y’ = -x                     y x y x 01 10 ' ' Jadi         01 10 adalah matriks pencerminan terhadap garis y = -x. Contoh : 1. Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 - 8y + 7 = 0 yang dicerminkan terhadap garis y = -x adalah…. Jawab : x’ = -y dan y’ = -x atau y = -x’ dan x = -y’ Kemudian disubstitusikan ke x2 + y2 – 8y + 7 = 0 (-y’)2 + (-x)2 – 8(-x) + 7 = 0 (y’)2 + (x’)2 + 8x + 7 = 0 (x’)2 + (y’)2 + 8x + 7 = 0 Jadi bayangannya adalah x2 + y2 + 8x + 7 = 0 Latihan 1 1. Diketahui titik A(2, -1), B(5, 3), dan C(-2, 4). Tentukan bayangan titik A, B, dan C, jika dicerminkan terhadap: a. sumbu x b. sumbu y c. garis x = 2 d. garis y = -3 e. garis y = x f. garis y = -x x y P(x,y) P(-y,-x) y = -x
• 6.
  2. Diketahui persamaangaris 2x + 3y = 6. Tentukan bayangan garis tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu y 3. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y = 16. Tentukan bayangan lingkaran jika dicerminkan terhadap garis y = x. 2. TRANSLASI Translasi adalah pergeseran. Jika translasi T =       b a memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b ditulis dalam bentuk matrik:                   b a y x y x ' ' Contoh : 1. Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T =       3 1 jawab : titik O (0,0)         3 1T O’(0+1, 0+3) = O’(1,3) titik A (3,0)         3 1T A’(3+1, 0+3) = A’(4,3) titik B (3,5)         3 1T B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8) 2. Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 oleh translasi T=       3 1 adalah…. Jawab : Karena translasi T =       3 1 maka x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1) y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2) (1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25 diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25; Jadi bayangannya adalah: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25 Latihan 2 1. Diketahui titik A(-3,2), B(2,-5), dan C(5,4). Tentukan bayangan titik A, B, C jika ditranslasi oleh T =       4 2 2. Diketahui persamaan garis x – 2y + 4 = 0. Tentukan bayangan garis tersebut jika ditranslasi oleh T =       3 2 .
• 7.
  3. ROTASI Rotasi adalahperputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi dan besar sudut rotasi. Rotasi Pusat O(0,0) Titik P(x,y) dirotasi sebesar  berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’) maka: x’ = xcos - ysin y’ = xsin + ycos Jika sudut putar  = ½π (rotasinya dilambangkan dengan R½π) maka x’ = - y dan y’ = x dalam bentuk matriks:                    y x y x 01 10 ' ' Jadi R½π =        01 10 Contoh : 1. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +900, adalah…. Jawab : R+900 berarti: x’ = -y → y = -x’ y’ = x → x = y’ disubstitusi ke: x + y = 6 y’ + (-x’) = 6 y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6 Jadi bayangannya: x – y = -6 2. Persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran -900 , adalah … Jawab : R-900 berarti: x’ = xcos(-90) – ysin(-90) y’ = xsin(-90) + ycos(-90) x’ = 0 – y(-1) = y y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau dengan matriks: R-900 berarti: x’ = y → y = x’ y’ = -x → x = -y’ disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0 2(-y’) - x’ + 6 = 0 -2y’ – x’ + 6 = 0 x’ + 2y’ – 6 = 0 Jadi bayangannya: x + 2y – 6 = 0                    y x y x 01 10 ' '
• 8.
  Jika sudut putar = π (rotasinya dilambangkan dengan H) maka x’ = - x dan y’ = -y dalam bentuk matriks: Jadi H = Contoh : 1. Persamaan bayangan parabola y = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +180O, adalah .............. Jawab : H berarti: x’ = -x → x = -x’ y’ = -y → y = -y’ disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1 -y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1 -y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1) Jadi bayangannya: y = -3x2 – 6x - 1 Latihan 3 1. Tentukan bayangan persamaan garis 2x + 3y = 6 oleh rotasi pada pusat O sebesar +900 2. Tentukan bayangan persamaan lingkaran (x-2)2 + (y-3)2 = 4 oleh rotasi pada O sebesar +1800 4. DILATASI Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala k didapat bayangan P’(x’,y’) maka x’ = kx dan y’ = ky dan dilambangkan dengan [O,k]. Contoh : Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’ Jawab : garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2) karena dilatasi [O,-2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan B’(kx,ky) → B’(0,-4) Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar:                     y x y x 10 01 ' ' 10 01        
• 9.
  Sehingga luasnya =½ x OA’ x OB’ = ½ x 6 x 4 = 12 Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k bayangannya adalah x’ = k(x – a) + a dan y’ = k(y – b) + b dilambangkan dengan [P(a,b) ,k] Contoh : Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A’. Jika koordinat titik P(1,-2), maka koordinat titik A’ adalah…. Jawab : [ P(a,b),k] A(x,y) A’(x’,y’) x’ = k(x – a) + a y’ = k(y – b) + b [ P(1,-2), ] A(-5,13) A’(x’ y’) x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3 y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8 Jadi koordinat titik A’(-3,8) Latihan 4 1. Diketahui titik A(2, 3), B(-4, 5), dan C(-3,-5). Tentukan bayangan titik A, B dan C jika didilatasi [O, -2] 2. Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan pusat (2,3) dan fakator skala -1/2 5. KOMPOSISI TRANSFORMASI Bila T1 adalah suatu transformasi dari titik A(x,y) ke titik A’(x’,y’) dilanjutkan dengan transformasi T2 adalah transformasi dari titik A’(x’,y’) ke titik A”(x”,y”) maka dua transformasi berturut-turut tsb disebut Komposisi Transformasi dan ditulis T2 o T1. Komposisi Transformasi dengan matriks -6 4 A B x y
• 10.
  Bila T1 dinyatakandengan matriks       dc ba dan T2 dengan matriks       sr qp maka dua transformasi berturut-turut mula-mula T1 dilanjutkan dengan T2 ditulis T2 o T1 =       sr qp       dc ba Contoh : 1. Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah… Jawab : M1= Matrik dilatasi skala 3 adalah       30 03 M2 = Matrik refleksi terhadap y = x adalah       01 10 Matriks yang bersesuaian dengan M1 dilanjutkan M2 ditulis M2 o M1 =             30 03 01 10 =       03 30 Jadi matriknya adalah       03 30 2. Bayangan segitiga ABC, dengan A (2,1), B (6,1), C (5,3) karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi ),( o adalah… Jawab : Refleksi sb Y: (x,y) sb Y (-x, y) Rotasi  : (x,y) ,o (-x,-y) A(2,1) sb Y A’(-2,1) ,o A”(2,-1) B(6,1) sb Y B’(-6,1) ,o B”(6,-1) C(5,3) sb Y C’(-5,3) ,o C”(5,-3) Latihan 5 1. Tentukan Luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1), S(-1,-1) karena dilatasi [O,3] dilanjutkan rotasi pusat 0 bersudut ½π adalah… 2. T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matrik         21 11 dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matrik       12 23 Bayangan titik A(m,n) oleh transformasi T1 dilanjutkan T2 adalah A’(-9,7). Tentukan nilai m-2n
• 11.
  LATIHAN SOAL 1. Tentukanbayangan garis 3x + 2y – 3 = 0 ditranslasikan oleh T =       2 1 2. Tentukan bayangan lingkaran x2 + y2 – 4x – 6 = 0 ditranslasikan oleh T2 =        3 2 dilanjutkan oleh T1 =         1 1 3. Diketahui titik A(1,2), B(3,4), dan C(5,6). Tentukan bayangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadp sumbu y 4. Tentukan bayangan lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y – 3 = 0 jika dicerminkan terhadap garis y = x 5. Tentukan bayangan titik P(3, -4) dirotasi 900 berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putar O(0,0) 6. Tentukan bayangan garis x – y + 3 = 0 jika dirotasi +600 dengan pusat putar O(0,0) 7. Tentukan bayangan titik R(-2,4) didilatasikan oleh ] 4 1 ,[O 8. Tentukan bayangan garis 3x – 5y + 15 = 0 yang didilatasikan oleh [O,5]. 9. Tentukan persamaan bayangan dari garis 3x – y + 2 = 0 oleh refleksi trhadap garis y=x dilanjutkan dengan rotasi 900 terhadap pusat putar O. 10. Titik P(x,y) direfleksikan terhadap y = x menghasilkan bayangan titik Q. Kemudian diputar 900 dengan titik pusat O, sehingga bayangan akhirnya adalah R(1,-2). Tentukan koordinat titik P dan Q.