Transformasi rotasi

TRANSFORMASI
ROTASI
1. Charottama Oshmar (03)
2. Dzahniya Syafiqoh(06)
3. Hana Saffanah (10)
4. Khairani Azlina (18)
5. M. Arkhan Prada. N (23)
6. M. Kemal Fauzan (24)
7. Nadhilah Putri. G (25)
8. Naufal Farhan (27)
9. Reyhan Anjani Putri (31)
XI-MIA 4

Transformasi yang
memindahkan titik pada bidang
dengan perputaran yang
ditentukan oleh pusat
rotasi, besar sudut
rotasi dan arah sudut
rotasi
3
12
3
6
9
Pengertian Rotasi

ARAH ROTASI
Berlawanan dengan arah jarum jam => POSITIF (+)
Searah dengan jarum jam => NEGATIF (-)
TITIK PUSAT ROTASI
BESAR SUDUT
ROTASI

A B
C D
Q
A B
C D
Q x
y
1
2
3
-3
-2
-1
0-1-2-3-4 4-321

Persamaan Transformasi Rotasi
pada Bidang
Misalkan titik P(x, y) terletak pada
bidang Cartesius.
Titik P (x,y) dirotasi sehingga diperoleh
bayangan P’ (x’ , y’).

Transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0)


Y
P(x, y)
P’(x’, y’)
0 AB
C
D
r
r
β
Di dalam segitiga OAP diperoleh :
OA=OP cos β → x=r cos β
dan
AP=OP sin β → y=r sin β
Di dalam segitiga OBP’ diperoleh
:
OB = OP’ cos (β+ θ )
X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ
X’=x cos θ - y sin θ
BP’ = OP’ sin (β+ θ )
Y’=r sin (β+ θ )
Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ
Y’=y cos θ + x sin θ
x
Perhatikan gambar
berikut !

A(x,y)
A1(x cos –y sin , x sin  + y cos)
M =
cos -sin
sin cos






Matriks Transformasi
Persamaan Transformasi :
=
x1
y1
x
y
cos -sin
sin cos 




Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k)

 
  ),,( khM
Y
P(x, y)
P’(x’, y’)
0

M(h,k)
Jika titik P(x,y) kita pandang
terhadap titik pusat M(h,k) maka
posisi titik P terhadap titik M dapat
dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi
bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga
dengan demikia dapat dituliskan
bayang titik P tersebut didalam
koordinat kartesiusnya sbb:
P(x,y) P’(x’,y’)
dimana :
X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ
Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θ
Secara matriks dapat dituliskan sbb :



















 






k
h
ky
hx
y
x


cossin
sincos
'
'
X

A(x,y)
A1 [a+(x-a) cos –(y-b) sin , b+(x-a) sin  + (y-b) cos]

Rotasi dengan pusat P(a,b)
P(a,b) Persamaan Transformasi

+
cos -sin
sin cos
 a
b
x-a
y-b
=
x1
y1

SOAL
Tentukan matriks
rotasi yang
bersesuaian dengan
[0,
𝜋
2
]

Jawab: rotasi [0,
𝜋
2
] berarti 𝜃 =
𝜋
2
. Matriks
rotasinya adalah:
=
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
=
cos
𝜋
2
− sin
𝜋
2
sin
𝜋
2
cos
𝜋
2
=
0 −1
1 0
PEMBAHASAN

SOAL
• Titik 𝑃 (𝑎, 𝑏)di rotasi dengan titik pusat di O
(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik
𝑃′
𝑎′
, 𝑏′
. Tentukan koordinat titik bayangan
𝑃′
(𝑎′
, 𝑏′
) jika jauh rotasinya:
a) 90°
b) −180°

PEMBAHASAN
a) Bayangan dari 𝑃 (𝑎, 𝑏) oleh rotasi [𝑂 , +90°]
= 𝑃 𝑎 , 𝑏
𝑂 ,+90°
𝑃′
𝑎 cos 90° − 𝑏 sin 90° , 𝑎 sin 90° + 𝑏 cos 90°
= 𝑷′(−𝒃 , 𝒂)
Jadi, bayangan dari 𝑃 𝑎 , 𝑏 oleh rotasi 𝑂 , +90° adalah 𝑃′(−𝑏 , 𝑎)
b) Bayangan dari 𝑃 𝑎 , 𝑏 oleh rotasi [𝑂 , −180°]
= 𝑃 𝑎 , 𝑏
𝑂 ,−180°
𝑃′( 𝑎 cos −180° − 𝑏 sin −180° , 𝑎 sin −180°

Titik P (-1, 4) diputar 45°
searah jarum jam dengan
titik pusat di O. Tentukan
koordinat bayangan dari titik
P oleh rotasi itu
Soal

PEMBAHASAN
Diketahui:
∙ α = 45°
∙ (x,y) = (-1, 4)
∙ P (0,0)
Rumus:
∙ Terhadap Pusat (0,0)
=

Soal
Tentukan bayangan atau
peta dar titik P(-2, 5) oleh
rotasi dengan pusat di O(0,
0) sejauh
𝜋
2
radian.

PEMBAHASAN
• Persamaan transformasi rotasi dengan pusat
O(0, 0) :
X’ = x cosα – y sinα
Y’ = x sinα + y cosα
𝑥′
𝑦′
=
𝑐𝑜𝑠𝛼 −𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑥
𝑦
Jawab :
X’ = -2cos
𝜋
2
− 5sin
𝜋
2
= -2 (0) – 5 (1)
= -5
Y’ = -2sin
𝜋
2
+ 5cos
𝜋
2
= -2 (1) + 5 (0)
= -2
P’(x’, y’) = (-5, -2)
Jawab :
𝑥′
𝑦′
=
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
−𝑠𝑖𝑛
𝜋
2
𝑠𝑖𝑛
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
−2
5
=
0 −1
1 0
−2
5
=
−2 0 + 5(−1)
−2 1 + 5(0)
=
−5
−2
P’(x’, y’) = (-5, -2)

SOAL
Tentukan bayangan titik-titik sudut
segitiga ABC dengan koordinat titik-
titik sudut A(-2, 1), B(-6, 2), dan C(-3,
4) oleh rotasi [O,
𝜋
2
]

PEMBAHASAN
Karena rotasi berpusat O(0, 0) dan sejauh
𝜋
2
(90o), maka
kita dapat menggunakan rumush sebagai berikut:
( )( ) = ( ) Sehingga diperoleh:
Maka bayangan titik-titik segitiga adalah A(-1, -2), B(-2, -6), dan C(-4, -3)
𝑥
𝑦
0 −1
1 0
𝑥 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑦 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
Titik Sudut Rumus Titik Bayangan
A(-2, 1) ( )( )=( ) A(-1, -2)
B(-6, 2) ( )( )=( ) B(-2, -6)
C(-3, 4) ( )( )=( ) C(-4, -3)
0 −1
1 0
0 −1
1 0
0 −1
1 0
−2
1
−6
2
−3
4
−1
−2
−2
−6
−4
−3

SOAL
Diberikan persamaan lingkaran
𝑥2
+𝑦2
-4x+6y-12=0
Cari bayangan persamaan tersebut oleh
transformasi rotasi terhadap O(0,0) sebesar
𝜋
2
radian!

PEMBAHASAN
• A (x,y) A’ (-y,x)
• A (2,-3) A’ (3,2)
• Sehingga persamaan :
𝑥2
+𝑦2
-6x-4y-12=0
90°

Tentukan bayangan bangun ABC dengan
koordinat titik A(2,3), B(6,3) dan C(5,6)
diputar dengan sudut 90 terhadap titik pusat
O(0,0).

PEMBAHASAN
x’ = 2 cos (-90) - 3sin (-90)
x’ = 2(0) – 3 (-1) = 3
y’ = 2 sin (-90) + 3 cos (-90)
y’ = 2 (-1) + 3 (0) = -2
1 2 3
1
2
3
4
4 5
5
6
6
7 8 91
2
3
4
5
6
x’ = 6 cos(-90) – 3 sin(-90)
x’ = 6 (0) – 3(-1) = 3
y’ = 6 sin(-90) + 3 cos(-90)
y’ = 6 (-1) + 3 (0) = -6
C(5,6)
A(2,3) B(6,3)
C(5,6)
A’(3,-2)
B’(3,-6)
C’(6,-5)
A(2,3) A’(x’,y’) = A’(3,-2)
B’(x’,y’) = B’(3,-6)B(6,3)
x’ = 5 cos (-90) – 6 sin(-90)
x’ = 5 (0) – 6 (-1) = 6
y’ = 5 sin (-90) + 6 cos (-90)
y’ = 5 (-1) + 6 (0) = -5
C’(x’,y’) = C’(6,-5)

Transformasi rotasi

More Related Content

What's hot

Similar to Transformasi rotasi

Recently uploaded

Transformasi rotasi