Downloaded 678 times
Uploaded byNASuprawoto Sunardjo
Trigonometri
Dokumen ini adalah bahan ajar untuk diklat guru pengembang matematika SMK tahun 2009 yang berfokus pada topik trigonometri. Diharapkan bahan ini dapat meningkatkan mutu pengelolaan pembelajaran matematika dan digunakan sebagai rujukan oleh peserta diklat. Berbagai konsep, rumus, dan aplikasi trigonometri untuk pendidikan disajikan dalam dokumen ini.
More Related Content
Trigonometri
- 2. KATA PEKATA PEKATAPEKATA PENNNNGANTARGANTARGANTARGANTAR Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-Nya, bahan ajar ini dapat diselesaikan dengan baik. Bahan ajar ini digunakan pada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK Jenjang Dasar Tahun 2009, pola 120 jam yang diselenggarakan oleh PPPPTK Matematika Yogyakarta. Bahan ajar ini diharapkan dapat menjadi salah satu rujukan dalam usaha peningkatan mutu pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah serta dapat dipelajari secara mandiri oleh peserta diklat di dalam maupun di luar kegiatan diklat. Diharapkan dengan mempelajari bahan ajar ini, peserta diklat dapat menambah wawasan dan pengetahuan sehingga dapat mengadakan refleksi sejauh mana pemahaman terhadap mata diklat yang sedang/telah diikuti. Kami mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah berpartisipasi dalam proses penyusunan bahan ajar ini. Kepada para pemerhati dan pelaku pendidikan, kami berharap bahan ajar ini dapat dimanfaatkan dengan baik guna peningkatan mutu pembelajaran matematika di negeri ini. Demi perbaikan bahan ajar ini, kami mengharapkan adanya saran untuk penyempurnaan bahan ajar ini di masa yang akan datang. Saran dapat disampaikan kepada kami di PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6, Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos 31 YK-BS Yogyakarta 55281. Telepon (0274) 881717, 885725, Fax. (0274) 885752. email: [email protected] Sleman, 11 Mei 2009 Kepala, Kasman Sulyono NIP. 130352806
- 3. ii Daftar Isi Halaman Daftar Isi………………………………………………… ii Peta Kompetensi dan Bahan Ajar ......................................................… iii Skenario Pembelajaran ......................................................................… iii Bab I Pendahuluan A. Latar Belakang ………………………………………………… 1 B. Tujuan ………………………………………………… 2 C. Ruang Lingkup ………………………………………………… 2 Bab II Trigonometri A. Perbandingan Trigonometri suatu sudut pada Segitiga Siku-siku 3 B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa 5 C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran 6 D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi …… 7 E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub ……… 11 F. Aturan Sinus dan Kosinus ……………………………….……… 12 G. Identitas Trigonometri …………………………………….….. 14 H. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana …….…… 14 I. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut … .. 16 J. Rumus Trigonometri Sudut rangkap ……………………….... 19 K. Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan 20 L. Penerapan Rumus dan Persamaan Trigonometri …….…… 20 M. Latihan …………………………………………..…….. 21 Bab III Penutup ………………………………………………… 22 A. Kesimpulan ………………………………………………………… 22 B. Saran .................................................................................. 25 Daftar Pustaka ………………………………………………… 26
- 4. iii PETA KOMPETENSI DANBAHAN AJAR No Kompetensi / Sub kompetensi Indikator Materi Pembelajaran 1. Kompetensi : Mampu memfasilitasi siswa dalam memecahkan masalah berkaitan dengan penerapan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri Subkompetensi: Mengembangkan keterampilan siswa dalam: • menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut. • mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub • menerapkan aturan sinus dan kosinus • menentukan luas suatu segitiga • menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut • menyelesaikan persamaan trigonometri • Menentukan nilai dan memberikan contoh mengenai perbandingan trigonometri suatu sudut • Mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub dan sebaliknya • Menerapkan dari kehidupan nyata sehari-hari dan memberikan contoh aturan sinus dan cosinus • Menentukan dan memberikan contoh luas segitiga • Menerapkan dan memberikan contoh Rumus fungsi trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut • Menyelesaikan dan memberikan contoh Persamaan trigonometri • Perbandingan Trigonometri • Koordinat kartesius dan kutub • Aturan Sinus dan Cosinus • Luas segitiga • Jumlah dan selisih dua sudut • Persamaan Trigonometri SKENARIO PEMBELAJARAN 1. Pada awal pertemuan di lakukan kegiatan identifikasi permasalahan pembelajaran pada materi Trigonometri yang dihadapi oleh guru selama di kelas. 2. Dari identifikasi permasalahan pembelajaran tersebut dijelaskan dengan ceramah, tanya jawab dan curah pendapat sehingga permasalahan Trigonometri dapat dipecahkan 3. Peserta bekerja dalam kelompok program keahlian yang terdiri dari 5-6 orang dan mendiskusikan dan menganalisis materi dan latihan pada modul serta memberikan contoh penerapan sesuai program keahliannya.
- 5. 1 Bab I Pendahuluan A. LatarBelakang Seseorang yang ingin mengukur tinggi sebuah pohon, menara, gedung bertingkat ataupun sesuatu yang memiliki ketinggian tertentu maka tidaklah mungkin secara fisik akan mengukur dari bawah ke atas (puncak) obyeknya dengan menggunakan meteran. Salah satu cabang matematika yang dapat dipakai dalam membantu pengukuran ini adalah trigonometri. Gambar 1.1 adalah gambar seorang pengamat yang ingin mengukur tinggi tiang bendera dengan menggunakan klinometer (Gb. 1.2) Dalam pengamatan akan didapat sudut dan jarak pengamat dengan tiang, kemudian dengan bantuan pengetahuan trigonometri maka akan dapat dihitung tinggi tiang tersebut. Kenyataan dalam kehidupan sehari−hari di berbagai bidang kehidupan banyak membutuhkan pengetahuan tentang trigonometri, antara lain bidang keteknikan, bidang IPA, bidang penerbangan, bidang pelayaran dan sebagainya. Oleh karena itu topik tentang trigonometri perlu diajarkan kepada siswa oleh guru matematika. α Gb. 1.1. mengukur ketinggian Gb. 1.2. Klinometer
- 6. 2 B. Tujuan Bahan ajartentang pembelajaran trigonometri ini disusun agar para tenaga kependidikan/guru: 1. Lebih menguasai materi pembelajaran trigonometri untuk siswa SMK 2. Lebih memiliki kemampuan mengembangkan teknik, model dan strategi pembelajaran trigonometri C. Ruang Lingkup Bahan ajar ini membahas topik−topik sebagai berikut: 1. Pengertian perbandingan trigonometri 2. Rumus perbandingan trigonometri sudut yang berelasi 3. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri 4. Rumus−rumus trigonometri
- 7. 3 at-Tusi Gb. 2.1. matematikawan BabII Trigonometri Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201- 1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar). Di Arab dan kebanyakan daerah muslim, trigonometri berkembang dengan pesat tidak saja karena alasan astronomi tetapi juga untuk kebutuhan ibadah. Seperti diketahui, orang muslim jika melakukan ibadah sholat, harus menghadap ke arah Qiblat, suatu bangunan di kota Mekkah. Para matematikawan muslim lalu membuat tabel trigonometri untuk kebutuhan tersebut. Konsep trigonometri pada pembahasan ini diawali dengan perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku−siku. A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku Gambar di samping adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c. Terhadap sudut α: Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut α Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut α Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa A B C α ca b Gb. 2.2. perbandingan trigonometri
- 8. 4 A B C α ca b Gb. 2.3. perbandingantrigonometri Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut α sebagai berikut: 1. c a ==α hipotenusapanjang Asudutdepandisiku-sikusisipanjang sin 2. c b ==α hipotenusapanjang Asudut(berimpit)dekatdisiku-sikusisipanjang osc 3. b a ==α Asudutdekatdisiku-sikusisipanjang Asudutdepandisiku-sikusisipanjang tan 4. a c ==α Asudutdepandisiku-sikusisipanjang hipotenusapanjang csc 5. b c ==α Asudutdekatdisiku-sikusisipanjang hipotenusapanjang sec 6. a c ==α Asudutdepandisiku-sikusisipanjang Asudutdekatdisiku-sikusisipanjang cot Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus: α α =α cos sin tan dan α α =α sin cos cot α =α cos 1 sec dan α =α sin 1 csc Contoh: Pada gambar di samping segitiga siku−siku ABC dengan panjang a = 24 dan c = 25. Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk α. Penyelesaian: Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras 22 2425b −= 576625 −= 749 == 25 24 sin ==α c a 25 7 osc ==α c b 7 24 tan ==α b a 24 25 csc ==α a c 7 25 sec ==α b c 24 7 cot ==α a c
- 9. 5 B. Nilai PerbandinganTrigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0°, 30°, 45°,60°, dan 90°. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30°, 45°,dan 60°. Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini. Dari gambar 2.4.a dapat ditentukan : 2 2 1 2 1 45sin ==° 2 1 2 45csc ==° 2 2 1 2 1 45cos ==° 2 1 2 45sec ==° 1 1 1 45tan ==° 1 1 1 45cot ==° Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan 2 1 03sin =° 3 2 1 2 3 06sin ==° 3 2 1 2 3 03cos ==° 2 1 06cos =° 3 3 1 3 1 30tan ==° 3 1 3 60tan ==° 2 1 2 30csc ==° 3 3 2 3 2 60csc ==° 3 3 2 3 2 30sec ==° 2 1 2 60sec ==° 3 1 3 30cot ==° 3 3 1 3 1 60cot ==° Gb. 2.4.b. sudut istimewa 3 60° 30° 1 2 Gb. 2.4.a. sudut istimewa 2 45° 1 1
- 10. 6 Tabel nilai perbandingantrigonometri untuk sudut-sudut istimewa. α 0° 30° 45° 60° 90° sin α 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 cos α 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 tan α 0 3 3 1 1 3 tak terdefinisi cot α tak terdefinisi 3 1 3 3 1 0 contoh: 1. 2 21 2 2 1 2 1 45cos30sin + =+=°+° 2. 3 3 1 2 2 1 32 2 1 60cot45cos60tan45sin ⋅+⋅=°°+°° 6 3 2 6 6 4 6 6 1 6 2 1 ==+= C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga ∠XOP dapat bernilai 0° sampai dengan 90°. Perlu diketahui bahwa ry =+= 22 xOP dan r > 0 Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut: 1. r y == OPpanjang Pordinat αsin 4. y r == Pordinat OPpanjang αcsc 2. r x == OPpanjang Pabsis αcos 5. x r == Pabsis OPpanjang αsec 3. x y == Pabsis Pordinat αtan 6. y x == Pordinat Pabsis αcot y x X Y P(x,y) r α1 Gb. 2.5 O
- 11. 7 Dengan memutar garisOP maka ∠ XOP = α dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini. Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran: KuadranPerbandingan Trigonometri I II III IV sin + + - - cos + - - + tan + - + - csc + + - - sec + - - + cot + - + - D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (90° ± α), (180° ± α), (360° ± α), dan -α°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut α° dengan (90° - α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α° Gb. 2.6. titik di berbagai kuadran y x X Y P(x,y) r α1 O y x X YP(-x,y) r α2 O y x X Y r P(-x,-y) α3 O y x X Y r P(x,-y) α4 O
- 12. 8 y x X Y P(x,y) r α (180°-α) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O Gb. 2.8. sudutyang berelasi dengan (180° - α). Contoh: penyiku sudut 50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70° 1. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (90° - α) Dari gambar 2.7 diketahui Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh: a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 90° - α b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh: a. ( ) α===α−° cos90sin 1 1 r x r y b. ( ) α===α−° sin90cos 1 1 r y r x c. ( ) α===α−° cot90tan 1 1 y x x y Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut α dengan (90° - α) dapat dituliskan sebagai berikut: 2. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α) Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° - α b. x1 = −x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan: a. ( ) α=α−° cos90sin d. ( ) α=α−° sec90csc b. ( ) α=α−° sin90cos e. ( ) α=α−° eccos90sec c. ( ) α=α−° cot90tan f. ( ) α=α−° tan90cot y x X Y P(x,y) r α (90-α) P1(x1,y1) r1 x1 y1 y = x Gb. 2.7. sudut yang berelasi O
- 13. 9 a. ( )α===α−° sin180sin 1 1 r y r y b. ( ) α−= − ==α−° cos180cos 1 1 r x r x c. ( ) α−= − ==α−° tan180tan 1 1 x y x y Dari hubungan di atas diperoleh rumus: 3. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° + α) Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = −x, sehingga a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° + α b. x1 = −x, y1 = −y dan r1 = r maka diperoleh hubungan: a. ( ) α−= − ==α+° sin180sin 1 1 r y r y b. ( ) α−= − ==α+° cos180cos 1 1 r x r x c. ( ) α== − − ==α+° tan180tan 1 1 x y x y x y Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. ( ) α=α−° sin180sin d. ( ) α=α−° csc180csc b. ( ) α−=α−° cos180cos e. ( ) α−=α−° sec180sec c. ( ) α−=α−° tan180tan f. ( ) α−=α−° cot180cot a. ( ) α−=α+° sin180sin d. ( ) α−=α+° csc180csc b. ( ) α−=α+° cos180cos e. ( ) α−=α+° sec180sec c. ( ) α=α+° tan180tan f. ( ) α=α+° cot180cot y x X Y P(x,y) r α (180°+α) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O Gb. 2.9. sudut yang berelasi
- 14. 10 4. Perbandingan trigonometriuntuk sudut α dengan (- α) Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = - α b. x1 = x, y1 = −y dan r1 = r maka diperoleh hubungan a. ( ) α−= − ==α− sinsin 1 1 r y r y b. ( ) α===α− coscos 1 1 r x r x c. ( ) α−= − ==α− tantan 1 1 x y x y Dari hubungan di atas diperoleh rumus: Untuk relasi α dengan (- α) tersebut identik dengan relasi α dengan 360° − α, misalnya sin (360° − α) = − sin α. Dengan memperhatikan nilai perbandingan sudut yang berelasi, dapat disimpulkan bahwa nilai perbandingan sudut, nilai positif atau negatifnya terletak pada kuadran di mana sudut itu berada . Untuk menghafalkan dapat dibuat jembatan keledai, misalnya "semanis Sinta tanpa kosmetika", yang artinya nilai perbandingan trigonometri positf untuk sudut di: a. ( ) α−=α− sinsin d. ( ) α−=α− csccsc b. ( ) α=α− coscos e. ( ) α=α− secsec c. ( ) α−=α− tantan f. ( ) α−=α− cotcot y x X Y P(x,y) r α (360°-α1) P1(x1,y1) r1 x1 y1 O -α Gb. 2.10. sudut yang berelasi O X Y Kuadran IKuadran II semuasinus kosinustangens Kuadran III Kuadran IV
- 15. 11 Kuadran I :semua (sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan dan kosekan) Kuadran II : sinus (bersama kosekan) Kuadran III : tangen (bersama kotangen) Kuadran IV : kosinus (bersama sekan) E. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub. Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, α) seperti pada gambar 2.12. Jika koordinat kutub titik P(r, α) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan: r x =αcos → α= cosrx r y =αsin → α= sinry jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, α) dapat dicari dengan hubungan: 22 yxr += x y =αtan → α = arc tan x y , arc tan adalah invers dari tan Contoh: 1. Ubahlah menjadi koordinat kutub a. B(5,5) b. )34,4(C − y x X Y P(x,y) O Gb. 2.11. koordinat kartesius • y x X Y P(r, α) r α O Gb. 2.12. koordinat kutub •
- 16. 12 2. Ubahlah P(12,60°) menjadi koordinat kartesius Penyelesaian: 1. a. B (5,5) b. )34,4(C − x = 5, y = 5 (kuadran I) x = −4, y = 34 (kuadran II) 22 55 +=r ( ) ( )22 344r +−= 252525 =+= 8644816 ==+= 1 5 5 tan ==α → α = 45° 3 4 34 tan −= − =α → α = 120° jadi B )45,25( ° jadi C (8, 120°) 2. P (12,60°) diubah ke koordinat kartesius x = r cos α = 12 cos 60°=12. 2 1 = 6 y = r sin α = 12 sin 60° = 12 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 = 36 Jadi koordinat kartesiusnya P( )36,6 F. Aturan Sinus dan Kosinus Dalam setiap ∆ ABC dengan panjang sisi-sisi BC.CA, dan AB berturut- turut a, b, dan c satuan dan besar sudut A, B, dan C seperti pada gambar maka dapat ditunjukkan aturan sinus sebagai berikut: Dalam ∆ ABD, sin A = c BD (i)........AsincBD =→ Dalam ∆ CBD, sin C = a BD (ii)......CsinaBD =→ Dari (i) dan (ii) maka : )( Csin c Asin. a iii= Dalam ∆CAE, sin C = ).....(sin. ivCbAE b AE =→ A E C B D a b c
- 17. 13 Dalam ∆BAE, sinB = (v)B......sin.c c AE =→ AE Dari (iv) dan (v) maka (vi) Csin c Bsin b =→ Jadi dari (iii) dan (vi) kita dapatkan hubungan : C c sinsinB b sinA a == Hubungan di atas kita kenal dengan nama Aturan Sinus. Sekarang buktikan Aturan (rumus) kosinus berikut: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = c2 + a2 – 2bc cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C atau: cos A = bc2 acb 222 −+ cos B = ca2 bac 222 −+ cos C = ab2 cba 222 −+ Dengan pemahaman tentang aturan sinus, aturan kosinus maka dapat dikonstruksikan tentang rumus luas segitiga. Pada setiap ∆ABC berlaku: Luas ∆ABC = 2 1 bc sin A = 2 1 ac sin B = 2 1 ab sin C Contoh : Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian?
- 18. 14 G. Identitas Trigonometri Identitasadalah kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap penggantian nilai variabelnya dengan konstanta anggota domain. Dari gambar di samping diperoleh r x =αcos , r y =αsin dan 22 yxr += . Sehingga: 2 2 2 2 22 cossin r x r y +=α+α 1 2 2 2 22 == + = r r r yx Dengan demikian cos2 α + sin2 α = 1 adalah sebuah identitas karena persamaan tersebut bernilai benar untuk setiap nilai peubah α. H. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar. 160o 220o 60o 20 32 O A B y x X Y P(x, y) r α O Gb. 2.13. rumus identitas • Jawab: Perhatikan gambar, maka AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o = 400 + 1024 – 640 = 784 AB = 28 Jarak antara kedua kapal 28 mil
- 19. 15 1. Menyelesaikan persamaansin x = sin α Dengan mengingat rumus sin (180° - α) = sin α dan sin (α + k. 360°) = sin α, maka diperoleh: 2. Menyelesaikan persamaan cos x = cos α Dengan mengingat rumus ( ) α=α− coscos dan cos (α + k. 360°) = cos α, diperoleh 3. Menyelesaikan persamaan tan x = tan α Dengan mengingat rumus tan (180° + α) = tan α dan tan (α + k. 360°) = tan α, maka diperoleh: contoh: Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0° ≤ x ≤ 360°. a) 2 1 sin =x c) 3tan −=x b) 3 2 1 cos =x Penyelesaian: a) 2 1 sin =x → sin x = sin 30° x = α + k. 360° untuk k = 0 → x = 30° x = (180° − α) + k.360° untuk k = 0 → x = 180° − 30° = 150° b) 3 2 1 cos =x → cos x = cos 30° Jika sin x = sin α maka x = α + k. 360° atau x = (180° − α) + k. 360° , k ∈ B Jika cos x = cos α maka x = α + k. 360° atau x = − α + k. 360°, k ∈ B Jika tan x = tan α maka x = α + k. 180° , k ∈ B
- 20. 16 x = α+ k. 360° untuk k = 0 → x = 30° x = − α + k. 360° untuk k = 1 → x = − 30° + 360° = 330° c) 3tan −=x → tan x = tan 120° x = α + k. 180° untuk k = 0 → x = 120° untuk k = 1 → x = 120° + 180° = 300° Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari. ∠ AOB = 1 rad Hubungan radian dengan derajat 360° = r rπ2 rad = 2π rad 180° = π rad, pendekatan 1 rad = 57,3°. Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula menggunakan satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x = sin A maka penyelesaiannya adalah: x = A + k. 2π atau x = (π− A) + k. 2π , k ∈ B di mana x dan A masing-masing satuannya radian. I. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus cos (α + β) dan cos (α − β) Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus cos (α + β). ( ) AC AD cos =β+α → ( )β+α= cosACAD α β α A D E B C G F Gb. 2.14 rr O A B
- 21. 17 Pada segitiga siku−sikuCGF CF GF sin =α → α= sinCFGF …………..(1) Pada segitiga siku−siku AFC, AC CF sin =β → β= sinACCF …………..(2) AC AF βcos = → β= cosACAF …………..(3) Pada segitiga siku−siku AEF, AF AE cos =α → α= cosAFAE …………..(4) Dari (1) dan (2) diperoleh GF = AC sin α sin β Karena DE = GF maka DE = AC sin α sin β Dari (3) dan (4) diperoleh AE = AC cos α cos β Sehingga AD = AE − DE AC cos (α + β) = AC cos α cos β − AC sin α sin β Jadi Untuk menentukan cos (α − β) gantilah β dengan −β lalu disubstitusikan ke rumus cos (α + β). cos (α − β) = cos (α + (−β)) = cos α cos (−β) − sin α sin (−β) = cos α cos β − sin α (−sin β) = cos α cos β + sin α sin β Jadi 2. Rumus sin (α + β) dan sin (α − β) cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β
- 22. 18 Untuk menentukan rumussin (α + β) dan sin (α − β) perlu diingat rumus sebelumnya, yaitu: sin (90° − α) = cos α dan cos (90° − α) = sin α sin (α + β) = cos (90° − (α + β)) = cos ((90° − α) − β) = cos (90° − α) cos β + sin (90° − α) sin β = sin α cos β + cos α sin β Jadi Untuk menentukan sin (α − β), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah β dengan −β lalu disubstitusikan ke sin (α + β). sin (α − β) = sin (α + (− β)) = sin α cos (−β) + cos α sin (−β) = sin α cos β + cos α (−sin β) = sin α cos β − cos α sin β Jadi 3. Rumus tan (α + β) dan tan (α − β) Dengan mengingat α α =α cos sin tan , maka βα−βα βα+βα = β+α β+α =β+α sinsincoscos sincoscossin )(cos )(sin )(tan β β ⋅ α α − β β + α α = βα βα−βα βα βα+βα =β+α cos sin cos sin 1 cos sin cos sin coscos sinsincoscos coscos sincoscossin )(tan βα− β+α = tantan1 tantan Jadi sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β βα− β+α =β+α tantan1 tantan )(tan
- 23. 19 Untuk menentukan tan(α − β), gantilah β dengan −β lalu disubstitusikan ke tan (α + β). tan (α − β) = tan (α + (− β)) )(-tantan1 )(-tantan βα− β+α = )tan(tan1 )(tantan β−α− β−α = βα+ β−α = tantan1 tantan Jadi J. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Dari rumus−rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap. 1. sin 2α = sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sinα cosα Jadi 2. cos 2α = cos (α + α) = cos α cos α − sin α sin α = cos2 α − sin2 α Jadi Rumus−rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2α dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 α + sin2 α = 1. cos 2α = cos2 α − sin2 α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − (1 − cos2 α) = (1 − sin2 α) − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α Sehingga 3. α− α = αα− α+α =α+α=α 2 tan1 tan2 tantan1 tantan )(tan2tan sin 2α = 2 sinα cosα cos 2α = cos2 α − sin2 α 1) cos 2α = cos2 α − sin2 α 2) cos 2α = 2cos2 α − 1 3) cos 2α = 1 − 2 sin2 α βα+ β−α =β−α tantan1 tantan )(tan
- 24. 20 Jadi K. Mengubah RumusPerkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan 1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β Jadi cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β Jadi 2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β Jadi sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β Jadi L. Penerapan Rumus dan Persamaan Trigonometri Contoh soal aplikasi dalam keteknikan: 1. Dua buah tegangan pada arus bolak-balik mempunyai harga: V1 = 200 sin 120° dan V2 = 200 sin 210° Berapa Vtotal dari V1 dan V2 ? α α =α 2 tan1 tan2 2tan + cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β − cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β + sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β − sin (α + β) − sin (α − β) = 2 cos α sin β
- 25. 21 Penyelesaian: Vtotal = V1+ V2 = 200 sin 120° + 200 sin 210° = 200. 3 2 1 + 200. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 = 100 3 –100 2. Sebuah balok terletak pada tangga dengan kemiringan α = 37° (sudut antara tangga dengan lantai). Gaya beratnya diuraikan dalam gaya w sin α dan w cos α. Tentukan besar sudut β dan γ! Penyelesaian: Gambar 15.a dapat direpresentasikan dalam segitiga seperti pada gambar 15.b. Dengan mengingat kembali sifat- sifat dari 2 segitiga yang sebangun (segitiga ADC dan segitiga CDB) akan diperoleh: sudut β = sudut α = 37°., Sehingga γ = 90° – β = 90° – 37° = 53° Latihan 1. Carilah nilai dari a. sin 120° c. tan 150° e. cot 330° b. cos 300° d. sec 210° f. csc 120° 2. Nilai dari sin 45° cos 135° + tan 210° sec 60° = ….. 3. Jika cos α = 5 4 dan 0°< α < 90° maka nilai tan α adalah …… 4. Koordinat kutub dari titik (-10,10) adalah….. 5. Koordinat kartesius dari titik (9, 120°) adalah ……. 6. Hitunglah panjang AB gambar 2.15 disamping A B C 30° 12 Gb. 2.15 α w cos α w sin α γ β w Gb. 15.a α βγ A B C D Gb. 15.b
- 26. 22 7. Jika nilaitan α = x 1 maka nilai dari cos2 α - sin2 α = ……….. 8. Himpunan penyelesaian dari sin x = 3 2 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….. 9. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = sin 30° untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah …….. 10.Tulislah rumus cos (2x + 3y)! 11.Jika α dan β sudut-sudut lancip dengan sin α = 5 3 dan sin β = 13 5 , hitunglah sin (α + β) 12.Sederhanakan bentuk: cos 100° cos 10° + sin100° sin 10° 13.Persamaan sin x = cos x dipenuhi untuk x = …… 14.Buktikan 1 + tan2 α = sec 2 α 15.Sederhanakan b. (1 – cos α) (1 + cos α) c. tan2 α - sec2 α 16.Hitunglah kuat arus dengan persamaan I = 20 sin ωt , jika diketahui ω = 6 π rad/detik dan t = 2 detik. 17.Sebuah balok terletak pada tangga dengan kemiringan α = 30°. Gaya beratnya diuraikan dalam gaya w sin α dan w cos α. Tentukan besar gaya F1 dan F2 jika diketahui massa balok (m) = 14 kg dan gaya grafitasi (g) = 10 m/s2 α F1= w cos α F1= w sin α γ β w
- 27. 23 1) ( )α=α−° sin180sin 4) ( ) α=α−° csc180csc 2) ( ) α−=α−° cos180cos 5) ( ) α−=α−° sec180sec 3) ( ) α−=α−° tan180tan 6) ( ) α−=α−° cot180cot Bab III Penutup A. Rangkuman 1. Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. 2. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi a. Perbandingan trigonometri sudut α dengan (90° - α) b. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α) c. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° + α) α 0° 30° 45° 60° 90° sin α 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 cos α 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 tan α 0 3 3 1 1 3 tak terdefinisi cot α tak terdefinisi 3 1 3 3 1 0 1) ( ) α=α−° cos90sin 4) ( ) α=α−° sec90csc 2) ( ) α=α−° sin90cos 5) ( ) α=α−° csc90sec 3) ( ) α=α−° cot90tan 6) ( ) α=α−° tan90cot 1) ( ) α−=α+° sin180sin 4) ( ) α−=α+° csc180csc 2) ( ) α−=α+° cos180cos 5) ( ) α−=α+° sec180sec 3) ( ) α=α+° tan180tan 6) ( ) α=α+° cot180cot
- 28. 24 d. Perbandingan trigonometriuntuk sudut α dengan (- α) 3. Dalam setiap ∆ ABC dengan panjang sisi-sisi BC.CA, dan AB berturut-turut a, b, dan c satuan dan besar sudut A, B, dan C berturut-turut, α, β, dan γ satuan berlaku: a. Aturan (rumus) sinus: γ = β = α sin c sin b sin a b. Aturan (rumus) kosinus: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = c2 + a2 – 2bc cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ 4. Menyelesaikan persamaan trigonometri a. Jika sin x = sin α maka x = α + k. 360° atau x = (180° − α) + k. 360° , k ∈ B b. Jika cos x = cos α maka x = α + k. 360° atau x = − α + k. 360°, k ∈ B c. Jika tan x = tan α maka x = α + k. 180° k ∈ B 5. Rumus-rumus trigonometri a. Jumlah dan selisih dua sudut 1) cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β 2) cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β 3) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 4) sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β 5) βα− β+α =β+α tantan1 tantan )(tan 6) βα+ β−α =β−α tantan1 tantan )(tan b. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap 1) ( ) α−=α− sinsin 4) ( ) α−=α− coseccosec 2) ( ) α=α− coscos 5) ( ) α=α− secsec 3) ( ) α−=α− tantan 6) ( ) α−=α− cotcot
- 29. 25 1) sin 2α= 2 sin α cos α 2) cos 2α = cos2 α − sin2 α cos 2α = 2cos2 α − 1 cos 2α = 1 − 2 sin2 α c. Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan 1) cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β 2) cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β 3) sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β 4) sin (α + β) − sin (α − β) = 2 cos α sin β B. Saran Pemahaman terhadap rumus−rumus dasar trigonometri harus betul−betul menjadi penekanan dalam proses pembelajaran sehingga siswa mampu mengaitkan dan menggunakan rumus−rumus yang sesuai untuk menyelesaikan persoalan trigonometri. Semoga bahan ajar ini menjadi salah satu sumber bacaan bagi para guru dalam pembelajaran matematika di SMK. Penulis menyadari adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan bahan ajar ini, sehingga kritik dan saran sangat diharapkan. 3) α− α =α 2 tan1 tan2 2tan
- 30. 26 Daftar Pustaka Bernadeta EttyW, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika. Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley and Sons, Inc. Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher. Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company. Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika. Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.