Trigonometri SMA
1 like18,477 views
Dokumen ini membahas rumus trigonometri untuk jumlah, selisih, dan sudut ganda, penting untuk aplikasi dalam ilmu pengetahuan dan teknologi. Materi yang dikupas mencakup penerapan rumus trigonometri untuk perhitungan sudut dalam konteks masalah praktis, seperti pergerakan roket. Pembaca diharapkan dapat menguasai rumus yang dijelaskan untuk berbagai sudut dan aplikasi matematis lainnya.
![77Trigonometri
A. Rumus Trigonometri untuk
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus untuk Cos (α ± β)
Amati gambar Gambar 3.1 dengan saksama. Gambar 3.1
menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari
r.Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar
tersebut,diperolehOC=C OB=OD=OA=rdankoordinattitik
A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r
sin α), C(r cos(r α + β), r sin(α + β)), dan D(r cosr β, –r sinr β).
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,
diperoleh
dABd2 2 2 2
AB x xA BxxA y yA ByyA
sehingga Anda dapat menentukan (AC)2
dan (DB)2
, yaitu
a. (AC)2
= [r cos (r α + β) – r]2
+ [r sin (r α + β) – 0 ]2
= r2
rr cos2 2
(2
α + β) – 2r2
rr cos (α + β) + r2
rr +2
r2
rr sin2 2
nn (2
α + β)
= r2
rr [cos2 2
(2
α + β) + sin2
nn (2
α + β)] + r2
rr – 22
r2
rr cos (α + β)
= r2
rr · 1 + r2
rr – 2r2
rr cos (α + β) = 2r2
rr – 2r2
rr cos (α + β)
Jadi, (AC)2
= 2r2
– 2r2
cos ( + β)
b. (DB)2
= (r cosr α – r cosr β)2
+ (r sinr α + r sinr β)2
= r2
cos2
α – 2r2
cos α cos β + r2
cos2
β + r2
sin2
α + 2 r2
sinα sin β + r2
sin2
β
= r2
(cos2
α + sin2
α) + r2
(cos2
β + sin2
β ) –
2r2
cosα cos β + 2r2
sinα sin β
= r2
+ r2
– 2r2
cosα cos β + 2r2
sinα sin β
= 2r2
rr – 2r2
rr cosα cos β + 2β r2
rr sinα sin β
Jadi, (DB)2
= 2r2
– 2r2
cos cos β + 2r2
sin sin β
ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC =C DB.
Coba Anda kemukakan alasan mengapa ΔOCA kongruen
ΔOBD.
Jadi, AC2
= DB2
.
2r2
– 2r2
cos (α + β) = 2r2
– 2r2
cos α cos β + 2r2
sin α sin β
–2r2
cos (α + β) = –2r2
cos α cos β + 2r2
sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sinβ α sin β
D
A
B
C
O
r
yy
x
β
–β
α
Gambar 3.1](https://image.slidesharecdn.com/trigonometri-151204164828-lva1-app6892/85/Trigonometri-SMA-3-320.jpg)
![78 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus
cos (α + β), yaitu
cos(α – β)= cos (α + (–β– ))
= cos α cos(–β– ) – sin α sin(–β– )
= cos α cos β + sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sinβ α sin β
1. Hitunglah cos 75°.
2. Buktikan
cos
cos
tan
cos
tan1 .
Jawab:
1. cos 75°= cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
=
1
2
2
1
2
3
1
2
2
1
22
=
1
4
6
1
4
2
1
4
22 3 1
2. cos
cos
cos sin
coscos
cos sin
cos
cocc s
cos
sin
cos
tan ta
cos
cos
sin
cos
1 ntan tann
Contoh 3.1
Pembahasan Soal
Diketahui cos(A – B) =
3
5
dan
cos A . cos B =
7
25
. Tentukan
nilai tan A . tan B
Jawab:
cos (A – B) =
cos A cos B + sin A sin B
sin A sin B =
cos (A – B) – cos A cos B
=
3
5
7
25
=
15 7
25
8
25
tan A tan B =
sin sin
cos cos
A B
A B
=
8
25
7
25
8
7
Ebtanas 1998
2. Rumus untuk sin (α ± β)
Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang
sudut komplemen.Anda dapat menentukan rumus sin (α β)
dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua
sudut komplemen berikut.
cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri
dua sudut komplemen, diperoleh
sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]
= cos [(90° – α) – β]
= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β
= sin α · cos β + cos α · sin β
sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cosβ α sin β
Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β),
yaitu
sin (α – β) = sin (α + (–β– ))
= sin α cos (–β– ) + cos α sin (–β– )
= sin α · cos β – cos α · sin β](https://image.slidesharecdn.com/trigonometri-151204164828-lva1-app6892/85/Trigonometri-SMA-4-320.jpg)
![87Trigonometri
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)
Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
Jadi,
sin
sin i
2
cos
sin
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)
Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh
sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
Jadi, cos
sin sin
2
sin
embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP Soal
Bentuk sederhana 4 sin 36°
cos 72° sin 108° adalah ....
Jawab
4 sin 36° cos 72°sin 108° =
2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] =
2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin
(108 – 72)°] =
2 sin 36°[0 + sin 36°] =
2 sin2
36° = 1 – cos 2(36°)
= 1 – cos 72°
Soal Ebtanas 2000
1. Hitunglah:
a. cos 75° cos15° b. –2 sin 15°sin 75°
2. Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.
Jawab:
1. a. cos 75° cos 15° =
1
2
(cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)
=
1
2
(cos 90° + cos 60°) =
1
2
0
1
2
1
4
b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°
= cos 90° – cos (–60)°
= cos 90° – cos 60°
= 0 –
1
2
= –
1
2
2. 4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]
= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]
= 2 sin 72°[0 + sin72°]
= 2 sin cos 2 (72°)
= 1 – cos2
(72°)
= 1 – cos144°
Contoh 3.6
2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Rumus perkalian sinus dan kosinus di bagian C.1 dapat
ditulis dalam rumus berikut.
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)
cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)](https://image.slidesharecdn.com/trigonometri-151204164828-lva1-app6892/85/Trigonometri-SMA-13-320.jpg)
Trigonometri SMA
- 1. 3Bab 75 Trigonometri Sumber: www.tnial. m il.id Anda telah mempelajari perbandingan trigonometri dari sudut berelasi di Kelas X. Pada bab ini, materi itu akan dikembangkan sampai ke rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini akan dibahas mengenai rumus trigonometri untuk sudut rangkap. Konsep-konsep trigonometri yang akan dibahas di bab ini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi, misalnya dalam menjawab permasalahan berikut. Sebuah roket yang ditembakkan ke atas membentuk sudut θ terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut θ agar roket mencapai jarak maksimum? Agar Anda dapat menjawab permasalahan tersebut, pelajari bab ini dengan baik. A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut B. Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda C. Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan rumus trigonometri jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda; merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dan sudut ganda.
- 2. 76 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Tes Kompetensi Awal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Isilah titik-titik berikut. a. cos2 a = 1 – .... b. tan .... .... c. sin(180º – A) = .... d. cos(90º – A) = .... e. sin(– α) = .... sin α f. cos(– β) = ....cos β g. cos(90º – β) = .... h. tan(– β) = ....tan 2. Tentukan jarak antara titik A(1, –2) dan B(4,2). Diagram Alur Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut. Trigonometri Rumus Jumlah dan Selisih Rumus Sudut Ganda Rumus Konversi terdiri atas terdiri atas 1. Rumus untuk cos (α ± β) 2. Rumus untuk sin (α ± β) 3. Rumus untuk tan (α ± β) 1. Rumus untuk sin 2 α 2. Rumus untuk cos 2 α. 3. Rumus untuk tan 2 α. Bentuk Kali ke Jumlah Bentuk Jumlah ke Kali menentukan dapat berupa
- 3. 77Trigonometri A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus untuk Cos (α ± β) Amati gambar Gambar 3.1 dengan saksama. Gambar 3.1 menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r.Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar tersebut,diperolehOC=C OB=OD=OA=rdankoordinattitik A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(r cos(r α + β), r sin(α + β)), dan D(r cosr β, –r sinr β). Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, diperoleh dABd2 2 2 2 AB x xA BxxA y yA ByyA sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2 , yaitu a. (AC)2 = [r cos (r α + β) – r]2 + [r sin (r α + β) – 0 ]2 = r2 rr cos2 2 (2 α + β) – 2r2 rr cos (α + β) + r2 rr +2 r2 rr sin2 2 nn (2 α + β) = r2 rr [cos2 2 (2 α + β) + sin2 nn (2 α + β)] + r2 rr – 22 r2 rr cos (α + β) = r2 rr · 1 + r2 rr – 2r2 rr cos (α + β) = 2r2 rr – 2r2 rr cos (α + β) Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos ( + β) b. (DB)2 = (r cosr α – r cosr β)2 + (r sinr α + r sinr β)2 = r2 cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2 sin2 α + 2 r2 sinα sin β + r2 sin2 β = r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β ) – 2r2 cosα cos β + 2r2 sinα sin β = r2 + r2 – 2r2 cosα cos β + 2r2 sinα sin β = 2r2 rr – 2r2 rr cosα cos β + 2β r2 rr sinα sin β Jadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cos cos β + 2r2 sin sin β ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC =C DB. Coba Anda kemukakan alasan mengapa ΔOCA kongruen ΔOBD. Jadi, AC2 = DB2 . 2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β –2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β cos (α + β) = cos α cos β – sinβ α sin β D A B C O r yy x β –β α Gambar 3.1
- 4. 78 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β), yaitu cos(α – β)= cos (α + (–β– )) = cos α cos(–β– ) – sin α sin(–β– ) = cos α cos β + sin α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sinβ α sin β 1. Hitunglah cos 75°. 2. Buktikan cos cos tan cos tan1 . Jawab: 1. cos 75°= cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30° = 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 22 = 1 4 6 1 4 2 1 4 22 3 1 2. cos cos cos sin coscos cos sin cos cocc s cos sin cos tan ta cos cos sin cos 1 ntan tann Contoh 3.1 Pembahasan Soal Diketahui cos(A – B) = 3 5 dan cos A . cos B = 7 25 . Tentukan nilai tan A . tan B Jawab: cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B sin A sin B = cos (A – B) – cos A cos B = 3 5 7 25 = 15 7 25 8 25 tan A tan B = sin sin cos cos A B A B = 8 25 7 25 8 7 Ebtanas 1998 2. Rumus untuk sin (α ± β) Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut komplemen.Anda dapat menentukan rumus sin (α β) dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen berikut. cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen, diperoleh sin (α + β) = cos [90° – (α + β)] = cos [(90° – α) – β] = cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β = sin α · cos β + cos α · sin β sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cosβ α sin β Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu sin (α – β) = sin (α + (–β– )) = sin α cos (–β– ) + cos α sin (–β– ) = sin α · cos β – cos α · sin β
- 5. 79Trigonometri Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cosβ α sin β Sekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri rumus-rumus yang diberi kotak. 1. Hitunglah sin 15°. 2. Hitunglah si cn os cos 1 4 1 4 1 4 1 4 . Jawab: 1. sin 15°= sin (45°–30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30° = 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 22 = 1 4 6 1 4 2 1 4 2 6 2 2. Soal tersebut bentuknya sama dengan rumus sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) dengan 1 4 1 4 . Akibatnya, si cn os cos 1 4 1 4 1 4 1 4 = si cn os cos 1 4 1 4 1 4 1 4 = sin 1 2 1 Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba. Contoh 3.2 3. Rumus untuk tan (α ± β) Anda telah mempelajari bahwa tan sin cos Kemudian, Anda juga telah mempelajari bahwa cos (α + β) = cos α cos β – sinβ α sin β dan sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 1. Jelaskan mengapa rumus tan(t –t β) = tan t tan tantan1 tidak bisa digunakan untuk menunjukkan tan cot 2 . 2. Perhatikan uraian berikut. tan tan tan t q p q tan q tan + Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ = ( )/p ( )/p = 2 1 tanq tan- /p anaa tan tan tan tan tan q q q q 1 0 1 0 1 ( )/ 2 + ( )/ 2 - = - = -- = - tan cot q q Jelaskan alasan setiap langkah pada uraian tersebut. Tantangan untuk AndaAnda
- 6. 80 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Sekarang, pelajari uraian berikut. tan sin cos sin coscos sin cocc s sincos sin = sin cos cos sin cos coscos sin cos sin 1 1 cos = sin cos cos cos sin c cos sin cos cos sin osoo sin cos cos cos c cos cos cos sin cos osoo cos sin cos cos cos sin cos = sin cos sin cos sin cos sin cos tan t 1 anaa tan tan1 tan Jadi, tan tan 1 tan + tan tantan Rumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β), sebagai berikut: tan tan tan tan tan tan tan tan1 tan 1 Jadi, tan = tan 1 t tan tantan 1. Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°. 2. Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sinC 2 13 . Jika tan A tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B. Jawab: 1. tan 50° = tan (45° + 5°) = tan tan tan 45 5 1 4tan 5 5tan o o tan 5 o o 5tan = 1 1 1 1 11 p p p p Contoh 3.3 Jelaskan makna dari π jika dikatakan cos 2 = 0 dan π = 3,14 Tantangan untuk AndaAnda
- 7. 81Trigonometri 2. Langkah ke-1 Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal tersebut. Diketahui: • sinC 2 13 • tan A tan B = 13 • ΔABC lancip.C Ditanyakan: Nilai (tan A + tan B). Langkah ke-2 Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep sudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut. Langkah ke-3 Menentukan nilai (tan A + tan B) dengan strategi yang telah diketahui. Sudut-sudut dalam ΔABC berjumlah 180° sehinggaC A + B + C = 180°.C A + B + C = 180°C C = 180° – (C A + B) sin iC sin A B 2 13 Karena ΔABC lancip maka (C A + B) terletak di kuadran II. sin (A + B) = y r 2 13 sehingga y = 2 dan r = 13 x =x r y2 2 13 4 3 tan (A + B) = y x 2 3 2 3 tan (A + B) = tan + tan 1 – tan tan A B+ tan A Btan 2 3 1 13 tan taA B+ tan tan A + tan B = 2 3 8 12 Kuadran II r BA + Byy ++ x –– Tes Kompetensi Subbab A Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1. Jika cos 5° = p, sin 5° = q, dan tan 5° = r, tentukan nilai dari a. cos 25° d. sin 95° b. cos 80° e. tan 55° c. sin 40° f. tan 10° 2. Tentukan nilai dari a. cos 80° cos 55° – sin 80° sin 55° b. cos 350° cos 20° + sin 350° sin 20° c. sin 250° cos 25° – cos 250° sin 25° d. tan tan85 35 1 8tan 5 3tan 5 o o tan 35 o o 3tan 5
- 8. 82 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam e. tan tan tan tan 390 75 1 390 75 o o tan 75 o o tan 75 3. Buktikan bahwa a. cos (60° – b) – cos (60° + b) = 3 sin b b. sin (a + 45°) + sin (a a – 45°) =a 2 sin a c. (cos a – cos b)2 + (sin a – sin b)2 = 2 (1 – cos (a – b)) d. cos a 2 = sin a e. sin a = – sin a 4. a. Jika α dan β sudut lancip, cos 4 5 , dan sin 5 13 , tentukan cos (α – β). b. Jika α di kuadran I, β di kuadran III, tan 3 4 , dan tan 7 24 , tentukan cos (α + β). c. JikaαdanβdikuadaranII,sin 5 13 , dan tan 3 4 , tentukan sin (α + β). 5. a. Jika tan 1 1 p dan tan 1 1 p , buktikan bahwa tan(α + β) = –2p2 –2 . b. Jika sin b cos (B – a) = sin a cos (b – B), buktikan sin (a – b) = 0. 6. Sebatang tongkat yang beratnya w di- pasang engsel pada titik P sehingga tongkat dapat bergerak bebas seperti gambar berikut. Besar tegangan tali sistem ini adalahTsin 1 2 w. Jika berat tongkat 4 6 newton dan α = 75°, berapa newton tegangan tali? P QQQw TT isin α T cos α αααα 7. Sebuah benda yang massanya m didorong ke atas pada sebuah bidang miring yang kasar seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Usaha (W) oleh gaya berat saatWW benda didorong sejauhe S diruS muskan oleh W =W mgs cos (90° + α). Dalam hal ini g adalah percepatan gravitasi bumi yang besarnya 10 m/s2 . a. Tunjukkan bahwa W = –W mgs sin α. b. Jika diketahui massa benda 4 kg, α = 45°, dan benda terdorong sejauh 6 meter, berapa newton usaha oleh gaya berat itu? N F f S α 90o + α S f B. Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda 1. Rumus untuk sin 2α Anda telah mengetahui bahwa sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Untuk β = α, diperoleh sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α sin 2 α = 2 sin α cos α Jadi, sin 2α = 2 sin α cos α
- 9. 83Trigonometri 2. Rumus untuk cos 2α Anda juga telah mempelajari bahwa cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β. Untuk β = α, diperoleh cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α cos 2α = cos2 α – sin2 α Jadi, cos 2α = cos2 α – sin2 α Untuk rumus cos2α dapat juga ditulis cos 2α = cos2 α – sin2 α cos 2α = (1 – sin2 α) – sin2 α cos 2α = 1 – 2 sin2 α Jadi, cos 2α = 1 – 2 sin2 α Sekarang, coba Anda tunjukkan bahwa cos 2α = 2 cos2 α – 1 3. Rumus untuk tan 2α Dari rumus tan(α + β) = tan tan tan tantan1 Untuk β = α diperoleh tan(α + α) = tan tan tan tan tan tantan1 tan 2α = 2 1 2 tan tan Jadi, tan 2α = 2tan 1 tan2 1. Jika sin A = 6 10 dengan 0 < A < 1 2 , tentukan sin 2A2 , cos 2A2 , dan tan 2A2 . 2. Buktikan bahwa sin cos1 2 1 2 Jawab: 1. AmatiGambar3.3.DenganmenggunakanteoremaPythagoras, diperoleh Contoh 3.4 x A 6 10 Gambar 3.3
- 10. 84 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Sebuah meriam yang ditembakkan ke atas membentuk sudut terhadap arah horizontal (perhatikan Gambar 3.4). Diketahui kecepatan awal peluru meriam v0 m/s dan jarak R yang ditempuh peluru meriam memenuhi persamaan R = 1 16 0 2 v sin ocos . a. Tunjukkan bahwa R = 1 32 20 2 v sin . b. Carilah sudut yang memberikan R maksimum. Jawab: a. Langkah ke-1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal. Diketahui: • Kecepatan awal peluru meriam = vo m/s. • Jarak yang ditempuh peluru meriam = R. Ditanyakan: Menunjukkan R = 1 32 20 2 v sin Contoh 3.5 Gambar 3.4 x 10 6 64 82 2 6 • sin A 6 10 3 5 • tan A x 6 6 8 3 4 • cos A x 10 8 10 4 5 sin2A2 = 2 sin A cos A = 2 3 5 4 5 24 25 cos2A22 = cos2 A2 – sin2 A2 = 4 5 3 5 16 25 9 25 7 25 2 2 3 tan2A2 = 2 1 2 3 4 1 3 4 6 4 7 16 6 4 1 2 2 tan tan A A 66 7 27 7 2. 2 sin2 α = 1 – cos 2α sin2 α = 1 2 2 1 2 2 cos i cos Substitusikan 1 2 ke persamaan tersebut, diperoleh sin cos i cos1 2 1 2cos 1 2 2 1 2 1 sin 22
- 11. 85Trigonometri Tes Kompetensi Subbab B Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1. a. Jika sin A = 9 15 dengan 0 < A < 1 2 , hitunglah sin 2A22 , cos 2A22 , dan tan 2A.22 b. Jika tan α = 2 3 1 3 x x dan α lancip, hitunglah sin 2α, cos 2α, dan tan 2α. 2. Jika cos α = 1 5 5 dan 3 2 < α < 2π, hitunglah a. sin 3α c. sin 4α b. cos 3α d. cos 4α 3. Jika tan α = –a dan 2 < α < π, tentukan a. sin 3α c. sin 4α b. cos 3α d. cos 4α 4. Percepatan yang dialami silinder pejal yang ditempatkan pada bidang miring dengan sudut kemiringan α dirumuskan sebagai berikut. a. a = g sin α jika tidak ada gesekan antara silinder dan bidang miring. b. a = 2 3 g sin α jika silinder meng- gelinding. Misalkan sudut kemiringannya 22,5°, tentukan percepatan yang dialami silinder jika a. tidak ada gesekan b. silinder menggelinding (Petunjuk: jangan gunakan kalkulator, gunakan rumus setengah sudut) 5. Gambar berikut memperlihatkan sebuah titik yang bergerak melingkar beraturan. y x PP'' PP" PP A RRR = AAA Simpangan dari getaran titikP' dirumuskan oleh y = A sin 2 T t . Dalam hal ini, A = amplitudo getaran, T = periode getaran, danT t = lamanya titik benda bergetar.t Langkah ke-2 Menentukan konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikan soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rumus trigonometri untuk sudut ganda. Langkah ke-3 Menunjukkan R = 1 32 20 2 v sin menggunakan strategi yang telah diketahui. Anda telah mengetahui sin 2 = 2sin cos sehingga R v v v=v 1 16 1 16 2 2 1 32 0 2 0 2 0 2 sin sin sinq qcos q qcos 22q . b. Untuk kecepatan awala v0 , sudut θ terhadap arah horizontal mempengaruhi nilai R. Oleh karena fungsi sinus memiliki nilai maksimum 1, R akan maksimum ketika 2 = 90° = 45°
- 12. 86 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Jika periode getaran 8 sekon dan benda titik bergetar selama 3 2 sekon, tentukan simpangan dari getaran a. titik P' b. titik P"t (Petunjuk: gunakan rumus setengah sudut).t 6. Tulislah rumus sin 4a dan cos 4a. 7. Nyatakan sin 16a dengan sin 8a dan cos 8a. 8. Diketahui sin P = 12 20 , dengan 0 < P < 1 2 . Hitunglah sin 2P, cos 2P, dan tan 2P. 9. Dengan menggunakan rumus setengah sudut, hitunglah: a. tan 22,5º d. cos 112,5º b. tan 165º e. sin 292,5º c. cos 67,5º f. sin 157,5º 10. Untuk tan x =x 2 3 , tan y = 3 4 , hitunglah: a. tan 2 x c. tan (2x2 +x y) b. tan 2 y d. tan (x + 2y) C. Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus 1. Perkalian Sinus dan Kosinus Anda telah mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu: cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sinβ α sin β sin (α + β) = sin α cos β + cosβ α sin β sin (α – β) = sin α cos β – cosβ α sin β Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut. cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1) cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2) Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β Jadi, cos cos + cos 2 cos cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3) cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4) Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β Jadi, sin cos cos 2 sin cos
- 13. 87Trigonometri sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5) sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6) Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β Jadi, sin sin i 2 cos sin sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7) sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8) Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β Jadi, cos sin sin 2 sin embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP Soal Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah .... Jawab 4 sin 36° cos 72°sin 108° = 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] = 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°] = 2 sin 36°[0 + sin 36°] = 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°) = 1 – cos 72° Soal Ebtanas 2000 1. Hitunglah: a. cos 75° cos15° b. –2 sin 15°sin 75° 2. Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°. Jawab: 1. a. cos 75° cos 15° = 1 2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°) = 1 2 (cos 90° + cos 60°) = 1 2 0 1 2 1 4 b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)° = cos 90° – cos (–60)° = cos 90° – cos 60° = 0 – 1 2 = – 1 2 2. 4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°] = 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°] = 2 sin 72°[0 + sin72°] = 2 sin cos 2 (72°) = 1 – cos2 (72°) = 1 – cos144° Contoh 3.6 2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus Rumus perkalian sinus dan kosinus di bagian C.1 dapat ditulis dalam rumus berikut. cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9) cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)
- 14. 88 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam 1. sin 105° + sin 15° = 2 sin 1 2 (105 + 15)° cos 1 2 (105 – 15)° = 2 sin 1 2 (120)° cos 1 2 (90)° = 2 sin 60° cos 45° = 2 1 2 3 1 2 2 1 2 63 2. cos 75° – cos 15° = –2 sin 1 2 (75° + 15°) sin 1 2 (75° – 15°) = –2 sin 45° sin 30° = – 2 1 2 2 1 2 1 2 2 Contoh 3.7 embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP Soal Nilai dari sin 105° – sin 15° adalah .... Jawab: sin 105° – sin 15° = 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 cos sin 105 15o o 15 105 15o o 15 2 22 6 Soal Ebtanas 1997 sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11) sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12) Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh p + q = (α + β) + (α – β) = 2α 1 2 .... (13) p – q = α + β – α + β = 2β2 1 2 ....(14) Coba Anda substitusikan persamaan (13) dan (14) pada rumus (9) sampai (12). Apakah Anda memperoleh kesimpulan berikut? cos p + cos q = 2 cos 1 2 (p(( + q) cos 1 2 (p(( – q) cos p – cos q = –2 sin 1 2 (p(( + q) sin 1 2 (p(( – q) sin p + sin q = 2 sin 1 2 (p(( + q) cos 1 2 (p(( – q) sin p – sin q = 2 cos 1 2 (p(( + q) sin 1 2 (p(( – q) Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.
- 15. 89Trigonometri 3. Identitas Trigonometri Misalkan,Anda akan membuktikan kebenaran hubungan berikut. cos s 1 tan = cos 4 4 sin 4sin4 sin ...(15) Cara membuktikannya dengan mengubah bentuk dari salah satu ruas persamaan tersebut sehingga menjadi bentuk yang sama dengan ruas lainnya. Misalkan, Anda akan mengubah ruas kiri persamaan tersebut sehingga menjadi bentuk yang sama seperti di ruasn kanan. cos tan 4 4 i 4 1 a asin4 sin a- = ( )cos2 2 ia asin2 sin ( )cos2 2 ia asin2 sin(( ( )( )+ )()()()()( -)()( = ◊( ) - Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ 1 12 2 2 sec sin cos - a a a = ( ) - Ê Ëcos cos cos sin cos2 2 2 2 2 1 - a a a a aÁÁ ÊÊÊÊ ËËËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ = ( ) Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯cos cos cos2 2 2 i 2 1 - a a as- in2 sin a = ( )) ( )) = cos cos4 4 1 1 1 -- a -- a = cos4 α .... (16) Bentuk (16) adalah bentuk yang sama dengan bentuk ruas kanan persamaan (15). Untuk menunjukkan kebenaran suatu identitastrigonometri, diperlukanpemahamantentangidentitas dasar seperti yang telah Anda pelajari dalam pembahasan sebelumnya.Sekarang,cobaAndaubahruaskanandariidentitas (15) sehingga diperoleh ruas kiri. embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePePeP Soal Bentuk 2 1 2 tan tan x x ekuivalen dengan .... Jawab: 2 1 2 1 2 2 2 2 tan tan sin cos sin cos cos cos x x x x x x x 2 222 2 2 1 2 x x2 x x x s cos sin sin Soal Ebtanas 2000
- 16. 90 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Buktikan kebenaran identitas berikut. 2 3 2 3 8 2 si sin cos cos o x x x x x Jawab: 2 3 2 3 2 3 2 3si sin cos cos sin c3 os cos s3 inx x x x x xcos x xsin siss n cos si sin si sin x xcos x x x x x2sin 1 2 2 4 4sin 2 4 sin o 2 8 2cos x x s2 inii o2 2cosx xcos2cos Contoh 3.8 Tes Kompetensi Subbab C Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1. Tentukan nilai dari soal-soal berikut ini. a. cos 105º cos 15º b. sin 75º cos 15º c. 2 cos 15º sin 45º d. 2 cos 75º sin 45º e. 2 sin 82,5º cos 37,5º f. 2 sin 127,5º sin 97,5º 2. Tentukan nilai dari soal-soal berikut. a. sin 75° + sin 15° b. sin 75° – sin 45° c. cos 45° – cos 15° d. cos 105° + cos 15° 3. Hitunglah soal-soal berikut. a. cos 465° cos 165° b. sin sin cos cos 75 15 75 15 o o sin15 o o cos15 c. cos 220° + cos 100° + cos 20° d. cos 130° + cos 110° + cos 10° e. sin sin cos cos 115 35 115 35 o o sin 35 o o cos 35 4. Buktikan kebenaran identitas berikut. a. sin si cos cos tan A Bsin A Bcos A B 2 b. sin si cos cos tan 4 2i 4 2 3 A2sin A2cos A c. sin si sin si tan tan A Bsin A Bsin A B A B 1 2 1 2 5. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatu jumlah atau selisih. a. cos 3x cos 2x x2 e. 2 cos 3x cos 6x x b. sin 4x44 sin 3x x f. 2 sin 3x sin 5x x c. sin 5x cos 2x x22 g. 2 sin 2x2 cos 7x x d. cos 7x sin 3x x h. 2 cos 5x sin 8x x 6. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatu hasil kali. a. cos 3x + cos 2x x2 b. cos 4x – cos 3x x c. sin 5x + sin 2x x2 d. sin 7x – sin 3x x Hal Penting
- 17. 91Trigonometri e. 1 2 1 2 3cos cos x3cx os f. 1 2 5 6cos5 o x6x o 7. Buktikan kebenaran identitas berikut. a. sin si cos cos cot A Asin A Acos A 3 3 b. sin si cos cos tan A Bsin A Bcos A B 2 c. sin si cos cos cot A Bsin A Bcos B A 2 8. Jika x = sin 3x + sin dan y = cos 3 + cos , buktikan identitas berikut. a. x +x y = 2 cos (sin 2 + cos 2 ) b. x y tan 2 c. x2 + y2 = 2 + 2 cos 2 9. Jelaskan strategi yangAnda lakukan untuk menyelesaikan soal pembuktian identitas trigonometri. Bandingkan hasilnya dengan teman lain. Manakah yang strateginya lebih baik? • Rumus-rumus jumlah dan selisih sudut adalah 1. cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β 2. cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β 3. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 4. sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β 5. tan (α + β) = tan tan tan tan1 Sekarang, lanjutkan rangkuman di atas. Rangkuman Setelah Anda mempelajari Bab 3, 1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang mudah, 2. bagian manakah yang menurut Anda amat menarik dan penting untuk dipelajari. Refleksi
- 18. 92 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Tes Kompetensi Bab 3 A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya. 1. sin cos tan .... 15 15 15 o o cos15 o a. 2 4 3 1 d. 2 1 2 6 b. 2 4 3 1 e. 3 1 3 6 c. 2 3 2. sin (45° + α) – sin (45° – α) = .... a. 2 sin d. 2 cos b. 2sin e. sin 2 c. 2 cos 3. sin (30o + β) + cos (60o + β)= .... a. sin β d. 2 cos β b. cos β e. cos 2c. 2 sin β 4. sin tan .... a btan a b a. cos a cos b d. –sin a sin b b. sin a sin b e. cos (a–b) c. –cos a cos b 5. Jika sin A 2 3 dan cos A < 0 maka tan 2A22 = .... a. 4 5 5 d. 4 5 9 b. 4 5 e. 4 5 c. 4 5 9 6. Jika sin 38° = p maka sin 76° = .... a. 2 1 2 p p1 d. 2p2 2 – 1 b. 2p2 2 + 1 e. p p1 2 c. 2p2 7. Jika sin ,,coscos 4 5 5 13 di kuadran I maka sin(α – β) = .... a. 56 65 d. 63 65 b. 33 65 e. 64 65 c. 16 65 8. Jika cos 5 3 dan sin 7 4 , α di kuadran II, dan β di kuadran IV maka cos (α + β) = .... a. 3 5 2 7 12 d. 6 35 12 b. 3 53 5 2 7 12 e. 8 35 12 c. 6 35 12 9. Jika tan sec ; 2 1 1 0 90 x x x;1 0; o o 90x maka sudut x adalah ....x a. 0° d. 60° b. 30° e. 75° c. 45° 10. Bentuk sin cos cos sin x xcos x sin2 2x sin ekuivalen dengan .... a. 1 2 tan tan x x d. 1 2 tan tan x x b. tan tan x x1 2 e. tan tan x x1 2 c. 1 tan x
- 19. 93Trigonometri 11. sin (x + 30) + cos (x + 60)=… a. sin xx d. cotan x b. cos x e. sec x c. sin x 12. –2 sin2 sin 15˚ sin 75˚ = .... a. 1 4 d. 1 2 b. 1 2 2 e. 1 4 c. 1 2 13. Jika sin ,, 2 10 7 dikuadranIVmaka tan .... 1 2 a. 2 5 e. 3 5 b. 5 2 d. 5 2 c. 2 5 14. cos 110° sin 55° = .... a. 1 2 165 55sin s165 ino o 55sin b. 1 2 165 55sin s165 ino o 55sin c. 1 2 55 165sin s55 ino o 165sin d. 1 2 165 55cos c165 oso o 55cos e. 1 2 165 55cos c165 oso o 55cos 15. cos 35° – cos 75° = ... a. –2 sin 55° sin 20° b. 2 sin 55° cos 20° c. –2 sin 55° cos 20° d. 2 cos 55° sin 20° e. –2 cos 55°cos 20° 16. Periode grafik fungsi y PxPP 1 3 adalah 2 3 maka nilai P adalah .... a. 1 3 d. 6 b. 2 e. 2 3 c. 3 17. Identitas yang benar adalah .... (1) cos 2x2 = cosx 4 x4 – sinx 4 x4 (2) cos 2x2 = (cosx x + sinx x) (cos x – sinx x) (3) cos 2x22 = sinx 2 cos 2x22 – cosx 2 sin 2x22 (4) cos 2x2 = 2 cosx 2 x2 + 1x a. (1), (2), dan (3) b. (1), dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) e. semua benar 18. Fungsi y = 4 sin x sin (x x + 60°) mencapaix nilai minimum pada .... a. x = 60° +x k 360° b. x = 60° +x k 180° c. x = 30° +x k 360° d. x = 30° +x k 180° e. x = k 360° 19. sin 292 1 2 o .... a. 1 2 2 3 d. 1 2 2 3 b. 1 2 2 2 2 e. 1 2 2 2 c. 1 2 2 2 20. Jika cos 3 4 maka tan 2 = .... a. 24 7 d. 24 5 b. 24 7 e. 24 7 c. 24 5
- 20. 94 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas. 4. Buktikan: a. tan si cos A Asin A2 1 b. cosec 2A2 = 1 2 2 cot cot A A c. sec sec tan A A A1 1 2 2 d. sin sin cos cos 2 1 2 A A A 5. Buktikan kebenaran identitas berikut. a. sin si cos cos tan 4 2i 4 2 3 A2sin A2cos A b. sin si sin si tan tan A Bsin A Bsin A B A B 1 2 1 2 c. sin si cos cos tan A Asin A Acos A 3 3 2 1. Buktikan bahwa a. si sn in sini 4 0 4 20sin b. sin cos 6 0 6 0cos c. tan cot tan tan tan tan 2 2 tan 2 2 tan1 2. a. Diketahuiα,β,danγmenyatakanbesar sudut-sudut segitiga ABC, tan α = –3, dan tan β = 1. Tentukan tan γ. b. Jika A + B + C = 180°, tunjukkan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C 3. Jika 3 cos xx xx 6 6 cos , tentukan: a. nilai tan 2x b. nilai cos 2x c. nilai sin 4x