Tsulide

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て.
. Ornstein の同型定理について
れんま(n%)（徳富　蘇峰）
2014 年9 月14 日

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て目次
. 1 ベルヌーイ系の導入と主定理
. 2 目印がある場合への帰着
. 3 骨格の導入と基本補題
. 4 詰材の概念と同値類の評価
. 5 団体の結成定理と割り当ての構成
. 6 主定理の証明と参考文献

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当てベルヌーイ系とは？
.
.定義1.1
　 1 以上の整数a について、集合A = {0, . . . , a}
とこの集合上の測度pを考える。
.

.
.定義1.1
　 1 以上の整数a について、集合A = {0, . . . , a}
　集合X = AZ にベルヌーイ測度μ = pZ を入れ
て、
.

.
.定義1.1
　 1 以上の整数a について、集合A = {0, . . . , a}
て、シフト写像T : X ∋ (xi)i7→ (xi−1)i ∈ X を考え
る。
.

.
.定義1.1
　 1 以上の整数a について、集合A = {0, . . . , a}
て、シフト写像T : X ∋ (xi)i7→ (xi−1)i ∈ X を考え
る。この時、測度力学系(X,B, μ, T) をベルヌーイ
系、あるいはベルヌーイシフトと呼ぶ。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て測度力学系の同型とは？
.
.定義1.2
　二つの測度力学系 (X,B, m, T), (Y, C, n, S) が測
度同型であるとは、
.

.
.定義1.2
度同型であるとは、その補集合が零集合であるよ
うな可測集合A ⊂ X, B ⊂ Y があって、以下の性
質を満たすことです。
.

.
.定義1.2
(a) T(A) ⊂ A, S(B) ⊂ B
.

.
.定義1.2
(a) T(A) ⊂ A, S(B) ⊂ B
(b) ある双可測写像Φ : A → B があって、
.
Φ ◦ T = S ◦ Φを満たす。

.
.定義1.2
(a) T(A) ⊂ A, S(B) ⊂ B
(b) ある双可測写像Φ : A → B があって、
.
Φ ◦ T = S ◦ Φを満たす。
　以下では、mは確率測度でT は保測変換である
とする。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て測度論的エントロピー
.
.定義1.3
　測度力学系 (X,B, m, T) において、分割
A = {A0, . . . , An} に対しエントロピーが次のよう
に定義される。
.

.
.定義1.3
.
hm(A) =
Σn
i=0
− m(Ai) log2(m(Ai))

.
.定義1.3
.
hm(A) =
Σn
i=0
　ここから測度論的エントロピーが定義される。

.
.定義1.3
.
hm(A) =
Σn
i=0
　ここから測度論的エントロピーが定義される。
hm(T)=sup
A
hm(T,A), hm(T,A)=lim
n→∞
i=0T−iA)
hm(∨n

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て今日考える問題と主定理
.
.問題
　二つのベルヌーイシフト (AZ,B, pZ, T) と
(BZ, C, qZ, T′) の測度論的エントロピーが一致する
とき、それらは互いに測度同型になるか？
.

.
.問題
と.
き、それらは互いに測度同型になるか？
.
.定理1.1
　二つのベルヌーイシフトの測度論的エントロ
ピーが一致するとき、
.

.
.問題
と.
き、それらは互いに測度同型になるか？
.
.定理1.1
　二つのベルヌーイシフトの測度論的エントロ
ピーが一致するとき、両者の間に零集合を除いて
連続となるような写像Φによって測度同型に
なる。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て目印を作るための基本的な補題(その1)
.
.補題2.1
　 2 以上の自然数a, b とエントロピーが同じ二つ
のカントール系(AZ,B, pZ, T), (BZ, C, qZ, T′) に対
して、
.

.
.補題2.1
して、ある2 以上の自然数c ともう一つ同じエン
トロピーh を持つカントール系(CZ,D, rZ, T′) で
あって、
.

.
.補題2.1
あって、ある自然数0 5 k 5 a, 0 5 l 5 b が
r0 = pk, r1 = ql を満たすものが存在する。
.

.
.補題2.1
あって、ある自然数0 5 k 5 a, 0 5 l 5 b が
r0 = pk, r1 = ql を満たすものが存在する。
　ここで、A = {0, . . . , a} などとしている。(B, C
についても同様。)
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題2.1 の証明(6 割ほど)
.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
pa = qb となるようにしておく。
.

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
−ri log2 ri とh、つまり
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
−pi log2 pi を比較する。

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
　今、関数ϕ(x) = −x log2 x は[0, 1] 内で上に凸な
関数なので、

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
関数なので、r2 = p1 = p2 = r1 であることに着目
すれば、

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
関数なのΣ2
で、r2 = p1 = p2 = r1 であることに着目
すれば、
i=1
−ri log2 ri 5
Σ2
i=1
−pi log2 pi が言え
て、

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
関数なのΣ2
すれば、
i=1
−ri log2 ri 5
Σ2
i=1
て、前者のほうが小さいことがわかる。

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
関数なのΣ2
すれば、
i=1
−ri log2 ri 5
Σ2
i=1
て、前者のほうが小さいことがわかる。
　あとは次の主張が示されればよい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題2.1 の証明のための主張
.
.主張
　ある 2 以上の自然数c と正の実数の組
(s2, . . . , sc) であって、次の二式を満たすものが存
在する。
.

.
.主張
在する。
(a) s2 + · · · + sc = r2.
.

.
.主張
在する。
(a) s2 + · · · + sc = r2.
(b) {Σ1
.
i=0
−ri log2 ri} + {Σc
i=2
−si log2 si} = h.

.
.主張
在する。
(a) s2 + · · · + sc = r2.
(b) {Σ1
.
i=0
−ri log2 ri} + {Σc
i=2
−si log2 si} = h.
.
Proof. ..
.中間値の定理の応用問題です。

.
.補題2.2
　もしも、カントール系 (AZ,B, pZ, T),
A = {0, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
.

.
.補題2.2
A = {0, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
　この時、2 以上の自然数c とカントール系
(CZ,D, rZ, T′′), C = {0, . . . , c} とある自然数k で
あって、
.

.
.補題2.2
A = {0, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
あって、次を満たすものが存在する。
.

.
.補題2.2
A = {0, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
あって、次を満たすものが存在する。
.
pk
0 p1 = rk
0 r1.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題2.2 の証明
.
.Proof.
　まずは、1 r0 max{p0, p1} を任意に選ぶ。
.

.
.Proof.
ここで、充分k を大きくとりr1 := (p0/r1)k p1 が
r0 + r1 1 を満たすようにできる。
.

.
.Proof.
r0 + r1 1 を満たすようにできる。さらに、
r2 := 1 − r0 − r1 とおけば、
.

.
.Proof.
r2 := 1 − r0 − r1 とおけば、必要ならばr0 を大き
く取り直すことにより、
.

.
.Proof.
く取り直すことにより、次の不等式を得ることが
できる。
.

.
.Proof.
できる。Σ2
.
i=0
{−ri log2 ri} 5 h.

.
.Proof.
できる。Σ2
.
i=0
{−ri log2 ri} 5 h.
　したがって、あとは補題2.1 の主張と同様の議
論をすればよい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て目印の定義
二つのベルヌーイシフトが殆ど至る所連続な
写像Φによって測度同型になるという関係が
” 同値関係” になっている為、

” 同値関係” になっている為、(AZ,B, pZ, T),
(CZ,D, rZ, T′′) の間にそれぞれ求める測度同
型を構成すればよい。

そこで、補題2.1 の場合は、p0 = q0 を仮定
し、目印(記号列)MをM = 0 と定義する。

　補題2.2 の場合は、pk
0
p1 = qk
0
q1. を仮定し、
M = 0k1 と定義する。

　補題2.2 の場合は、pk
0
p1 = qk
0
q1. を仮定し、
M = 0k1 と定義する。ここで、0k とは0 がk
回連続して表われることを意味している。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て骨格の定義
以下では、増大する自然数列{Nr}r∈N
(0 N1, Nr Nr+1) を一つ固定して考える。

.
.定義3.1
　自然数 r と目印Mに対し、階数r の骨格s とい
うと、自然数r と次の図式の組を指す。
.

.
.定義3.1
　　　　　s : Mn0
.
l1
Mn1
l2
. . .
lm
Mlm

.
.定義3.1
　　　　　s : Mn0
.
l1
Mn1
l2
. . .
lm
Mlm
　ここで、lt(1 5 t 5 m), nt(0 5 t 5 m) は自然数
で、次の不等式を満たす。

.
.定義3.1
　　　　　s : Mn0
.
l1
Mn1
l2
. . .
lm
Mlm
　ここで、lt(1 5 t 5 m), nt(0 5 t 5 m) は自然数
で、次の不等式を満たす。
　　　nt Nr 5 min{n0, nm}(1 5 t 5 m − 1).

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て骨格の意味と階数、長さ
　骨格の定義において、Mn は目印Mがn回
連続して表われることを表す。

l
は目印を含
まない長さl の記号列を表す。

l
は目印を含
　自然数r も込めて考えているので、

l
は目印を含
　自然数r も込めて考えているので、二つの
骨格s, s′ が同じ図式であってもr が異なれ
ば、s, s′ は別の骨格として考える。

l
は目印を含
　骨格s における自然数r を骨格s の階数と
言って、r(s) とかく。

l
は目印を含
　骨格s における自然数r を骨格s の階数と
言って、r(s) とかく。
Σ　骨格s における長さとは、l(s) :=
m
t=1 lt の
ことを指す。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て部分骨格と骨格の階数分解(その1)
.
.定義3.2
.
　階数 r′ の骨格s′ が骨格s の部分骨格である
とは、

.
.定義3.2
.
とは、s′ の図式が適切な0 5 t t′ 5 mに
よって次のように書けることを言う。

.
.定義3.2
.
s′ : Mnt
lt+1
Mnt+1 . . .
lt′
Mlt′

.
.定義3.2
.
s′ : Mnt
lt+1
Mnt+1 . . .
lt′
Mlt′
　骨格s の二つの部分骨格s1, s2 が交わらな
いとは、

.
.定義3.2
.
s′ : Mnt
lt+1
Mnt+1 . . .
lt′
Mlt′
　骨格s の二つの部分骨格s1, s2 が交わらな
いとは、集合{t1, . . . , t′
1}, {t2, . . . , t′
2} が交わ
らないことを指す。

.
.定義3.2(続き)
.
　骨格 s の部分骨格の組(s1, . . . , sk) が骨格s
の分解であるとは、

.
.定義3.2(続き)
.
の分解であるとは、各s j たちが互いに交わら
ず、

.
.定義3.2(続き)
.
ず、かつ∪{15l5ktl, . . . , t′
} = {l0, . . . , m} とな
ることを指し、s = s1 × · · · × sk とかく。

.
.定義3.2(続き)
.
ず、かつ∪{15l5ktl, . . . , t′
} = {l0, . . . , m} とな
.
.補題3.3(骨格の階数分解)
　任意の階数 r が2 以上の骨格s は、
.

.
.定義3.2(続き)
.
ず、かつ∪{15l5ktl, . . . , t′
} = {l0, . . . , m} とな
.
.補題3.3(骨格の階数分解)
　任意の階数 r が2 以上の骨格s は、階数r − 1 の
部分骨格s j たちによって一意にs = s1 × · · · × sk
と分解する。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題3.3 の証明(その1)
.
.Proof.
　今、Nr−1 Nr 5 n0 なので、
.

.
.Proof.
　今、Nr−1 Nr 5 n0 なので、Nr−1 5 nt を満た
す最小のt , 0 について、
.

.
.Proof.
す最小のt , 0 について、骨格s の{0, . . . , t} の部
分を切り出せば、
.

.
.Proof.
分を切り出せば、階数r − 1 の部分骨格s1 が得ら
れる。
.

.
.Proof.
れる。t = mならばここで分解が完成し、
.

.
.Proof.
れる。t = mならばここで分解が完成し、そうで
なくともt から始めて以下帰納的に部分骨格を構
成していけば、
.

.
.Proof.
れる。t = mならばここで分解が完成し、そうで
なくともt から始めて以下帰納的に部分骨格を構
成していけば、長くともm回でt′
.
= mに到達し
て、階数分解が得られる。

.
.Proof.
　一意性については、二通りの分解
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
l があったとする。
.

.
.Proof.
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
まず、部分骨格s1, s′
1 についてt1 t′
1 であれば、
.

.
.Proof.
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
1 であれば、
nt1 Nr−1 5 nt1 より矛盾が出るので、
.

.
.Proof.
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
1 であれば、
nt1 Nr−1 5 nt1 より矛盾が出るので、対称性より
t1 = t′
1 となる。
.

.
.Proof.
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
1 であれば、
nt1 Nr−1 5 nt1 より矛盾が出るので、対称性より
t1 = t′
1 となる。以下、帰納的にk = l, ti = t′
i が
得られる。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て骨格とベルヌーイ系との関連性
　ベルヌーイ系(AZ,B, pZ, T) の点x ∈ AZ と
骨格s について、

骨格s について、s がx において現れるとは
次の状況を指す。

次の状況を指す。つまり、その前後に目印M
が現れないx の有限区間であって、

が現れないx の有限区間であって、骨格s に
おいて各
lt
を長さlt の目印を含まない記号
列を埋めることで得られるものが存在する。

おいて各
lt
　さらに、整数i についてx の第i 座標がs に
より被覆されるとは、

おいて各
lt
より被覆されるとは、上述の条件を満たすx
の有限区間であって、

おいて各
lt
より被覆されるとは、上述の条件を満たすx
の有限区間であって、第i 座標があるt の
lt
の部分に現れるものが存在することを指す。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当てベルヌーイ系における骨格の基本補題
.
.補題3.4(基本補題)
(a) 　整数i と目印Mについて、
.

.
(a) 　整数i と目印Mについて、殆どのx ∈ AZ
.
はその第i 座標が目印Mに含まれるか、

.
.
はその第i 座標が目印Mに含まれるか、それ
とも任意のr = 1 について一意な骨格sr(x) で
あって第i 座標を被覆するものが存在するか
のいずれかである。

.
.
(b) 　長さの増大列{Ln}n∈N が与えられると、

.
.
(b) 　長さの増大列{Ln}n∈N が与えられると、冒
頭の増大列{Nn}n∈N をうまくとって、

.
.
(b) 　長さの増大列{Ln}n∈N が与えられると、冒
頭の増大列{Nn}n∈N をうまくとって、殆どの
x ∈ AZ に対して十分大きなすべてのr が
l(sr(x)) = Lr を満たすようにできる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題3.4 の(a) の証明
.
.Proof.
　階数 Nr と目印Mの長さをk とし、
.

.
.Proof.
　階数 Nr と目印Mの長さをk とし、測度空間と
して(AZ,B, pZ), ({ANrk}Z,B′, {pNr k}Z) を同一視す
るとき、
.

.
.Proof.
るとき、i の属するブロックが第j ブロックである
とすると、
.

.
.Proof.
とすると、第j − 1 ブロックから第j − l ブロック
まで一度もMNr が現れない確率は(1 − pk(M)Nr)
.
l
であるから、

.
.Proof.
.
l
であるから、確率1 でx ∈ AZ はi より左側に最低
一回MNr が現れ、Mが有限個続いて止まる。

.
.Proof.
.
l
一回MNr が現れ、Mが有限個続いて止まる。零
集合の可算和は零集合なので、確率1 で任意の階
数r に対し両側にNr 回以上Mが続く区間があり、

.
.Proof.
.
l
一回MNr が現れ、Mが有限個続いて止まる。零
集合の可算和は零集合なので、確率1 で任意の階
数r に対し両側にNr 回以上Mが続く区間があり、
両側で一番i に近いところを端として骨格を構成
すればよい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題3.4 の(b) の証明
.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
とおいてl(sr(x)) Lr となる確率qr を
考えよう。

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
考えよう。第t 座標から第t − (Lr + 1)Lrk + 1 座
標までの様子は、

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
標までの様子は、骨格sr(x) の左端Mn0 が現れる
か否かで場合分けして考えれば、

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
か否かで場合分けして考えれば、最低(Lr − 1)Lr
回現れることがわかる。

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
回現れることがわかる。その確率は重複組み合わ
せを用い、

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
せを用い、(Lr−1)Lr+1H2Lrk(pk(M))(Lr−1)Lr と表され、
m = pk(M) を用いて、

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
2r
m = pk(M) を用いて、mLr((Lr−1)−2k(log2 3L/ log2 m)) と
評価される。

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
2r
m = pk(M) を用いて、mLr((Lr−1)−2k(log2 3L/ log2 m)) と
評価される。これにより
Σ∞
r=l qr → 0(l → ∞) が得
られ、証明が終わる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て目印過程と詰材の導入
　ベルヌーイ系(AZ,B, pZ, T) と長さk の目
印Mについて、

印Mについて、二点集合E = {0, 1} に
q0 = pk(M), q1 = 1 − q0 と確率測度を入れて
考えたベルヌーイ系を目印過程といい、

考えたベルヌーイ系を目印過程といい、その
エントロピーe を目印エントロピーと呼ぶ。
　この目印エントロピーを用いて、詰材エン
トロピーg を次で定義する。

g :=
h − e
1 − kpk(M)

g :=
h − e
1 − kpk(M)
　先述の補題の目印については、g 0 となる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て詰材に関する一連の定義
.
.定義4.1
　階数 r の骨格s に対して、その詰材集合F(s) と
は次の有限積測度空間である。
.

.
.定義4.1
.
F(s) =
Πm
i=1
Ali
0

.
.定義4.1
.
F(s) =
Πm
i=1
Ali
0
　ここで、Al
0 とはAl の元の中で目印Mが現れ
ないものを集めた集合で、

.
.定義4.1
.
F(s) =
Πm
i=1
Ali
0
　ここで、Al
0 とはAl の元の中で目印Mが現れ
ないものを集めた集合で、ここには正規化された
確率測度pl/(pl(Al
0
)) が入っている。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て詰材に関した記号の定義(その1)
　骨格s の詰材F ∈ F(s) と座標番号の集合
I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
k ∈ I(s) J に対して、次のように推移確率を
定義する。

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
p(k, F, J) = p(Xk = Xk(F)|(Xl = Xl(F)(l ∈ J)))

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
　ここでXk とは、第k 座標を返す確率変数、

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
Xk = Xk(F) は{ω ∈ F(s)|Xk(ω) = Xk(F)} と
いう意味で、

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
いう意味で、p(A|B) = p(A ∩ B)/p(B) であ
る。

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
いう意味で、p(A|B) = p(A ∩ B)/p(B) であ
る。pは詰材集合の確率測度である。

　先ほどの記号をもとにして次の二つの量を
定義する。

定義する。
η := min{p(k, F, J)|J, F, k : 0 p(k, F, J) 5 1}

定義する。
θ := max{p(k, F, J)|J, F, k : 0 5 p(k, F, J) 1}

定義する。
　ここで、階数分解s = s1 × · · · × sm があれ
ば、

定義する。
　ここで、階数分解s = s1 × Π· · · × sm があれ
ば、測度空間としてF(s) =
m
i=1
F(si) と詰
材集合も同一視できることに注意する。

定義する。
　ここで、階数分解s = s1 × Π· · · × sm があれ
ば、測度空間としてF(s) =
m
i=1
F(si) と詰
材集合も同一視できることに注意する。この
ことを利用して詰材集合に同値関係を導入
する。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て詰材集合上の同値関係の定義(その1)
　以下、実数の減少列ϵr ϵr+1, limr→∞ ϵr = 0 を
固定して考え、

固定して考え、階数r の骨格s の詰材F に対して
I(s) の部分集合J(F) を定義する。

.
.
　階数1 の骨格に対し、次のように定義する。

.
.
ΠJ(F) = {k : 1 5 k 5 l, k−1
η2−g(1−ϵ1)l}
i=1 p(i, F, {1, . . . , i − 1}) = 1

.
.
ΠJ(F) = {k : 1 5 k 5 l, k−1
η2−g(1−ϵ1)l}
i=1 p(i, F, {1, . . . , i − 1}) = 1
　それ以上の階数では、階数分解を用いて
F = F1 × · · · × Fm ∈ Πm
i=1
F(si) として、

.
.
ΠJ(F) = {k : 1 5 k 5 l, k−1
η2−g(1−ϵ1)l}
i=1 p(i, F, {1, . . . , i − 1}) = 1
　それ以上の階数では、階数分解を用いて
F = F1 × · · · × Fm ∈ Πm
i=1
F(si) として、
eJ(F) := ∪m
i=1
J(Fi) ⊂ I(s) と定義しておく。

.
.
　 I(s) eJ(F) の単調増加な番号付けを
{k1, . . . , kv} とし、J(F) を次で定義する。

.
.
J(F) := eJ(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v,

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l}

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l}
　詰材同士の同値関係をXk(F) = Xk(F′)
(k ∈ J(F)) と定義するために、

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l}
(k ∈ J(F)) と定義するために、F ∼ F′ ならば
J(F) = J(F′) を示す必要があるが、

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l}
(k ∈ J(F)) と定義するために、F ∼ F′ ならば
J(F) = J(F′) を示す必要があるが、J(F), J(F′) の
定義でのXk のF, F′ での値の一致からでる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て詰材集合の同値類の評価(その1)
　詰材集合F(s) をこの同値関係で割った集
合をe F(s) とかき、

合をe F(s) とかき、詰材Fの同値類を[F] とか
く。

く。この集合には、詰材集合から自然に確率
測度p0 が導かれる。

.
.補題4.2
(a) 　階数r 長さl の骨格s の詰材F ∈ F(s) は、
.
次の不等式を満たす。

.
.補題4.2
(a) 　階数r 長さl の骨格s の詰材F ∈ F(s) は、
.
次の不等式を満たす。
p0([F]) = 2−g(1−ϵr)l

.
.補題4.2(つづき)
(b) 　任意のδ 0, r に対して、
.

.
(b) 　任意のδ 0, r に対して、ある長さ
.
l0 =l0(δ, r) 以上の長さl を持つ階数r の骨格s
の詰材F ∈ F(s) は測度δ 以下の集合のものを
除き次を満たす。

.
.
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l

.
.
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
(c) 　任意のδ 0, r に対して、

.
.
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
(c) 　任意のδ 0, r に対して、ある長さ

.
.
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
(c) 　任意のδ 0, r に対して、ある長さ
除き次を満たす。　　#(J(F))
l = 1 − 4g
| log2 θ|ϵr

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題4.2(a) の証明
.
.Proof.
　 J(F) の定義における最大のku をとり、以下の
ように評価する。
.

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})
p(Xk = Xk(F)(k ∈ eJ(F))

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})
p(Xk = Xk(F)(k ∈ eJ(F))=
p(ku,F,eJ(F)∪{k1,...,ku−1})
η 2−g(1−ϵr)l = 2−g(1−ϵr)l

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当てバーコフのエルゴード定理
.
.定理4.3（バーコフのエルゴード定理）
　確率空間 (X,B, p) とエルゴード的な保測写像T
において、
.

.
において、f ∈ L1(X,B, p) に対して次がω − a.s
で成り立つ。
.

.
において、f ∈ L1(X,B, p) に対して次がω − a.s
で成り立つ。
.
lim
n→∞
1
n
Σn−1
k=0
f (Tk(ω)) =
∫
X
f dp

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当てシャノン-マクミルマン-ブライマンの定理
.
定理4.4（シャノン-マクミルマン-ブライマンの
定. 理）
において、
.

.
定. 理）
において、X の有限分割P = {P1, . . . , Pk} に対し
て次がω − a.s で成り立つ。
.

.
定. 理）
.
lim
n→∞
1
n
Σ
i1,...,in
χPi1,...,in(ω) log2 p(Pi1,...,in) = hp(T, P)

.
定. 理）
.
lim
n→∞
1
n
Σ
i1,...,in
χPi1,...,in(ω) log2 p(Pi1,...,in) = hp(T, P)
　ここでPi1,...,in = ∩n
k=1
T−(k−1)Pik でχ は特性関数
を表す。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題4.2(b) の証明（途中まで）
.
.Proof.
　骨格 F ∈ F(s) はJ(F) = I(s) であるか、
.

.
.Proof.
　骨格 F ∈ F(s) はJ(F) = I(s) であるか、そうで
なければJ(F) の定義における最大のku をとって
以下のように評価される。
.

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F)∪{k1, . . . , ki−1})

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F)∪{k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) 5 1
η2−g(1−ϵr)l

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F)∪{k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
η2−g(1−ϵr)l を満たす詰材
　したがって、p(F) 1
F ∈ F(s) の集合の大きさがl 大きくすることでい
くらでも小さく評価できればよい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題4.2(c) の証明（途中まで）
.
.Proof.
　詰材 F ∈ F(s) であって件の不等式を満たさな
い、
.

.
.Proof.
い、つまり#(J(F))
.
l 1 − 4g
| log2 θ|ϵr を満たしているな
らば、

.
.Proof.
.
l 1 − 4g
らば、[ 4gl
| log2 θ|ϵr] 個のI(s) J(F) の元がある。

.
.Proof.
.
l 1 − 4g
らば、[ 4gl
| log2 θ|ϵr] 個のI(s) J(F) の元がある。各
lt
でI(s) J(F) の左端の座標の推移確率は1 未満で
あるから、

.
.Proof.
.
l 1 − 4g
らば、[ 4gl
lt
あるから、少なくとも[ 2gl
| log2 θ|ϵr] 個の推移確率が1
未満なので次の評価が成り立つ。

.
.Proof.
.
l 1 − 4g
らば、[ 4gl
lt
あるから、少なくとも[ 2gl
| log2 θ|ϵr] 個の推移確率が1
未満なので次の評価が成り立つ。
p(F) 5
1
θ
p0([F])θ2glϵr/| log2 θ| 5
1
ηθ
2−g(1+ϵr)l

.
.主張
　次のそれぞれの不等式について、これを満たす
詰材F ∈ F(s) の集合の大きさはl を大きくするこ
とでいくらでも小さく評価できる。
.

.
.主張
　次のそれぞれの不等式について、これを満たす
詰材F ∈ F(s) の集合の大きさはl を大きくするこ
とでいくらでも小さく評価できる。
.
p(F) =
1
η
2−g(1−ϵr)l, p(F) 5
1
ηθ
2−g(1+ϵr)l

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て先ほどの主張の証明(その1)
.
.Proof.
　次の不等式を満たす詰材の集合が小さく評価で
きることを言えばよい。
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr

.
.Proof.
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr
　ここで、目印過程の”1” を1k に置き換えたも
のΩを考えれば、

.
.Proof.
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr
のΩを考えれば、これは目印過程と測度同型にな
るが、

.
.Proof.
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr
のΩを考えれば、これは目印過程と測度同型にな
るが、元のベルヌーイ系からシフトと両立的な可
測写像Φ; AZ → Ω ⊂ EZ が自然に得られる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て先ほどの主張の証明（その2）
.
.Proof.
　骨格が目印の部分も含めて第 q 座標から第r 座
標まで現れるとすると、
.

.
.Proof.
標まで現れるとすると、詰物のところをF ∈ F(s)
で埋めたものをyi(q 5 i 5 r) とすれば、次の等式
が成立する。
.

.
.Proof.
が成立する。
.
pZ({xi = yi}) = p(F)q′(exi = Φ(yi))

.
.Proof.
が成立する。
.
pZ({xi = yi}) = p(F)q′(exi = Φ(yi))
　この等式から1l
log2 p(F) → g(l → ∞)”a.s” を
導くことを考えると、まずシャノン-マクミルマ
ン-ブライマンの定理から次の概収束が使え
る。

.
.Proof.
　　　 1
.
r−q
Σr
i=q log2 pxi
→ −h a.s (1)

.
.Proof.
　　　 1
.
r−q
Σr
i=q log2 pxi
→ −h a.s (1)
r−q log2 q′(exi = Φ(yi)) → −e a.s (2)
　　1

.
.Proof.
　　　 1
.
r−q
Σr
i=q log2 pxi
→ −h a.s (1)
　　1
　さらに、f ∈ L1(AZ) を第0 座標から第k − 1 座
標まで見て目印だったら−k そうでなければ0 を
返す関数にエルゴード定理を適用すれば、

.
.Proof.
　　　 1
.
r−q
Σr
i=q log2 pxi
→ −h a.s (1)
　　1
　さらに、f ∈ L1(AZ) を第0 座標から第k − 1 座
標まで見て目印だったら−k そうでなければ0 を
返す関数にエルゴード定理を適用すれば、
　　l(s)/(r − q) →
∫
AZ(1 − f ) = 1 − kη a.s (3)
が得られて、−((1) − (2))/(3) から目的の概収束が
言えて、主張と補題4.2 の証明が終わる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て団体の概念
.
.定義5.1(団体の定義)
　U, V をそれぞれ確率測度ρ, σを持つ有限集合と
する。
.

.
する。
　U からV への団体とは、
.

.
する。
　U からV への団体とは、P(V) をV の部分集合
を集めたものとする時、写像S : U → P(V) で
あって任意のB ⊂ U に対して次が満たされるもの
のことを指す。
.

.
する。
　U からV への団体とは、P(V) をV の部分集合
を集めたものとする時、写像S : U → P(V) で
あって任意のB ⊂ U に対して次が満たされるもの
のことを指す。
.
ρ(B) 5 σ(S(B)) (S(B) = ∪b∈BS(b))

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て団体の順序と双対
.
.定義5.2(団体の順序、双対)
　U からV への団体R, S について、半順序R 5 S
とは任意のb ∈ U に対してR(b) ⊆ S(b) が成り立
つことを指すものとする。
.

.
　また団体S に対して、その双対S∗ とはV から
P(U) への写像であって、次の式で定義される。
.

.
　g ∈ V に対して、S∗(g) := {b ∈ U : g ∈ S(b)}.
.

.
.
　g ∈ V に対して、S∗(g) := {b ∈ U : g ∈ S(b)}.
　次の補題は基本的なので証明は省略する。例え
ばKaene のFinitary Codes の第三節を見れば
よい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て団体の結成補題
.
.補題5.3(結成補題)
　 S をU からV への団体とすると次の二つが成り
立つ。
.

.
立つ。
(1) S の双対S∗ はV からU への団体である。
.

.
立つ。
(2) U からV への団体RでR 5 S と次を満たすも
.
のが存在する。

.
立つ。
.
　#{g ∈ V : b1 , b2 s.t g ∈ R(b1) ∩ R(b2)} #(U)

.
立つ。
.
　#{g ∈ V : b1 , b2 s.t g ∈ R(b1) ∩ R(b2)} #(U)
(3) 　また、団体Si : Ui → P(Vi), (1 5 i 5 n) に
対して、積S1 × · · · × Sn も団体である。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て割り当て構成のための準備
.
　割り当ての構成は以下の順序で行う。
.

.
　二つのエントロピーが同じベルヌーイ系
(AZ,B, pZ, T), (BZ, C, qZ, T) があったとき、
.

.
(AZ,B, pZ, T), (BZ, C, qZ, T) があったとき、まず
は減少列ϵ1 · · · ϵr ϵr+1 · · · → 0, δ1
· · · δr δr+1 · · · → 0 をとって、
.

.
は減少列ϵ1 · · · ϵr ϵr+1 · · · → 0, δ1
· · · δr δr+1 · · · → 0 をとって、補題4.2 にお
けるli(δr, ϵr), (i = 1, 2) についてLr = li(δr, ϵr) と
limr→∞ Lr(ϵr−1 − ϵr) = +∞が満たされるようにと
る。
.

.
は減少列ϵ1 · · · ϵr ϵr+1 · · · → 0, δ1
· · · δr δr+1 · · · → 0 をとって、補題4.2 にお
けるli(δr, ϵr), (i = 1, 2) についてLr = li(δr, ϵr) と
limr→∞ Lr(ϵr−1 − ϵr) = +∞が満たされるようにと
る。この後で各点に対して基本補題を適用し、Nr
をとる。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て割り当ての構成(その1)
.
　ここで、骨格 s に対して(BZ, C, qZ, T) にも詰物
集合G(s), eG(s), η′, θ′, 詰物エントロピーg′(= g),
詰物測度q, q0 が定義できることに注意する。
.

.
　階数r に対し割り当てR• を帰納的に構成する。
.

.
　階数1 の骨格s についてSs は、e F(s) からeG(s)
への団体であって、
.

.
への団体であって、任意の詰物[F] ∈ e F(s) にeG(s)
を対応させる。
.

.
への団体であって、任意の詰物[F] ∈ e F(s) にeG(s)
を対応させる。ここで、補題5.3(2) を用いてより
小さな団体Rs 5 Ss を一つ取る。
.

.
　次に偶数階数で階数分解 s = s1 × · · · × s j の部
分骨格si に対して、e F(si) からeG(si) への割り当て
Rsi が構成されたと仮定する。
.

.
　¯G
.
(s) :=
Πj
i=1
eG(si) から¯F
(s) :=
Πj
i=1
e F(si) への
団体Ss = R∗
s1
× · · · × R∗
s j
= (Rs1
× · · · × Rs j)∗ を考
える。

.
　¯G
.
(s) :=
Πj
i=1
eG(si) から¯F
(s) :=
Πj
i=1
e F(si) への
団体Ss = R∗
s1
× · · · × R∗
s j
= (Rs1
× · · · × Rs j)∗ を考
える。
　詰物集合の定義を考えると¯F
(s) ∋ Fには、互い
に交わらない同値類の集合Φ(F) ∈ P( e F(s)) が対
応していて測度が保たれること(団体) がわかる。

.
　団体Φ ◦ Ss に対して再び補題5.3(2) を適用する
ことで¯G
.
(s) からe F(s) への団体Ts が得られ、

.
ことで¯G
.
(s) からe F(s) への団体Ts が得られ、¯F
(s)
からeG(s) への同様の団体Ψを用いることでeG(s)
からe F(s) への団体Rs = Ts ◦ Ψが得られる。

.
ことで¯G
.
(s)
　奇数階数で階数分解s = s1 × · · · × s j の部分骨
格si に対して、eG(si) からe F(si) への割り当てRsi
が構成された場合も、

.
ことで¯G
.
(s)
　奇数階数で階数分解s = s1 × · · · × s j の部分骨
格si に対して、eG(si) からe F(si) への割り当てRsi
が構成された場合も、FとGを入れ替えて先ほど
の場合とまったく同じ議論をすれば団体e F(s) か
らeG(s) への団体Rs が得られる。
　以上で主定理を証明の準備が終わった。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て主定理1.1 の証明(その1)
.
.Proof.
　目印 Mを共有するエントロピーの等しいベル
ヌーイ系(AZ,B, pZ, T), (BZ, C, qZ, T) を考える。
.

.
.Proof.
　可測写像Φ : AZ → BZ を次で構成していく。
.

.
.Proof.
　Φ(x) の第t 座標はx の第t 座標が目印Mに当た
るときは、xt と同じものと定義する。
.

.
.Proof.
　Φ(x) の第t 座標はx の第t 座標が目印Mに当た
るときは、xt と同じものと定義する。
　それ以外の場合は零集合を除いて、補題3.4 の
x とNr( 固定) によって第t 座標を被覆する骨格
sr(x) が存在するので、次のような集合上で零集合
を除いてΦ(x) の第t 座標を定義すればよい。
.

.
.
X′ := {x ∈ AZ : sr(x) = sr ∀r = 1}

.
.
X′ := {x ∈ AZ : sr(x) = sr ∀r = 1}
　補題4.2(a) の不等式を偶数階数の骨格
sr = s1 × · · · × sn の階数分解の各部分骨格に適用
して次の式を得る。

.
.
X′ := {x ∈ AZ : sr(x) = sr ∀r = 1}
して次の式Σ
を得る。
　　1 =
[G] q0([G]) = #(eG(si))2−g′(1−ϵr−1)lsi

.
.
X′ := {x ∈ AZ : sr(x) = sr ∀r = 1}
して次の式Σ
を得る。
　　1 =
[G] q0([G]) = #(eG(si))2−g′(1−ϵr−1)lsi
　#( ¯G
(sr)) =
Πn
i=1 #(eG(sr)) 5 2g′(1−ϵr−1)lsr (α)

.
.
X′ := {x ∈ AZ : sr(x) = sr ∀r = 1}
して次の式Σ
を得る。
　　1 =
[G] q0([G]) = #(eG(si))2−g′(1−ϵr−1)lsi
　#( ¯G
(sr)) =
Πn
i=1 #(eG(sr)) 5 2g′(1−ϵr−1)lsr (α)
　この不等式と割り当てを用いて次の集合の確率
を計算する。

.
　 M:= {F∈ F(sr) :∃! ¯G
.
∈ ¯G(sr) s.t F ∈ Rsr(¯G
)}

.
　 M:= {F∈ F(sr) :∃! ¯G
.
)}
　各F ∈ F(sr) はR∗
s が団体なので、必ず少なくと
も一つはこのような¯Gが存在する。

.
　 M:= {F∈ F(sr) :∃! ¯G
.
)}
も一つはこのような¯Gが存在する。したがって、
その補集合の確率は補題4.2(b) と補題5.3(2) を用
いて次のように評価できる。

.
　 M:= {F∈ F(sr) :∃! ¯G
.
)}
¯G
¯G
¯Gも一つはこのようなが存在する。したがって、
Σ　　{p(F)|∃ ∈ 1 , 2 s.t F Rsr( i) (i = 1, 2)}
¯G

.
　 M:= {F∈ F(sr) :∃! ¯G
.
)}
¯G
¯G
Σ　　{p(F)|∃ 1 , s.t F ∈ 2 ¯GRsr( i) (i = 1, 2)}5
η2−g(1−ϵr)lr#( ¯G
δr + 1
(sr)) 5
(α)
η2g′(1−ϵr−1)−g(1−ϵr)lr
δr + 1

.
　 M:= {F∈ F(sr) :∃! ¯G
.
)}
¯G
¯G
Σ　　{p(F)|∃ 1 , s.t F ∈ 2 ¯GRsr( i) (i = 1, 2)}5
η2−g(1−ϵr)lr#( ¯G
δr + 1
(sr)) 5
(α)
η2g′(1−ϵr−1)−g(1−ϵr)lr
δr + 1
5
g=g′
η2−g(ϵr−1−ϵr)lr → 0 (r → ∞)
δr + 1

.
　したがって、x ∈ X′ に対してFr(x) ∈ F(sr) をx
で定まる詰物とすると、殆どすべてのx ∈ X′ に少
なくとも一つ偶数r があってFr(x) はただ一つの
同値類¯G
.
′(x) ∈ ¯G(sr) の像になる。

.
同値類¯G
.
′(x) のeG(sr−1)
′(x) ∈ ¯G(sr) の像になる。¯G
の成分を¯G
(x) と書くことにする。

.
同値類¯G
.
の成分を¯G
　今G¯(′) := {G¯(′)(x)|x ∈ X′} とし{t J(¯G
(x))|¯G
}
の条件付確率は、

.
同値類¯G
.
の成分を¯G
　今G¯(′) := {G¯(′)(x)|x ∈ X′} とし{t J(¯G
(x))|¯G
}
の条件付確率は、添字集合I(sr−1) 上の決められた
位置に第t 座標が現れる確率が1/lsr−1 なので補題
4.2(c) を用いて次のように評価できる。

.
q0(Δr−1)/q0(¯G
.
)+q0({t J(¯G(x))|Δc
r−1
})/q0(¯G
∩Δc
r−1
)

.
q0(Δr−1)/q0(¯G
.
)+q0({t J(¯G(x))|Δc
r−1
})/q0(¯G
∩Δc
r−1
)
5 δr−1/q0(¯G
) +
4g′
| log θ′|q0(¯G
∩Δc
r−1
)
ϵr

.
q0(Δr−1)/q0(¯G
.
)+q0({t J(¯G(x))|Δc
r−1
})/q0(¯G
∩Δc
r−1
)
5 δr−1/q0(¯G
) +
4g′
| log θ′|q0(¯G
∩Δc
r−1
)
ϵr
　ここで、Rr が団体であったことを思い出すと、
p0(M) 5 q0(R∗
sr
(M)) = q0( ¯G
′) 5 q0(¯G
) なので、

.
q0(Δr−1)/q0(¯G
.
)+q0({t J(¯G(x))|Δc
r−1
})/q0(¯G
∩Δc
r−1
)
5 δr−1/q0(¯G
) +
4g′
| log θ′|q0(¯G
∩Δc
r−1
)
ϵr
p0(M) 5 q0(R∗
sr
(M)) = q0( ¯G
′) 5 q0(¯G
) なので、上
の式の右辺はr を大きくすることで0 に収束する
ことがわかり、次の結論が従う。

.
q0(Δr−1)/q0(¯G
.
)+q0({t J(¯G(x))|Δc
r−1
})/q0(¯G
∩Δc
r−1
)
5 δr−1/q0(¯G
) +
4g′
| log θ′|q0(¯G
∩Δc
r−1
)
ϵr
p0(M) 5 q0(R∗
sr
(M)) = q0( ¯G
′) 5 q0(¯G
) なので、上
の式の右辺はr を大きくすることで0 に収束する
ことがわかり、次の結論が従う。
　殆ど全てのx ∈ X′ は最低一つの偶数r につい
て、Fr(x) に唯一の¯G
(x) がありFr(x) ∈ Rsr(¯G
(x))
を満たし、第t 座標はJ(¯G
(x)) に現れる。

.
　この時に ¯G
.
(x) の第t 座標をΦ(x)t とすれば、こ
れは¯G
(x) の同値類の取り方によらない。

.
　この時に ¯G
.
れは¯G
　ここで、Φ(x)t がr によらないことを見る。

.
　この時に ¯G
.
れは¯G
　r1 r2 としてFr1(x) のsr2 の部分はFr2(x) と一
致しており、次の事実が成り立つ。

.
　この時に ¯G
.
れは¯G
　　　　　　R 5 S −→ R∗ 5 S∗

.
　この時に ¯G
.
れは¯G
　　　　　　R 5 S −→ R∗ 5 S∗
　R1 5 S1, R2 5 S2 −→ R1 × R2 5 S1 × S2

.
　この時に ¯G
.
れは¯G
　　　　　　R 5 S −→ R∗ 5 S∗
　R1 5 S1, R2 5 S2 −→ R1 × R2 5 S1 × S2
　したがって、写像を追うことにより¯G
r1(x) のsr2
の部分はGr2(x) と一致して、第t 座標も一致する
ことがわかる。

.
　よって、Φ(x) := {Φ(x)t} と定義すればΦ(x) の
有限区間の情報はx の有限区間のそれで決まるの
で殆どいたるところ連続で特に可測である。
.

.
　Ψ : BZ → AZ を奇数階数の骨格を用いて同様
に定義すると、各成分の階数r の非依存性を証明
したときと同様の方法で、Ψが殆ど連続かつ可測
でΦの逆写像であることが確認できる。
.

.
　Ψ : BZ → AZ を奇数階数の骨格を用いて同様
に定義すると、各成分の階数r の非依存性を証明
したときと同様の方法で、Ψが殆ど連続かつ可測
でΦの逆写像であることが確認できる。
　シフト写像と可換になることはΦ,Ψが詰物だ
けで決まっており、これが現れる位置に依存して
いないことから明らかである。
.

.
　最後にチェックするのは測度を保っているかど
うかであるが、骨格の取り方は高々可算であるの
で、これを固定して考えることができる。
.

.
　筒状集合L := {x ∈ BZ|xi = ai(−n 5 i 5 n)} と
Φ
.
−1
r (L) := {y ∈ Φ
−1(L)|¯G
r(y)i = ai(−n 5 i 5 n)}
について、

.
Φ
.
−1
r (L) := {y ∈ Φ
−1(L)|¯G
r(y)i = ai(−n 5 i 5 n)}
−1
r (L) = Φ
について、∪rΦ
−1(L) が成り立ち、

.
Φ
.
−1
r (L) := {y ∈ Φ
−1(L)|¯G
r(y)i = ai(−n 5 i 5 n)}
−1
r (L) = Φ
−1(L) が成り立ち、全単
射性からL = ∪r{x ∈ BZ|∃y ∈ AZ : xi = ¯G
r(y)i} よ
り、各r ごとに詰め物の測度を比較すればよい。

.
Φ
.
−1
r (L) := {y ∈ Φ
−1(L)|¯G
r(y)i = ai(−n 5 i 5 n)}
−1
r (L) = Φ
−1(L) が成り立ち、全単
射性からL = ∪r{x ∈ BZ|∃y ∈ AZ : xi = ¯G
r(y)i} よ
り、各r ごとに詰め物の測度を比較すればよい。
　p0(Fr(y)) 5 q0(R∗
sr
(Fr(y))) = q0(¯G
r(y)) より対称
性から両者を足し合わせて等式を得る。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て参考文献(その1)
M. Keane and M. Smorodinsky, Bernoulli
schemes of the same entropy are finitarily
isomorphic, Ann. of Math. (2) 109 (1979), 397
―406.
M. Keane and M. Smorodinsky, A class of
finitary codes, Israel Journal of Math. 26
(1977), 352―371.
P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory,
Graduate Texts in Math., vol. 79,
Springer-Verlag, New York, 1982.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て参考文献(その2)
M. Smorodinsky, Entropy Theory, Entropy,
Lecture Notes in Mathematics,
No.214,Springer-Verlag (1971)
D. Ornstein, Bernoulli shifts with the same
entropy are isomorphic, Advances in Math. 4
(1970), 337-352.
R. Bowen, Equilibrium States and the Ergodic
Theory of Anosov Diffeomorphisms, 2nd-ed,
Lecture Notes in Mathematics, No. 470,
Springer-Verlag, 2008.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て生きねば。
ありがとうございました。

Tsulide

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (19)

Similar to Tsulide (20)

Tsulide