Turunan

Turunan

• 1.
  TURUNAN/DERIVATIF 1. Definisi Turunan Definisi : Turunan dari 𝑓 𝑥 terhadap x adalah fungsi 𝑓′ 𝑥 yang didefinisikan oleh 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 = lim 𝑕→0 𝑕 jika nilai limit ini ada. Contoh 1 : Carilah turunan dari 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 menggunakan definisi turunan dan hitunglah nilai turunan tersebut di titik 𝑥 = −5. 𝑓 𝑥+ 𝑕 − 𝑓 𝑥 𝑥 + 𝑕 2 − 𝑥2 𝑓 ′ 𝑥 = lim = lim 𝑕→0 𝑕 𝑕→0 𝑕 𝑥 2 + 2𝑕𝑥 + 𝑕2 − 𝑥 2 2𝑕𝑥 + 𝑕2 = lim = lim 𝑕→0 𝑕 𝑕→0 𝑕 2𝑥 + 𝑕 𝑕 = lim = lim (2𝑥 + 𝑕) 𝑕→0 𝑕 𝑕 →0 = 2𝑥 + 0 = 2𝑥 Jadi, turunan dari 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 sehingga 𝑓 ′ −5 = 2. −5 = −10. Definisi : Fungsi 𝑓 𝑥 dikatakan diferensiabel/dapat diturunkan di titik x = a jika 𝑓′ 𝑎 ada. Fungsi 𝑓 𝑥 dikatakan fungsi diferensiabel jika 𝑓 𝑥 dapat diturunkan di semua titik pada daerah asalnya ( 𝑓′ 𝑥 ada untuk semua titik). Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 termasuk fungsi yang diferensiabel. 2. Notasi Turunan Jika suatu fungsi dapat dituliskan dengan 𝑦 = 𝑓 𝑥 , maka turunan fungsi tersebut dapat dinotasikan oleh beberapa notasi berikut yang memiliki arti yang sama. 𝑑𝑦 𝑑 𝑦′ = = 𝑦 = 𝐷 𝑥 (𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 atau 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑 𝑓 ′ (𝑥) = = 𝑓(𝑥) = 𝐷 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Nilai turunan di suatu titik x = a dapat ditulis 𝑑𝑓 𝑑𝑦 𝑓′ 𝑎 = = 𝑦′ 𝑥 =𝑎 = 𝑑𝑥 𝑥 =𝑎 𝑑𝑥 𝑥 =𝑎 Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 1
• 2.
  3. Interpretasi Turunan Berikut adalah beberapa interpretasi terpenting dari turunan yang berasal dari definisi turunan itu sendiri. Interpretasi ini berguna untuk memperjelas konsep dan definisi turunan. a. Turunan sebagai laju perubahan (Rates of Change) Laju perubahan merupakan interpretasi yang paling penting dari konsep turunan karena setiap permasalahan yang berkaitan dengan turunan selalu dapat dipandang sebagai masalah laju perubahan. Laju perubahan adalah bagaimana suatu kuantitas mengalami perubahan dilihat dari perubahan kuantitas lainnya. Contoh : kecepatan rata-rata suatu mobil merupakan perubahan jarak yang ditempuh mobil dalam suatu selang waktu; seberapa cepat minyak akan habis jika tangki mengalami kebocoran merupakan perubahan volume minyak terhadap waktu; berapa banyak pertambahan jumlah penduduk dalam satu tahun; dan sebagainya. b. Turunan sebagai kemiringan/gradien garis singgung fungsi (arti geometris) Jika suatu fungsi 𝑓 𝑥 digambarkan grafiknya, kemudian dibuat suatu garis singgung (yang tidak vertikal) di suatu titik misal 𝑥 = 𝑎 , maka kemiringan garis tersebut merupakan nilai turunan di titik tersebut, yaitu 𝑓′ 𝑎 . Suatu fungsi yang mempunyai garis singgung di semua titik berarti fungsi tersebut diferensiabel, atau fungsi yang diferensiabel pasti memiliki garis singgung di semua titik. Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 2
• 3.
  Rumus kemiringan/gradien garis: perubahan 𝑦 ∆y 𝑚= = perubahan 𝑥 Δ𝑥 Dari gambar di atas, jika kurva tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsi 𝑓(𝑥), maka gradien garis singgung di 𝑥 = −2 adalah 5,75 − (−0,75) 6,5 𝑚= = = 6,5 −1 − (−2) 1 Dengan demikian 𝑓 ′ −2 = 6,5. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 𝑓 ′ 3 = −1,5. Perhatikan kembali contoh 1, fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 memiliki fungsi turunan 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 yang merupakan fungsi real, ini artinya turunannya ada untuk setiap x, dengan kata lain fungsi ini pasti memiliki garis singgung di semua titik dengan kemiringan yang berbeda-beda. c. Turunan sebagai kecepatan sesaat (arti fisis) Salah satu interpretasi turunan yang paling mudah dipahami adalah masalah kecepatan sesaat. Meskipun kecepatan sesaat merupakan kasus khusus dari laju perubahan, namun masalah ini juga merupakan salah satu dari awal lahirnya konsep turunan. Jika kecepatan rata-rata merupakan laju perubahan jarak terhadap perubahan waktu, maka kecepatan sesaat merupakan laju perubahan jarak jika perubaha n waktu sangat kecil. Misalkan sebuah mobil melakukan perjalanan sejauh 100 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata mobil adalah 100/2 = 50 km/jam. Pada kenyataannya , mobil tidak selalu dalam kecepatan 50 km/jam. Jika ingin mengetahui kecepatan mobil pada waktu (jam, menit, bahkan detik) tertentu, maka hanya bisa diketahui dengan melihat speedometer pada saat itu. Kecepatan yang ditunjukkan speedometer inilah yang disebut kecepatan sesaat. Jika 𝑓 𝑡 adalah fungsi jarak dalam waktu (t), maka 𝑓′ 𝑎 adalah kecepatan saat 𝑡 = 𝑎. Dengan demikian, jika dihubungkan dengan arti geometrisnya, kemiringan garis singgung menyatakan besar kecepatan sekaligus arah gerak. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat memperjelas interpretasi di atas. a. Sebuah roket ditembakkan vertikal ke angkasa. Jika 𝑆 𝑡 adalah fungsi yang menyatakan posisi roket atau jarak roket dari permukaan bumi pada detik ke-t, maka 𝑆′ 𝑡 adalah kecepatan roket tepat saat detik ke-t. Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 3
• 4.
  b. Jika suatuperusahaan memperoleh pendapatan setelah t tahun sebesar 𝑃 𝑡 , maka 𝑃′ 𝑡 menyatakan laju pertumbuhan pendapatan perusahaan pada tahun ke-t. c. Jika suatu perusahaan mengeluarkan biaya produksi x barang sebesar 𝐶 𝑥 , maka 𝐶′ 𝑥 menyatakan laju pertambahan atau pengurangan biaya saat sejumlah x barang diproduksi. d. Jika 𝑀 𝑡 menyatakan jumlah penduduk setelah t tahun, maka 𝑀′ 𝑡 menyatakan laju pertumbuhan penduduk saat tahun ke-t. Jelaslah bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan turunan, karena tidak semua hal dapat dibuat fungsinya, akan tetapi dengan menerapkan berbagai bidang ilmu lain, maka semua permasalahan akan memerlukan konsep turunan sebagai cara pemecahannya, khususnya dalam sains, ekonomi, demografi, dan sebagainya. 4. Aturan Turunan Berikut ini adalah teorema aturan turunan yang berasal dari definisi turunan itu sendiri. Aturan ini akan memudahkan perhitungan turunan yang jika dikerjakan langsung dengan definisinya akan sangat panjang dan rumit. a. Turunan Konstanta Jika 𝑓 𝑥 = 𝑐 , dengan c konstanta sebarang, maka 𝑑 𝑓 ′ (𝑥) = 0 atau (𝑐) = 0 𝑑𝑥 b. Aturan Pangkat Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 , dengan n sebarang bilangan, maka 𝑑 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 atau (𝑥 𝑛 ) = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 c. Aturan Penjumlahan/Pengurangan Jika 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥), dengan 𝑓 𝑥 dan 𝑔(𝑥) diferensiabel, maka 𝑑 𝑕′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) ± 𝑔′ 𝑥 atau 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 ± 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 d. Konstanta-Fungsi Jika 𝑕 𝑥 = 𝑘𝑓(𝑥), dengan k sebarang bilangan, dan f(x) diferensiabel, maka 𝑑 𝑕′ (𝑥) = 𝑘𝑓 ′ 𝑥 atau 𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 e. Aturan Perkalian Jika 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) , dengan 𝑓 𝑥 dan 𝑔(𝑥) diferensiabel, maka Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 4
• 5.
  𝑑 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑔(𝑥) 𝑕′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 atau 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 f. Aturan Pembagian 𝑓 𝑥 Jika 𝑕 𝑥 = , dengan 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) diferensiabel, dan 𝑔(𝑥) ≠ 0 maka 𝑔 (𝑥 ) 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑔(𝑥) ′ 𝑕 (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 atau 𝑑 𝑓 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) 2 Contoh 2 : 𝑑 a. 𝑓 𝑥 = 5 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 0 atau 5 =0 𝑑𝑥 𝑑 𝑓 𝑥 = −100 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 0 atau −100 = 0 𝑑𝑥 𝑑 b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 1 atau 𝑥 =1 𝑑𝑥 𝑑 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 atau 𝑥 3 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 1 −2 𝑑 1 2 𝑓 𝑥 = = 𝑥 −2 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = −2𝑥 −3 = 3 atau =− 3 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑥 1 1 −1 1 𝑑 1 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥2 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 2= atau 𝑥 = 2 2 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑 c. 𝑓 𝑥 = −2𝑥 3 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = −6𝑥 2 atau −2𝑥 3 = −6𝑥 2 𝑑𝑥 5 𝑑 5 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = atau 5 𝑥 = 2 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 d. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 𝑥 2 − 5𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑥 3 2𝑥 − 5 = 3𝑥 4 − 15𝑥 3 + 2𝑥 4 − 5𝑥 3 = 5𝑥 4 + 10𝑥 3 atau 𝑑 3 2 𝑑(𝑥 3 ) 2 𝑑(𝑥 2 − 5𝑥) 𝑥 𝑥 − 5𝑥 = 𝑥 − 5𝑥 + 𝑥 3 = 5𝑥 4 + 10𝑥 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2𝑥 3𝑥 −2 −𝑥 2 .3 3𝑥 2 −4𝑥 e. 𝑓 𝑥 = ⇒ 𝑓′ 𝑥 = = atau (3𝑥 −2) 3𝑥 −2 2 3𝑥 −2 2 𝑑(𝑥 2 ) 𝑑(3𝑥 − 2) 𝑑 𝑥 2 3𝑥 − 2 − 𝑥 2 . 3𝑥 2 − 4𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 (3𝑥 − 2) 3𝑥 − 2 2 3𝑥 − 2 2 Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 5
• 6.
  5. Aturan Rantai(Chain Rule) Aturan rantai merupakan salah satu teorema penting dalam kalkulus yang selalu muncul dalam perhitungan turunan dan anti-turunan (integral). Aturan ini digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi- fungsi komposisi (gabungan banyak fungsi) atau fungsi yang berada dalam fungsi. Bandingkan beberapa contoh fungsi- fungsi berikut : 2 𝑓 𝑥 = 𝑥5 ; 𝑚 𝑡 = 3 𝑡 ; 𝑦= 𝑥3 Dengan beberapa fungsi berikut : 3 2 𝑕 𝑥 = (2𝑥 − 3)5 ; 𝑝 𝑡 = 5𝑡 + 4 ; 𝑦 = (3𝑥 − 5)3 Jelaslah bahwa : 𝑕 𝑥 = (2𝑥 − 3)5 adalah komposisi 𝑓 𝑥 = 𝑥 5 dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3, atau 𝑕 = 𝑓 ∘ 𝑔. 3 3 𝑝 𝑡 = 5𝑡 + 4 adalah komposisi 𝑚 𝑡 = 𝑡 dan 𝑛 𝑡 = 5𝑡 + 4 , atau 𝑝 = 𝑚 ∘ 𝑛. 2 2 𝑦 = (3𝑥 −5)3 adalah komposisi 𝑦1 = dan 𝑦2 = 3𝑥 − 5 , atau 𝑦 = 𝑦1 ∘ 𝑦2 . 𝑥3 Fungsi- fungsi tersebut dapat diturunkan menggunakan aturan rantai berikut. Teorema Aturan Rantai : Misalkan 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 adalah fungsi- fungsi yang diferensiabel, kedua pernyataan ini adalah sama dan benar : 1. Jika didefinisikan 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑥) ∘ 𝑔(𝑥) , maka turunan dari 𝐹 𝑥 adalah : 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ 𝑔 𝑥 𝑔′ (𝑥) 2. Jika 𝑦 = 𝑓 𝑢 dan 𝑢 = 𝑔 𝑥 , maka turunan dari 𝑦 adalah : 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Contoh 3 : Carilah turunan dari 𝑕 𝑥 = (5𝑥 − 8)10 . Penyelesaian : Cara 1 : Misalkan 𝑕 = 𝑓 ∘ 𝑔, maka 𝑓 𝑥 = 𝑥 10 , yang turunannya 𝑓 ′ 𝑥 = 10𝑥 9 𝑔 𝑥 = 5𝑥 − 8 , yang turunannya 𝑔′ 𝑥 = 5 Dengan aturan rantai diperoleh : 𝑕′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 = 10(5𝑥 − 8)9 . 5 = 50(5𝑥 − 8)9 Cara 2 : Misalkan 𝑦 = (5𝑥 − 8)10 , dan 𝑢 = 5𝑥 − 8 , maka 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑦 = 𝑢10 di mana = 10𝑢9 , sedangkan = 5. 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 6
• 7.
  Dengan aturan rantaidiperoleh : 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = = 10𝑢9 . 5 = 50𝑢9 = 50 5𝑥 − 8 9 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Berikut adalah cara yang dapat mempermudah perhitungan di atas, dengan tetap menggunakan prinsip aturan rantai. Syaratnya adalah dapat membedakan fungsi yang berada di luar dan di dalam, kemudian turunkan fungsi mulai dari yang terluar hingga yang paling dalam. 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑟 10 𝑓 𝑥 = (5𝑥 − 8) 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 sehingga, 𝑓 ′ 𝑥 = 10. (5𝑥 − 8)9 . 5 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 Contoh 4 : Carilah turunan dari 𝑔 𝑡 = (3𝑡 4 + 5𝑡 3 − 6𝑡 − 4)3 . Penyelesaian : 𝑔′ (𝑡) = 3. 3𝑡 4 + 5𝑡 3 − 6𝑡 − 4 2 . 3.4𝑡 3 + 5.3𝑡 2 − 6 = 3 3𝑡 4 + 5𝑡 3 − 6𝑡 − 4 2 12𝑡 3 + 15𝑡 2 − 6 = 3𝑡 4 + 5𝑡 3 − 6𝑡 − 4 2 36𝑡 3 + 45𝑡 2 − 18 6. Turunan Implisit Sebagian besar fungsi- fungsi yang diajarkan dalam kalkulus adalah fungsi- fungsi yang berbentuk : 𝑦 = 𝑓(𝑥) Fungsi ini dinamakan fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang dinyatakan dalam satu variabel bebas saja misalnya x, dengan kata lain y terpisah dari x (berada pada ruas yang berbeda). Namun, tidak semua fungsi berbentuk eksplisit. y dan x dapat saja berada dalam satu ruas yang sama, seperti : 𝑥𝑦 = 1 Bentuk ini dinamakan bentuk implisit. Bentuk implisit masih mungkin diubah ke dalam bentuk eksplisitnya, dengan menyatakan y sebagai x, atau sebaliknya. Seperti contoh di atas bentuk eksplisitnya adalah : 1 1 𝑦= atau 𝑥 = 𝑥 𝑦 Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 7
• 8.
  Akan tetapi, tidaksemua fungsi implisit dapat dieksplisitkan. Hal ini dikarenakan tidak mungkin untuk memisahkan x dari y dan meletakkannya pada ruas yang berbeda. Dengan demikian tidak mungkin menurunkannya secara eksplisit. Contoh : 𝑥𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 = 9 ; 𝑦 3 + 7𝑦 = 𝑥 3 Sebagian besar contoh yang diberikan sebelumnya adalah turunan fungsi- fungsi eksplisit. Dalam pembahasan ini akan dipelajari proses diferensiasi fungsi implisit. Dalam beberapa fungsi, penggunaan turunan implisit bahkan jauh lebih mudah 𝑑𝑦 dibandingkan turunan eksplisitnya, karena kita hanya memerlukan hasil akhir berupa 𝑑𝑥 atau y’. Prinsip turunan implisit adalah dengan mendiferensialkan kedua ruas, menganggap setiap x dan y dalam persamaan sebagai fungsi dan mediferensialkannya terhadap x sesuai aturan turunan yang berlaku, sehingga 𝑑 𝑑 𝑦 = 𝑦 ′ dan 𝑥 =1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 kemudian menyatakan bentuk akhir persamaan sebagai fungsi atau y’. 𝑑𝑥 Contoh 5 : Carilah turunan fungsi berikut secara eksplisit dan implisit, jika mungkin. 𝑥𝑦 = 1 Penyelesaian : Fungsi 𝑥𝑦 = 1 adalah bentuk implisit. Bentuk eksplisitnya adalah : 1 𝑥𝑦 = 1 ⇔ 𝑦 = 𝑥 Sehingga, turunannya adalah : 𝑑𝑦 1 = 𝑦 ′ = −𝑥 −2 = − 2 𝑑𝑥 𝑥 Sedangkan turunan implisitnya adalah : 𝑑 𝑑 𝑑 𝑥 𝑑𝑦 𝑥𝑦 = 1 ⇔ 𝑦+ 𝑥 = 0 ⇔ 1. 𝑦 + 𝑥𝑦 ′ = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 𝑦 1 ⇔ 𝑥𝑦 = −𝑦 ⇔ 𝑦 = − ⇔ 𝑦 = − 𝑥 ⇔ 𝑦 ′ = − 2 ′ ′ ′ 𝑥 𝑥 𝑥 Dari kedua cara penyelesaian di atas, terbukti bahwa turunan implisit menghasilkan turunan yang sama dengan turunan eksplisitnya. Meskipun terlihat tidak efisien, namun metode ini sangat berguna untuk fungsi- fungsi yang tidak dapat dieksplisitkan. Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 8
• 9.
  7. Turunan TingkatTinggi Jika f’ adalah turunan fungsi, maka f’ juga merupakan fungsi. Ini memungkinkan untuk menurunkan f’ menjadi fungsi turunan berikutnya, jika turunan ini ada. Proses diferensiasi ini dapat terus dilakukan selama turunan-turunan tersebut ada. Dengan demikian, f’ dinamakan turunan pertama dari f . Jika turunan 𝑓′ ada, maka turunan ini dinamakan turunan ke-dua dari f , dinyatakan oleh 𝑓′′. Jika turunan 𝑓′′ ada, maka turunan ini dinamakan turunan ke-tiga dari f , dinyatakan oleh 𝑓′′′, dan seterusnya. Untuk turunan ke-empat dan seterusnya digunakan notasi angka di dalam tanda kurung. Turunan pertama dari f : 𝑓′ (f aksen) Turunan ke-dua dari f : 𝑓′′ (f dobel aksen) Turunan ke-tiga dari f : 𝑓′′′ (f tripel aksen) Turunan ke-empat dari f : 𝑓 (4) Turunan ke- n dari f : 𝑓 (𝑛) Contoh 6 : Carilah semua turunan fungsi f yang didefinisikan oleh a. 𝑓 𝑥 = 8𝑥 4 + 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 7 1 b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 Penyelesaian : a. 𝑓 ′ 𝑥 = 32𝑥 3 + 15𝑥 2 − 2𝑥 𝑓 ′′ 𝑥 = 96𝑥 2 + 30𝑥 − 2 𝑓 ′′′ 𝑥 = 192𝑥 + 30 4 𝑓 𝑥 = 192 5 𝑓 𝑥 =0 𝑛 𝑓 𝑥 =0 𝑛≥5 1 2 6 24 b. 𝑓 ′ 𝑥 =− ⇒ 𝑓 ′′ 𝑥 = ⇒ 𝑓 ′′′ 𝑥 = − ⇒ 𝑓 4 𝑥 = … dan seterusnya 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 Latihan 1. Carilah turunan dari fungsi- fungsi berikut. a. 𝑓 𝑥 = 7𝑥 − 5 b. 𝑓 𝑥 = 8 − 3𝑥 c. 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 − 2𝑥 2 d. 𝑓 𝑥 = 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 9
• 10.
  e. 𝑓 𝑥= 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2 f. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 4 − 5𝑥 2 + 1 1 g. 𝑓 𝑥 = 8 𝑥 8 − 𝑥 4 h. 𝑔 𝑥 = 𝑥 7 − 2𝑥 3 + 5𝑥 3 − 7𝑥 1 1 i. 𝐹 𝑡 = 4 𝑡4 − 2 𝑡2 1 j. 𝐻 𝑥 = 3 𝑥3 − 𝑥 + 2 k. 𝐺 𝑦 = 𝑦 10 + 7𝑦 5 − 𝑦 3 + 1 1 l. 𝐹 𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑥2 𝑥3 3 m. 𝑓 𝑥 = + 3 𝑥3 1 n. 𝑓 𝑥 = 4𝑥 4 − 4𝑥 4 o. 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 5 + 𝑥 −2 + 4𝑥 −4 3 5 p. 𝑓 𝑥 = + 𝑥2 𝑥4 2. Carilah 𝑓 ′ (𝑎) untuk nilai a yang ditentukan a. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 ; 𝑎 = −3 b. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 2 ; 𝑎 = 3 c. 𝑓 𝑥 = 2 − 𝑥 3 ; 𝑎 = −2 d. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 + 4 ; 𝑎 = 4 4 e. 𝑓 𝑥 = ; 𝑎=2 5𝑥 −2 f. 𝑓 𝑥 = ; 𝑎=4 𝑥3 2 g. 𝑓 𝑥 = − 1; 𝑎 = 4 𝑥 1 h. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑎 = −3 1 i. 𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 ; 𝑎 = −8 𝑥 3. Carilah turunan fungsi yang diberikan dengan menggunakan aturan perkalian dan pembagian. a. 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 + 5 4𝑥 − 1 b. 𝑓 𝑥 = (4𝑥 2 + 3)2 c. 𝐺 𝑦 = 7 − 3𝑦 3 2 d. 𝐻 𝑥 = 2𝑥 4 − 1 5𝑥 3 + 6𝑥 e. 𝐹 𝑡 = 𝑡 3 − 2𝑡 + 1 (2𝑡 2 + 3𝑡) Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 10
• 11.
  f. 𝑦 = 𝑥 4 + 2𝑥 (𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1) 𝑑 g. 3𝑥 2 + 2𝑥 (𝑥 4 − 3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 h. 𝐷 𝑥 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 2𝑥 3 + 1 2𝑥 i. 𝐷𝑥 𝑥 +3 𝑥 j. 𝐷𝑥 𝑥 −1 2𝑦 +1 k. 𝐷 𝑦 3𝑦 +4 𝑑 5𝑡 l. 𝑑𝑡 1+2𝑡 2 𝑑 𝑦 3 −8 m. 𝑑𝑦 𝑦 3 +8 𝑑 2𝑥 2 −3𝑥 +1 n. 𝑑𝑧 2𝑥 +1 2 𝑑 𝑡 −𝑎 o. 𝑑𝑡 𝑡 2 +𝑎 4. Carilah turunan fungsi yang diberikan (dengan aturan rantai) a. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 4 b. 𝑓 𝑥 = 10 − 5𝑥 c. 𝐹 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 4 d. 𝑓 𝑟 = 2𝑟4 + 8𝑟2 + 1 5 e. 𝑓 𝑡 = 2𝑡 4 − 7𝑡 3 + 2𝑡 − 1 2 f. 𝐻 𝑧 = 𝑧 3 − 3𝑧 2 + 1 −3 g. 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 4 −2 𝑑 −1 h. 2𝑥 − 5 𝑑𝑥 𝑑 i. 2𝑥 3 + 𝑥 −3 𝑑𝑥 𝑑 j. 𝑥 2 − 4𝑥 −2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 5. Carilah dengan diferensiasi implisit. 𝑑𝑥 a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 b. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 c. 4𝑥 2 − 9𝑦 2 = 36 d. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 7𝑥𝑦 e. 𝑥 3 + 𝑦 3 = 8𝑥𝑦 1 1 f. + =1 𝑥 𝑦 Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 11
• 12.
  3 3 g. − = 2𝑥 𝑥 𝑦 h. 𝑥+ 𝑦=4 i. 2𝑥 3 𝑦 + 3𝑥𝑦 3 = 5 j. 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 k. 𝑥 4 + 𝑦 4 = 12𝑥 2 𝑦 l. 𝑥 3 𝑦 + 2𝑦 4 − 𝑥 4 = 0 Soal-Soal Terapan 1. Diketahui, jika sebuah objek dalam keadaan diam dijatuhkan dari ketinggian s kaki pada saat t detik mempunyai fungsi 𝑠 𝑡 = −16𝑡 2 + 64. Berapa kecepatan batu pada saat 2 detik setelah dijatuhkan dari ketinggian 64 kaki. 2. Sebuah roket diluncurkan vertikal ke atas, dan tingginya dari tanah setelah t detik adalah s kaki, di mana 𝑠 𝑡 = 560𝑡 − 16𝑡 2 . Carilah kecepatan roket 2 detik setelah peluncuran. 3. Suatu perusahaan mulai beroperasi pada 1 Juli 1990. Pendapatan perusahaan itu setelah beroperasi t tahun adalah p juta rupiah, di mana 𝑝 𝑡 = 50𝑡 + 18𝑡 + 0,6𝑡 2 . Carilah laju pertumbuhan pendapatan perusahaan pada 1 Juli 2000. 4. Misalkan Jumlah penduduk di dalam kota t tahun sejak 1 Januari 1990 adalah sebesar 𝑀 𝑡 = 40𝑡 2 + 200𝑡 + 10.000 jiwa. Berapa laju pertambahan penduduk kota pada 1 Januari 2000. 5. Keuntungan sebuah toko pengecer adalah 100y ribu rupiah bila x ribu rupiah digunakan untuk biaya iklan bulanan, di mana fungsi antara untung dan biaya iklan adalah 𝑦 = 2500 + 36𝑥 − 0,2𝑥 2 . Gunakanlah turunan untuk menentukan apakah menguntungkan menaikkan biaya iklan sebesar Rp 60.000,00 dan Rp 300.000,00. Kalkulus I/Turunan/rHn_copyright | 12