[한글] Tutorial: Sparse variational dropout

Tutorial:
Sparse Variational Dropout
Wu Hyun Shin
MLAI, KAIST
7. 24. 2019.

진행방식
• 실제 Variational Dropout을 위한 코드 구현은 간단
• 다른 수업에서 했던 모델링 + Dropout layer
• BNN 학습을 위한 전체적 코드 구조는 두번째 시간과 유사
• 왜 이렇게 하고, 어떻게 해야하는지 원리를 이해하는 것이 더 중요
• 수학적 이해 및 공식 유도가 다소 요구됨
• 실제 주요 공식은 코드 한 줄로 구현
• 수업목표
• 수학적 디테일을 모두 이해하지 못하더라도, 논리적 흐름을 파악하는 것이 목표
• 이론 수업에서 보다는 더 자세한 이해
• 코드를 보고 실제 어떻게 구현되는지 이해

읽어야 할 논문?
Binary Dropout (BD)
• Improving neural networks by preventing co-adaptation of feature detectors. Hinton et al. arXiv:1207.0508. 2012. 4002
• Dropout: a simple way to prevent neural networks from overfitting. Srivastava et al. JMLR 2014. 13126
Gaussian Dropout (GD)
• Fast dropout training. Wang et al. ICML 2013. 249
Variational Dropout (VD)
• Variational Dropout and the Local Reparameterization Trick. Kingma et al. NIPS 2015. 326
Sparse Variational Dropout (Sparse VD) ← Final goal!
• Variational Dropout Sparsifies Deep Neural Networks. Molchanov et al. ICML 2017. 148
→ 해당 논문들의 내용에서 차례차례 building block을 확보
→ 그 building block들을 조립하여 최종 논문 이해

Big Picture
Binary
dropout
Gaussian
dropout
Variational
dropout
Bayesian NN /
Variational Inference
Sparse
Variational
dropout

• Multiplicative Bernoulli Noise
• ℎ𝑖
𝑛𝑒𝑤
= ℎ𝑖
𝑜𝑙𝑑
∗ 𝒓 𝒃
•
BD를 GD로 일반화
• 우리가 잘 알고 있는 그
dropout
• p의 확률로 retain
• 1-p의 확률로 drop
• 반대로 표기하기도 함
𝑝(𝒓 𝒃)
• Binary Dropout?

• 두 가지 상황, 같은 효과
• PyTorch에서는 두번째 케이스로
구현되어 있음.
• Test time에 특별한 조치가 없다
는 점에서 더 편리
• 앞으로 두번째 케이스를 전제!
1
𝑝
𝑤 w𝑤
if 𝑘 = 1/𝑝,
• 학습과 테스트 시의 차이

1
𝑝
𝑤 w𝑤
• 두번째 케이스를 살펴보자.
• Bernoulli random variable 𝑟𝑏
• 평균? 𝒙𝒑(𝒙)
• 𝐸 𝑟𝑏 =
1
𝑝
∙ Pr 𝑟𝑏 =
1
𝑝
+ 0 ∙ Pr 𝑟𝑏 = 0 =
1
𝑝
∙ 𝑝 + 0 ∙ 1 − 𝑝 = 𝟏
• 분산? 𝑬 𝒓 𝒃
𝟐
− 𝑬 𝒓 𝒃
𝟐
• 𝐸 𝑟𝑏
2
=
1
𝑝
2
∙ 𝑝 + 02
∙ 1 − 𝑝 =
1
𝑝
• 𝑉𝑎𝑟 𝑟𝑏 = 𝐸 𝑟𝑏
2
− 𝐸 𝑟𝑏
2 =
1
𝑝
− 12 =
𝟏−𝒑
𝒑

• 같은 평균과 분산을 같는 Gaussian random variable 𝑟𝑔은?
• 𝜇 = 1, 𝜎 =
1−𝑝
𝑝
• 𝑟𝑔~N 𝜇, 𝜎2
= 𝑁 𝟏,
𝟏−𝒑
𝒑
• 새로운 파라미터 𝛼 =
1−𝑝
𝑝
를 도입
• 𝑁 1, 𝛼 ← 앞으로 계속 보게 될 형태!
≈
• Multiplicative Gaussian
Noise
• ℎ𝑖
𝑛𝑒𝑤
= ℎ𝑖
𝑜𝑙𝑑
∗ 𝑟𝑔
• 𝑟𝑔~𝑁 1, 𝛼 (𝛼 =
1−𝑝
𝑝
)

Recap: Bayesian Neural Networks
• BNN이란?
• Weight의 분포를 학습하는 네트워크
• 어떻게?
• Bayes’ theorem을 이용
• , 𝑃𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =
𝐿𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 ∗𝑃𝑟𝑖𝑜𝑟
𝐸𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒
• 그런데 문제가 있다.
• 분모를 계산할 수 없음.
• 해결방법?
• 직접 구할 수 없다면 근사하자.
• 우리가 쓸 방법: Variational Inference

Recap: Variational Inference
• Variational Inference란?
• 우리의 posterior 𝑝(𝜃|𝐷)를 근사하는 기법
• 어떻게?
• 우리가 쉽게 알 수 있는 분포를 설정하고: 𝑞 𝜙(𝜃)
• 이 분포를 𝑝(𝜃|𝐷)와 가깝게 만들자!
• 가까움의 기준?
• KL Divergence
• 우리가 풀어야할 문제?
• 두 분포의 거리를 줄이는 문제
• 𝑞 𝜙 𝜃 = argmin
𝜙
𝐾𝐿[𝑞 𝜙(𝜃)||𝑝 𝜃 𝐷 ]
• Inference → optimization problem
Variational distribution
Variational parameter
Posterior distribution

• 유도를 해보면?
• 𝐾𝐿[𝑞 𝜙(𝜃)| 𝑝 𝜃 𝐷 + 𝐿 ? = log𝑝(𝐷)
• 이제 𝐿 ? 를 maximize하면 되는 문제로 치환!
• 𝐿 ? 의 실체?
• 𝐿 ? = 𝑞 𝜙 𝜃 log𝑝 𝐷 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐾𝐿[𝑞 𝜙(𝜃)||𝑝(𝜃)]
• 직관적 해석: Expected Log-likelihood + KL regularization
• ELBO(Evidence lower bound)라고 불림.
• 왜? log𝑝 D ≥ 𝐿 ?
• 결론: ELBO를 maximize하자!
상수

• 그래서 어떻게 구현?
• 상황을 가정해보자.
• 일반적인 classification 태스크 / FC네트워크 & single 레이어
• Weight가 Gaussian 𝑁(0, 𝐼)를 따를 것이 라는 사전(prior) 믿음
• 자연스럽게 weight의 사후 확률도 Gaussian으로 모델링
• 데이터에 대한 적절한 사후(posterior) 확률을 학습
• Weight 학습의 기대효과?
• 우리의 사전 믿음을 기반으로 하되, (min KL term)
• 데이터를 잘 표현하는 적절한 사후 확률분포를 학습 (min NLL term)

𝜃
𝑋 𝑌∙ =B
I O O
B
• 우리가 원하는 posterior 𝒒 𝝓 𝜽 :
• 𝜃가 Gaussian에서 샘플링: 𝜃~N 𝜇, 𝜎2
• 미분 가능 (back-propagation 위해)
Learnable
parameter

𝜃
𝑋 𝑌∙ =B
I O O
B
𝜇
𝑋 𝑌∙ =B
I O O
B
𝜎 𝜖⊙
+
• 우리가 원하는 posterior 𝒒 𝝓 𝜽 :
• 𝜃가 Gaussian에서 샘플링: 𝜃~N 𝜇, 𝜎2
• 미분 가능 (back-propagation 위해)
• Reparametrization Trick(RT)
• 𝜃 ∼ q 𝜙 𝜃 = N 𝜇, 𝜎2
→ 𝜃 = 𝑓 𝜙, 𝜖 , 𝜖 ∼ 𝑝(𝜖)
→ 𝜃 = 𝜇 + 𝜎⊙ϵ , 𝜖~ 0, 𝐼

𝜇
𝑋 𝑌∙ =B
I O O
B
𝜎 𝜖⊙
+
• 이렇게 모델링한 뒤,
• ELBO에 대하여 기존에 하던 것과 동일하게 minibatch-based training하면 끝!
• 𝜙 = {𝜇, 𝜎} 일 때,
• argmax
𝜙
𝑞 𝜙 𝜃 log𝑝 𝐷 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐾𝐿[𝑞 𝜙(𝜃)||𝑝(𝜃)]
• ≈ argmax
𝜙
𝑁
𝑀 𝑖=1
𝑀
log𝑝 𝑦 𝑖
𝑥 𝑖
, 𝑓(𝜙, 𝜖 𝑖
) − 𝐾𝐿[𝑞 𝜙(𝜃)||𝑝(𝜃)]
• 지금까지 한 것:
• 미분가능한 파이프라인을 만듦(RT)으로써 minibatch 기반 학습을 가능케 함.
• 이러한 방법을 Stochastic Gradient Variational Bayes(SGVB)라고 함.
보통 Analytic하게 계산Minibatch-based
MC approximation
𝑁(0, 𝐼)

𝜇
𝑋 𝑌∙ =B
I O O
B
𝜎 𝜖⊙
+
• argmax
𝜙
𝑁
𝑀 𝑖=1
𝑀
log𝑝 𝑦 𝑖
𝑥 𝑖
, 𝑓(𝜙, 𝜖 𝑖
) − 𝐾𝐿[𝑞 𝜙(𝜃)||𝑝(𝜃)]
• 해석해보면?
• 첫번째 항: 기존 Non-Bayesian과 똑같은 분류 성능 최적화
• 단, weight에 randomness가 추가된 상황
• 두번째 항: prior 𝑁(0, 𝐼)와의 KL divergence.
• 우리의 초기 믿음에서 너무 벗어나지 않도록 regularize.

• 마지막으로 생각해볼 것들
• argmax
𝜙
𝑞 𝜙 𝜃 log𝑝 𝐷 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐾𝐿[𝑞 𝜙(𝜃)||𝑝(𝜃)]
• SGVB에서의 Gradient variance?
• randomness가 개입되므로 gradient의 variance가 크다!
• Source: data distribution p(𝐷) / noise distribution p 𝜖
• Variance를 줄이는 것은 학습 안정화에 매우 중요한 요소
• 두번째 항(KL term)은 가능한 경우, closed-form으로 직접 계산.
• 계산 가능한데 근사할 필요는 없음
• 불필요한 gradient variance가 더 증가

VD: Variational Dropout
• 전체 개요
• SGVB를 효율적으로 개선하려는 테크닉을 제안
• Local Reparametrization Trick(LRT)
• Gradient variance를 낮추고 더 쉽고 빠르게 계산
• Dropout과 variational method의 연결점을 탐색
• GD + Varaitional method + LRT = Variational Dropout
• 이를 통해 얻을 수 있는 것?
• 발전 : GD의 성능 향상 (with LRT)
• 확장 : 학습 가능한 dropout rate.
• 재해석 : GD를 Bayesian network로 보았을 때 prior는 무엇일까?
← Part 1
← Part 2

VD-Part 1: Local Reparameterization
Trick
• Local Reparameterization Trick(LRT)에 대해 알아보자.
• 목적? SGVB를 효율적으로 개선
• SGVB의 gradient variance를 줄이자!
• 먼저 해야할 일? Gradient variance의 요인을 분석
• 수학적 decomposition을 통해 분석

Trick
• SGVB를 다시 살펴보자.
• ELBO: (𝑥,𝑦∈𝐷) 𝐸 𝑞 𝜙 𝜃
[log𝑝(𝑦|𝑥, 𝜃)] − 𝐾𝐿[𝑞 𝜙 𝜃 ||𝑝 𝜃 ]
• 두번째 KL term은 closed-form으로 계산이 가능하다고 가정.
• Minibatch approximation:
• (𝑥,𝑦∈𝐷) 𝐸 𝑞 𝜙 𝜃
[log𝑝(𝑦|𝑥, 𝜃)] ≈
𝑁
𝑀 𝑖=1
𝑀
𝐥𝐨𝐠𝒑 𝒚𝒊 𝒙𝒊, 𝒇(𝝓, 𝝐𝒊)
• 즉, SGVB는
𝑁
𝑀 𝑖=1
𝑀
𝑳𝒊의 꼴로 나타낼 수 있음.
• 𝑳𝒊는 𝒊 번째 데이터에 대한 likelihood를 나타냄을 기억하자.
𝑞 𝜙 𝜃 log𝑝 𝐷 𝜃 𝑑𝜃
𝑀 : Minibatch size
𝑁: Data size

Trick
• 그렇다면
𝑁
𝑀 𝑖=1
𝑀
𝐿𝑖의 variance는?
• 𝑉𝑎𝑟
𝑁
𝑀 𝑖=1
𝑀
𝐿𝑖
• 알 수 있는 사실?
• Variance의 영향은 minibatch size 𝑀을 키워서 줄일 수 있음.
• 반면, Covariance의 경우는 불가능!
• 우리가 원하는 것?
• Cov 𝐿𝑖, 𝐿𝑗 = 0
• In Korean: Minibatch 안의 데이터들의 log-likelihood를 종속성을 제거

Trick
• 데이터 포인트 사이의 종속성 제거
𝜃
𝑋 𝑌∙ =B
I O O
B
𝜇
O
𝜎 𝜖⊙
+
• 기존 상황:
• 배치 안의 모든 데이터 𝑥𝑖 ∈ 𝑋가 하나의
weight matrix 𝜃를 공유
• 당연히 𝜃는 하나의 𝜖 ∼ 𝑁(0, 𝐼)에 dependent
• 모든 데이터가 같은 노이즈를 공유하므로 서
로 dependent한 상황
• Cov 𝐿𝑖, 𝐿𝑗 ≠ 0
…
…

𝑋
Trick
𝑌∙ =B
I O O
B
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜇
O
𝜎 ⊙
+
• 해결 방법?
• 배치 안의 모든 데이터 𝑥𝑖 ∈ 𝑋가 각기 다른
weight matrix 𝜃𝑖를 공유
• 𝜃𝑖는 각기 다른 𝜖𝑖 ∼ 𝑁(0, 𝐼)에 dependent
• 데이터 사이의 dependency가 제거됨
• 𝐶𝑜𝑣 𝐿𝑖, 𝐿𝑗 = 0
• 문제점?
• 계산 비용 증가 (샘플링은 비싼 편)
• 병렬화가 불가능
𝜖
𝜖
𝜖
𝜖
…
…

𝑊
𝑊
𝑊
𝐴
Trick
𝑊
𝐵∙ =𝑚
𝑖 𝑗 𝑗
𝑚
𝜇
O
𝜎 ⊙
+
• 더 나은 방법?
• 𝑤𝑖,𝑗가 Gaussian이면, 𝑏 𝑚,𝑗도 Gaussian.
• If X,Y independent and normally
distributed,
X+Y is also normally distributed.
𝑎 𝑚,𝑖
𝑤 𝑚,𝑖
𝑏 𝑚,𝑗
*논문 표기로 통일 (X𝜃 = 𝑌 → 𝐴𝑊 = 𝐵)
𝜖
𝜖
𝜖
𝜖

𝛿
𝐴
Trick
𝜇
𝛾∙ =𝑚
𝑖 𝑗 𝑗 • 더 나은 방법?
distributed,
• 그렇다면 B에서 바로 샘플링해보자. → LRT!
• 글로벌 noise → 로컬 noise
• weight noise → activation noise
𝐴2
𝜎2
∙ =𝑚
𝑖 𝑗 𝑗
*거듭제곱은 elementwise임을 주의.
squared
𝜁⊙
+
=
𝐵
1
2

𝐴
Trick
𝜃
𝛾∙ =𝑚
𝑖 𝑗 𝑗 • 더 나은 방법?
distributed,
• 그렇다면 B에서 바로 샘플링해보자. → LRT!
• 글로벌 noise → 로컬 noise
• weight noise → activation noise
𝐴2
𝜃2
∙ =𝑚
𝑖 𝑗
*거듭제곱은 elementwise임을 주의.
squared
+squared
𝛿
𝑗
𝜁⊙
1
2

Trick
• 𝐿𝑅𝑇의 장점?
• 𝐿𝑖 서로 독립적 → Cov 𝐿𝑖, 𝐿𝑗 = 0 → 낮은 gradient variance!
• 빠른 학습 (in terms of optimization step)
• 더 작은 샘플링 횟수 & 병렬화 가능한 연산
• 빠른 학습 (in terms of wall-clock time)
𝜖
𝜖
𝜖
𝜖
𝜁
x
𝑚
Global noise
Weight noise
Local noise
Activation/Units noise

VD-Part 2
• 지금까지..
• SGVB에서 사용 가능한 효율적인 테크닉: LRT
• 이제부터..
• Dropout을 variational method로 재해석!
• Varational dropout (with LRT)

VD-Part 2: Reinterpretation of GD as
VD
• Dropout과 variational method의 관계
Gaussian dropout
• Multiplicative noise in units
• 𝐵 = 𝐴⊙𝜉 𝜃, 𝜉 ∼ 𝑁 1, 𝛼
• LRT:
• b 𝑚,𝑗 = 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖 𝜉 𝑚,𝑖 𝜃𝑖,𝑗
• 𝐸 𝑏 𝑚,𝑗 = 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖 𝜃𝑖,𝑗 𝐸 𝜉 𝑚,𝑖 = 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖 𝜃𝑖,𝑗
• 𝑉𝑎𝑟 𝑏 𝑚,𝑗 = 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖
2
𝜃𝑖,𝑗
2
𝑉𝑎𝑟 𝜉 𝑚,𝑖 = 𝛼 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖
2
𝜃𝑖,𝑗
2
Variational Bayesian Inference
• Noise in weights
• 𝐵 = 𝐴W, W ∼ 𝑁 𝜃, 𝛼𝜃2
• LRT:
• 𝑏 𝑚,𝑗 = 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖 𝑤𝑖,𝑗
• 𝐸 𝑏 𝑚,𝑗 = 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖 𝐸 𝑤𝑖,𝑗 = 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖 𝜃𝑖,𝑗
• 𝑉𝑎𝑟 𝑏 𝑚,𝑗 = 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖
2
𝑉𝑎𝑟 𝑤𝑖,𝑗 = 𝛼 𝑖 𝑎 𝑚,𝑖
2
𝜃𝑖,𝑗
2
재해석
*직접적 증명은 논문 appendix B 참
조.
If
then
mean Multiplicative noise

VD
• Gaussian dropout과 Variational method의 유사성의 의미?
• Variational Dropout을 제안! (드디어)
• 이를 통해 얻을 수 있는 이점
• LRT를 이용해 Gaussian drop보다 안정적 학습 가능.
• 이제 𝜶를 variational parameter로 놓고 학습할 수 있음.
• min
𝜙
𝐾𝐿[𝑞 𝜙(𝑊)| 𝑝 𝑊 𝐷 에서 𝜙 = 𝜃, 𝛼
• 또다른 해석 가능: Prior는 뭘까?
• Binary dropout ≈ Gaussian Dropout ≈ Variational Dropout
• Binary dropout도 central limit theorem에 의해 근사 가능
• 참조: Fast dropout training. Wang et al. ICML 2013.
mean Multiplicative noise

VD
• 그렇다면 prior는?
• Gaussian dropout과의 consistency를 고려(꼭 필요한가?)
• droprate 𝛼는 상수 / weight 𝜃에 대해서만 학습 𝜙 = 𝜃, 𝛼
• 𝐸𝐿𝐵𝑂에서 expected log-likelihood term에 대해서만 학습
• W ∼ 𝑁 𝜃, 𝛼 𝜃2
• max
𝜃 (𝑥,𝑦∈𝐷) 𝐸 𝑞 𝑊|𝜃,𝛼
[log𝑝(𝑦|𝑥, 𝑊)] − 𝐾𝐿[𝑞 𝑊|𝜃, 𝛼 ||𝑝 𝑊 ]
• 이러한 조건을 만족하는 prior?
• Log-uniform prior
Has to be Independent to 𝜃(no
effect),
when 𝛼 is fixed.

VD
• Log-uniform distribution의 성질
log(𝑋) 𝑋
• Zero 근처에서 높은 density → weight에 적용할 경우 sparsity 유도
*MDL(Maximum Description Length) 관점으로 해석:
weight를 floating point format으로 변환 시 log-uniform distribution을 따를 경우,
중요한 digit의 숫자를 최적으로 하여 압축 가능. weight의 크기를 제한하는 효과. (논문참조)

• Negative KL term을 closed-form으로 구할 수 있을까?
• max
𝜙 (𝑥,𝑦∈𝐷) 𝐸 𝑞 𝜙 𝑊
[log𝑝(𝑦|𝑥, 𝑊)] − 𝐾𝐿[𝑞 𝜙 𝑊 ||𝑝 𝑊 ]
• Appendix C를 믿는다면,
• 결과적으로 항 때문에 계산 불가!
• 그러나, 모든 𝛼에 대해 쉽게 샘플링 가능
VD
𝜃에 independent
Analytically intractable

VD
• 계산할 수 없다면 많이 샘플링해서 근사하자!
• (1) 3차 다항식으로 근사:
• (2) 더 간단한 lower bound:
• ≥ 0 이므로,
• 제한: 𝛼 ≤ 1 , 𝑝 ≤ 0.5 𝛼 =
1−𝑝
𝑝
• 이유? 𝛼가 클때, large gradient variance → local minima
Intractable
Approximated
log𝛼 = 0 일 때,
KL = 0 이 되도록 C 설정
→ 완전히 drop (𝑝 = 1)불가능!

Sparse VD:
• VD에서 무엇이 추가 되었나?
• 기본전제: 𝛼에서 𝛼𝑖,𝑗로 확장 (weight별 독립적인 droprate 학습)
• Additive Noise Reparameterization (1)
• Gradient variance를 줄이기 위한 새로운 테크닉
• Approximation of the KL Divergence (2)
• 𝛼의 범위에 제한(e.g. 𝛼 ≤ 1) 없이 학습
• 𝛼 → ∞ / 𝑝 → 1 : 항상 drop / 제거 가능
• 기타 등등
• 결과적으로?
• 매우 sparse한 network 학습
• Bayesian pruning으로의 연결

Sparse VD: Additive Noise
Reparametrization
• VD에서의 문제점:
• Droprate 𝜶가 큰 영역에서 𝜽에 대한 gradient variance가 매우 큼
• 해결방법:
• 새로운 변수 도입
• 실제로는 𝛼대신에 𝐥𝐨𝐠 𝝈 𝟐를 학습 → 학습 안정
• 네트워크 output 자체를 𝐥𝐨𝐠 𝝈 𝟐값으로 해석
• 𝑤 = 𝜃 + exp 𝐥𝐨𝐠 𝝈 𝟐 ⋅ 𝜖
𝜃𝑖𝑗 + 𝜃𝑖𝑗 ∙ 𝛼𝑖𝑗 ∙ 𝜖𝑖𝑗
New
variable
𝛼가 궁금하면 𝜃와의 관계에서 역으로 계산.
𝜎값 자체는 𝜃와 무관!

Sparse VD: Approximation of the KL
term
• KL term approximation: 모든 𝛂 영역에서 더 정확한 근사
• 사실상 Heuristic한 방법을 사용
• −0.5 log 1 + 𝛼−1
를 먼저 설정
• 남은 차이가 sigmoid와 비슷하다는 점에 착안하여 근사 함수 디자인
기존1: 0.5 log 𝛼 + 𝑐1 𝛼+c2 𝛼2+c3 𝛼3
기존2: 0.5 log 𝛼
새롭게 제안

Sparse VD: Sparsity
• 𝛼 를 droprate 𝑝 관점에서 본다면?
• 𝜶 → ∞ : 𝑝 → 1 이므로 항상 drop / 제거 가능
• 𝛼 를 w𝑖𝑗 에 더해지는 multiplicative noise관점에서 본다면?
• 𝜶 → ∞ : 무한대의 noise / 완전한 random / 상쇄시켜야 함 𝜽𝒊𝒋 → 𝟎

Sparse VD: For convolution layers
• Sparse VD for FC layers:
𝛼𝑖𝑗 𝜃𝑖𝑗
2
= 𝜎𝑖𝑗
2𝛿 𝑚𝑗 = 𝛼𝑖𝑗
𝑖=1
𝐼
𝑎 𝑚𝑖
2
𝜃𝑖𝑗
2
=
𝑖=1
𝐼
𝑎 𝑚𝑖
2
𝜎𝑖𝑗
2
By additive
reparam. trick
• Sparse VD for Conv layers:

Sparse VD: Empirical Observations
• Test time에는?
• 실제 완전히 드랍되는 경우는 없으므로 𝜶에 대한 thresholding이 필요
• Expected log likelihood term보다 KL term이 지배적인 경우가 더 일반적
• 초반에 급격하게 높은 sparsity로 수렴하여 학습에 실패
• 해결책? Pretraining or Scaling term 사용
• Prior 없이도 학습이 가능
• 사전 지식없이 데이터만 보고 variance를 fitting시킬 수 있음

Implementation
논문저자 공개 (Theano, Lasagne)
• https://github.com/senya-ashukha/variational-dropout-sparsifies-dnn
다른 논문에서 활용 (TF / 저자 참여 / by Google AI research / 바로 사용하기 어려움)
• https://github.com/google-research/google-research/tree/master/state_of_sparsity
개인 repository (TF / 미검증)
• https://github.com/cjratcliff/variational-dropout (in progress)
• https://github.com/BayesWatch/tf-variational-dropout (incomplete)

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