Unidad ii matemática ANA VIRGUEZ

NÚMERO REALES
Y
PLANO NUMÉRICO
UNIDAD II MATEMATICA
ALUMNO: ANA KARINA VIRGUEZ RODRIGUZ
C.I : 26.142.221

DEFINICION DE CONJUNTO
 DEFINICION: Agrupación bien definida de objeto no repetidos ni
ordenados de cualquier naturaleza concreta o abstracta. A cada uno de
esto objeto que forma el conjunto se le llama elemento. Notación a los
conjuntos se le asigna la letra mayúscula A,B.C y a los elementos
,letras minúscula, numero .
 Ejemplo:
1 ) A 2) B
.a .2
.b .c .1 .3
.d .4

DEFINICION DE CONJUNTO
 PERTENENCIA: Para indicar que un elemento pertenece a un
conjunto se usa el símbolo € que se «pertenece al conjunto» .
Ejemplo:
1) a €A : EL ELEMENTO a PERTENECE A EL CONJUNTO A
2) 3 €B: EL ELEMENTO 3 PERTENECE A EL CONJUNTO B

CONJUNTO NOTABLES
 CONJUNTO UNITARIO: ES AQUEL QUE TIENE UN ELEMENTO. EJEMPLO D:{3}
 CONJUNTO VACIO: ES AQUEL QUE NO TIENE NINGUN ELEMENTO SE LE ASIGNA LOS
SIMBOLOS { } EJEMPLO F:{ }
 CONJUNTO UNIVERSAL: ES AQUEL QUE CONTIENE A TODOS LOS CONJUNTOS SE LE
ASIGNA LA LETRA U
 DEFINICION DE CONJUNTO:
 A) DEFINICION POR COMPRENSION: UN CONJUNTO ESTA DEFINIDO POR
COMPRESION CUANDO SEDA UNA PROPIEDAD QUE ES COMUN A TODOS LOS
ELEMENTOS DEL CONJUNTO: EL CONJUNTO FORMADO POR LOS NUMEROS PRIMOS.
 B) DEFINICION POR EXTENSION: UN CONJUNTO ESTA DEFINIDO POR EXTENSION
CUANDO SE ENUMERA CADA UNA DE LOS ELEMENTOS.
EJEMPLO: A= { 1, 2,3,4,5,6…}

OPERACIONES CON CONJUNTOS
 DEFINICIÓN: Significa que d unos conjuntos dados, vamos a
obtener otros conjuntos.
 Intercesión: Se llama intercesión de dos conjunto a A y a B a el
conjunto C, formados por los elementos comunes a A y a B . Se usa
el símbolo ∩ y se de nota C=A∩B que se lee « C es el conjunto
formando por lo intercesión de A con B»
Ejemplo:
1) A D B D= A ∩ B ∩ C = {X/X E A y X E B y X E C}
C
2) A C B A∩B = {X/X E A y X E B}

UNION DE CONJUNTOS
 Se llama unión de dos conjunto A y B a el conjunto C
formado por los elementos que pertenece a A o a B se
usa el símbolo U y se de nota C a A U B y se lee C es el
conjunto formado por la unión de A con B
 Ejemplo:
1) A B A U B = {x/x E A o x E B }
2) A B C A U B U C={X/X E A o X B o X E C}

UNION DE CONJUNTOS
 DIFERENCIA DE CONJUNTO: Llamamos diferencia de los
conjunto A y B en este orden a otro conjunto C cuyos
elementos pertenece a A pero no a B notacion. C=A-B
 Ejemplo:
1) A B A – B = {X/X E B y X Ɇ B}
2) B A B – A ={X/X E B y X Ɇ A }

NUMEROS REALES
 Se puede definir a los numero reales, aquellos números
que tiene expansión decimal periódica o tiene expresión
decimal no periódica, es decir los números racionales y
los numero irracionales. Los números racionales se
clasifica en:
 a) Numero natural (N) : Son los números enteros y
positivo. N={1,2,3,4,5,…} ejemplo : N=6 N=8
 b) Numero enteros (z) : Son los números naturales, sus
negativo y el 0, Z={…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,..} .
Ejemplo: Z =-3 Z=9

NUMEROS REALES
 Numero racionales (Q): Se puede expresar con el consiente de dos
numero enteros de la forma a/b con a,b enteros y b diferente de 0. N C Z
C Q .
Ejemplo: Q=
2
3
U=
7
6
Los números irracionales: Son la expresiones decimales no periódicas que
se origina de las raíces no exactas de cualquier orden.
Ejemplo:
I=
3
I=3
−25

PROPREDADES DE NUMERO REALES
 Propiedad comutativa: El orden al sumar o multiplicar
numero reales no afecta el resultado a +b =b+ a.
Ejemplo: (-6) + 3 = 3+ (-6) (-4).(-7)=(-7).(-4)
 Propiedad asociativa: Se puede hacer diferente
asociaciones al sumar o multiplicar numero reales y no
afecta el resultado.
Ejemplo: (-2)+[6+3]=[(-2)+6]+3 (3.5)9=3.(5.9)

PROPREDADES DE NUMERO REALES
 Propiedad Distributiva: El factor se de tribuye a cada sumando
a (b +c )=a.b+a.c
Ejemplo:
1) (-6)[5+3]=(-6) . 5 + (-6) . 3=(-30) + (-18) =-48
2) 3 (x+4) = 3 x + 12
 Propiedad Identidad: El 0 es el elemento neutro en la suma y el
1 en la multiplicación 1) a+0=a 2) b.1=b
Ejemplo:
1) 6+6=6 2) (-3).1= -3

DESIGUALDADES
 Cuando dos números a y b no son iguales anotamos a ≠ b y necesariamente
se tiene que cumple a ˃ b o a˂ b.
 Propiedades de la desigualdades:
1) Propiedad transitiva: si → a ˂ b y b ˂ c entonces a ˃ c.
Ejemplo:
9˃6 y 6˃3 → 9˃3
2) Si a los miembros de una desigualdad se le suma a resta la misma cantidad
la desigualdad conserva su sentido.
Ejemplo:
a ˃ b ; a + c ˃ b + c
6 ˃ 2 : 6+3 ˃ 2 + 3 ; 9˃5

DESIGUALDADES
3) Si a los dos miembro de una desigualdad se multiplica o
dividen por una cantidad positiva la desigualdad conserva su
sentido.
a ˂ b : a . c ˂ b . C
6 ˂ 9 : 6 . 3 ˂ 9 . 3 ; 18 ˂ 27
4)Si a los miembros de una desigualdad se multiplica o divide
por la misma cantidad negativa resulta una desigualdad de
sentido contrario.
a ˃ b : a ( - c) ˂ b . ( - c )
9 ˃ 3 : 9 ( - 2) ˂ 3 . ( - 2 ) : -18 ˂ - 6

INECUACIONES
 Son desigualdades algebraica en la que sus dos miembros se
relaciona por uno de esto signos: ˃ , ≥ , ˂ , ≤.
Ejemplo:
1 ) 2 X + 6 ˃ 7 2 ) - X + 9 ˂ 12
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable
que la verifica. Loción de una inecuación se expresa mediante una
representación grafica y un intervalo.
3 x -1 ˃ 14 → 3 x ˃ 14 + 1 → 3 x ˃ 15 → x ˃
15
3
→ x ˃ 5
sol __________|________|_|_|_|_|_|____
0 5 + ∞
Sol : ( 5+∞)

DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO
 El valor absoluto del valor de un numero real a , se escribe | a | , es el
mismo numero a cuando es positivo o cero y opuesto de a si es negativo.
|a|=a ; |-a|=a ; |0|= 0
Ejemplo:
|7|=7 ; |-3|=3 ; |0|=0
 Propiedades de valor absoluto:
1) Los numero opuesto tiene igual valor absoluto |a|=|- a|
Ejemplo: |6|= |- 6|=6
2) El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores
absoluto de los factores.
|a . B |= |a| . |b|
Ejemplo: |7 . ( - 3 ) |= |7|. |-3|→ |-21|= 7 . 3 → 21=21

DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO
3) El valor absoluto de una suma es menor o igual que
la sema de los valores absolutos de lo sumando.
|a + b | ≤ |a|+ |b|
Ejemplo : |6+(-3)|≤ |6|+|-3|≤6+3→3≤9

DESIGUALDADES DE VALOS ABSOLUTO
 Una inecuación de valor absoluto es una combinación de dos concepto = valores
absoluto e inecuaciones lineales que cumple con la siguientes condiciones.
 a) |f(x) |≤ k → -k ≤ f (x) ≤ k
Ejemplo:
── F (x) ──
________|_______0______|________
-∞ -k k +∞
 b ) |f(x)| ≥ k → k ≤ f(x) ≤ -k
Ejemplo:
////////← → /////////////
_____|_____0_______|________
-k k

DESIGUALDADES DE VALOS ABSOLUTO
 Ejemplo:
 1) |3x + 1 | ˂ 5 → - 5˂ 3 x + 1 ˂ 5 → - 5 -1˂ 3x +1 -1 ˂5 -1- 6 ˂ 3 x ˂ 4 → - 6/3 ˂ 3
x/3 ˂ 4/3 → -2 ˂ x ˂ 4/3
////////////////////////////////
____|________0_______|_____
-2 4/3 sol (-2,4/3)
 2) |4 x + 2 | ≥ 2 → 2 ≤ 4 x + 2 ≤ - 2 → 2 – 2 ≤ 4 x + 2 -2 ≤ - 2 – 2 o ≤ 4x ≤ -4 → o/4
≤ 4x/4 ≤ -4/4 → o ≤ x ≤ - 1
 ← →
/////////
_____|_____0______
-∞ -1 +∞ sol = ( -∞,-1] U [0,+∞)

PLANO NUMERICO (DISTANCIA, PUNTO MEDIO )
 Es el sistema formado por dos recta dirigida, X´X e Y´Y
perpendiculares entre si llamadas ejes de coordenadas, a
la recta X´X se llama eje de las abersas y careta de prima
Y´Y se llama eje de la ordenadas.
 Distancia entre dos punto: La distancia entre dos punto
equivale a la longitud del sementó de recta que los une,
expresado numéricamente.
Dados Z puntos A = ( X1, Y1) y B= ( X2, Y2)
da B= 𝑋2 − 𝑋1 2 + 𝑌2 − 𝑦1 2

 PUNTO MEDIO: Es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otro dos punto o extremos de un sementó.
dados z punto A= ( X1,Y1) y B = (X2,Y2)
Xm =
𝑋1 + 𝑋2
__________
2
Ym =
𝑌1 + 𝑌2
____________
2

 Ejemplo:
 1) Calcular la distancia entre los puntos A (2,3) y B(4,-1).
dAB= (𝑋2 − 𝑋1)2+(𝑌2 − 𝑌1)2
dAB= (4 − 2)2 + (−1 − 3)2
dAB= (2)2+(−4)2
dAB= 4 + 16
dAB= 20

 Ejemplo
 2) calcular el punto medio entre los punto A=(3,2) y
B(4,5).
Xm =
𝑋1+𝑋2
2
= Xm=
3+4
2
= Xm=
7
2
Ym =
𝑌1+𝑌2
2
= Ym =
2+5
2
= Ym=
7
2
Pm (7/2, 7/2)

REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS CONICAS
 Cuando cortamos un cono por un plano la inter sección es una
curva llamado cónica.
 1)Cuando el plano que interseca al cono es perpendicular a su eje,
la sección es una circunferencia.
 2)Cuando el plano que interseca al cono es oblicuo a su eje la
sección es una elipse.
 3) Cuando el plano interseca al cono es paralelo a la generatriz la
sección es una parábola.
 4) Cuando el plano que interseca al cono es paralelo a su eje, corta
al cono en su dos volúmenes formando dos secciones llamadas
hipérbola.

 Ejemplo:
1) Determinar la ecuación de la circunferencia de
centro el corte de la coordenada y radio igual a 3.
𝑋
2
+𝑌2
= 𝑟2
→𝑥2
+𝑦2
=32
→ 𝑋2
+ 𝑌2
=9

 Ejemplo
 2) Dibuja aproximadamente la siguiente parábola
𝑌2
=12x esta ecuación se de la forma 𝑌2
= 4Px
𝑌2=12x→ 𝑌2=4Px→12=4p→ P = 3
La forma de la ecuación nos indica que el foco esta en
el eje X y como P es Positiva la curva se abre hacia la
derecha.

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