【Unity道場スペシャル 2017博多】クォータニオン完全マスター
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2017/6/3に開催されたUnity道場 博多スペシャルの講演スライドです。 講師：安原 祐二(ユニティ・テクノロジーズ・ジャパン合同会社) 講演動画：https://youtu.be/uKWLPU8gfIY 知ってはいるけれどピンとこない、知ってはいるけれどピンとこない、そんなクォータニオンについて基本となる概念からたっぷりと、丁寧に説明していきます。行列についても解説しますので、これからシェーダプログラミングに取り組もうとするエンジニアにも役に立つ内容です。数学に苦手意識のある人も、この機会にマスターしてしまいましょう！ こんな人におすすめ ・プログラマ全般および数学に興味のある人 受講者が得られる知見 ・クォータニオンの意味 ・行列とクォータニオンの関係 ・数学的な背景 Unityのイベント資料はこちらから: https://www.slideshare.net/UnityTechnologiesJapan/clipboards
![こういう式にしてみよう
x’ = ax + by
y’ = cx + dy
P’(x’, y’) = [変換]P(x, y)](https://image.slidesharecdn.com/unity-yasuhara-170616125618/85/Unity-2017-10-320.jpg)
![変換を行列Mとして
P(1, 2) P’(-2, 1)
変換
P’=MP
P’(x’, y’) = [変換]P(x, y)](https://image.slidesharecdn.com/unity-yasuhara-170616125618/85/Unity-2017-14-320.jpg)
![a b
c d( )P’= P
変換を行列Mとして
P(1, 2) P’(-2, 1)
変換
P’=MP
P’(x’, y’) = [変換]P(x, y)](https://image.slidesharecdn.com/unity-yasuhara-170616125618/85/Unity-2017-15-320.jpg)
【Unity道場スペシャル 2017博多】クォータニオン完全マスター
- 4. 座標変換
- 5. CGの きほん たくさんの点を動かす！ © Unity Technologies Japan/UCL
- 8. P(1, 2) P’(-2, 1) ある変換で点を移動 変換 ある変換＝なんらかのルール
- 9. 同じ変換でたくさんの点を移動 Q(2, 0) Q’(0, 2) 変換 P(1, 2) P’(-2, 1) 変換 R(1, 1) R’(-1, 1) 変換
- 10. こういう式にしてみよう x’ = ax + by y’ = cx + dy P’(x’, y’) = [変換]P(x, y)
- 11. x’ = ax + by y’ = cx + dy x’ = 1x + 0y y’ = 0x + 1y a=1 b=0 c=0 d=1 なら x’ = x y’ = y 変化しない変換 色々できそう！
- 12. 色々できそう！ x’ = ax + by y’ = cx + dy x’ = 1x + 0y y’ = 0x + 1y a=1 b=0 c=0 d=1 なら x’ = x y’ = y 変化しない変換 x’ = 0x + 1y y’ = 1x + 0y a=0 b=1 c=1 d=0 なら x’ = y y’ = x xy入れ替え変換
- 13. abcdをまとめてしまおう x’ = ax + by y’ = cx + dy a b c d( ) これを行列と呼ぶ！
- 14. 変換を行列Mとして P(1, 2) P’(-2, 1) 変換 P’=MP P’(x’, y’) = [変換]P(x, y)
- 15. a b c d( )P’= P 変換を行列Mとして P(1, 2) P’(-2, 1) 変換 P’=MP P’(x’, y’) = [変換]P(x, y)
- 16. ( 行列に点ベクトルを掛ける a b c d( )= a b c d( ) 1 2)=)(-2 1 x’ = ax + by y’ = cx + dy -2 = a1 + b2 1 = c1 + d2 例えば )(x’ y’ (x y)
- 17. -2 = a1 + b2 1 = c1 + d2 行列に点ベクトルを掛ける
- 18. -2 = a1 + b2 1 = c1 + d2 1 2( )a b c d( ) 1 =)(-2 1 2 1 2 + +
- 19. 三次元では3x3行列になる x’ = ax + by + cz y’ = dx + ey + fz a b c d e f g h i( ) z’ = gx + hy + iz 概念は同じなので 以降も二次元で続けます
- 20. いろいろな行列 2 0 0 2( ) ２倍に拡大 スケーリング行列 cosθ -sinθ sinθ cosθ( )θ回転する 回転行列
- 21. デモ
- 23. x’ = ax + by y’ = cx + dy x’ = ax + by + s y’ = cx + dy + t 移動するために式を変更 これで(s,t)で移動できる 追加！
- 24. 移動を実現するために行列を拡張 a b s c d t( ) a b c d( ) a b s c d t 0 0 1 ( ) 何かと都合がいいので 3x3 にする x’ = ax + by + s y’ = cx + dy + t 行と列の数が同じ 正方行列と呼ぶ
- 25. デモ
- 26. 三次元でも同様にして移動を実現 つまり三次元では4x4行列を使う a b c s d e f t g h i u 0 0 0 1 )( x’ y’ z’ 1 ( )= x y z 1 ( )
- 27. a b s c d t 0 0 1 ( ) 二次元用3x3行列の 各部分の役割 回転 移動
- 28. a b c s d e f t g h i u 0 0 0 1 )( 回転 移動 三次元用4x4行列の 各部分の役割
- 29. 回転 移動 三次元用4x4行列の 各部分の役割 transform.rotation transform.position Quaternion クォータニオン で作る Vector3 ベクトル で作る a b c s d e f t g h i u 0 0 0 1 )(
- 33. ＣＧに応用する行列
- 34. ３つの変換行列 • モデル行列 • ビュー行列 • プロジェクション行列
- 39. 画角や near, far を処理 w に z を格納など… この変換が プロジェクション行列
- 40. Unity組み込みシェーダ UnityShaderVariables.cginc より抜粋 M:モデル V:ビュー P:プロジェクション
- 42. 透視変換のようす
- 44. オイラー角方式
- 45. 二次元の回転はシンプル 回転軸はひとつ cosθ -sinθ sinθ cosθ( )θ回転の 回転行列
- 47. Unity の Inspector の Rotation は… 表示に関しては オイラー角方式
- 48. P’=YXZP X Ｘ軸まわりの回転行列 Y Ｙ軸まわりの回転行列 Z Ｚ軸まわりの回転行列 オイラー角方式の回転には順番がある Unityは ZYXの順番
- 49. プログラム例： オイラー角で作った回転を代入 transform.rotation = Quaternion.Euler(x, y, z); ① ② ③ 変換を３回重ねている
- 52. 複素数と複素平面
- 53. クォータニオンは 複素数の拡張
- 54. 問題
- 55. は虚数単位
- 56. 虚数の定義 虚数単位
- 57. 複素数 ：実部 ：虚部
- 61. 実軸 虚軸 1+0i つまり 1
- 63. 実軸 虚軸 0+i つまり i -1 1
- 64. 実軸 虚軸 0-i つまり -i -1 1 i
- 65. 実軸 虚軸 -1 1 i -i
- 77. 虚数の性質
- 79. 実軸 虚軸 i -1 1 i -i i は i をさらに 90°回転 2 つまり i = -12
- 92. 実軸 虚軸 -1 1 i -i
- 95. クォータニオン
- 96. 考案者はハミルトン （William Rowan Hamilton 1805-1865) 「複素平面の三次元版は 作れないものか…」
- 97. 虚軸を３つにすればうまくいく！ i が虚数単位 クォータニオン複素数 i, j, kが虚数単位 i =-12 i =-12 j =-12 k =-12 ij=k jk=i ki=j ji=-k kj=-i ik=-j 驚愕のアイデア！
- 99. クォータニオン要素を x, y, z, w とする ix+jy+kz+w (x, y, z, w) 実部虚部
- 100. 複素平面の回転軸は 固定だった
- 101. 立体の場合 (x, y, z) ix+jy+kz+w (x, y, z, w) 実部虚部 回転軸が 虚部のベクトル
- 102. 複素数の回転と クォータニオンの回転 cosθ+isinθ 複素数 cosー+nsinー 2 2 θ θ n=inx+jny+knz n(nx, ny, nz)は回転軸のベクトル クォータニオン
- 105. クォータニオンのテクニック
- 106. 便利なテクニック Slerp (Spherical Linear Interpolation):球面線形補間 transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, target_rotation, 0.1f); 現在の値 目標の値 適当な率
- 110. 実演 バネトルク実装例
- 111. ４要素の符号を反転しても 同じ回転になる (x, y, z, w) (-x, -y, -z, -w)
- 112. 実は回転の方向が異なる (x, y, z, w) (-x, -y, -z, -w)
- 113. バネトルクを完成させる テクニック wが負のときに反転すると 短い方の回転になる (x, y, z, w) (-x, -y, -z, -w)
- 114. 修正済みコード 追加
- 115. var rot = Quaternion.LookRotation(diff); 第二引数に Vector.up が省略されている var up = transform.TransformVector(Vector3.up); var rot = Quaternion.LookRotation(diff, up); 自分の姿勢から up ベクトルを作る 水平を維持しないテクニック
- 116. 修正済みコードその２ 追加
- 117. デモ
- 118. このあと学習を続けるなら… • トルクや物理を詳しく知りたい→Unity道場札幌講演をぜひ！ https://www.youtube.com/watch?v=FqjM9oujyNE&feature=youtu.be • クォータニオンの応用例を知りたい→Unite2017Tokyoをぜひ！ https://www.youtube.com/watch?v=6EtTI5xC524 27分あたりから • なんで と、 になるのか気になる→ ブログ「クォータニ オンで回転を表現する定義にθ/2が使用される理由」をぜひ！ http://qiita.com/yuji_yasuhara/items/a5b7c489e1d521adbd72 θ 2 cosー+nsinー 2 θ 2 θ ー
- 121. おしまい