Vektor di ruang 2 dan 3

Vektor di ruang 2 dan 3

• 1.
  VEKTOR DI RUANGDIMENSI 2 DAN 3 Setiap objek pembicaraan dalam matematika memiliki ruang himpunan di mana objek itu berasal. Di dalamnya terdapat aturan-aturan yang berlaku yang dipenuhi oleh setiap anggotanya. Misalnya, semua bilangan nyata tergabung dalam sebuah himpunan bilangan yang dinamakan himpunan bilangan real (ℝ). Semua sifat-sifat dan aturan perhitungan bilangan real berlaku bagi semua himpunan anggotanya, seperti pada bilangan rasional, irasional, bulat, pecahan, dan lain- lain. Sebelum membahas lebih jauh mengenai vektor, akan diperkenalkan tentang konsep ruang, mulai dari dimensi terkecil hingga dimensi yang digeneralisasi, sebagai ruang-n. 1. Ruang Dimensi-n Himpunan bilangan nyata (real) biasanya digambarkan ke dalam sebuah gambar sederhana yang disebut garis bilangan. Garis bilangan dapat dianggap sebagai grafik sederhana yang menyatakan letak suatu bilangan, di mana bilangan yang lebih besar berada di sebelah kanan bilangan yang lebih kecil. Karena garis bilangan hanya memiliki satu dimensi yaitu panjang, maka himpunan bilangan real dapat dinyatakan sebagai ruang berdimensi-1. Meskipun kata „ruang‟ menunjukkan suatu tempat berdimensi-3, namun dalam matematika „ruang‟ mempunyai makna tersendiri. Berdasarkan definisinya, ruang dalam matematika merupakan himpunan dari objek-objek yang memiliki sifat yang sama dan memenuhi semua aturan yang berlaku dalam ruang tersebut. Definisi Ruang-1 atau 𝑅 1 Ruang dimensi-1 atau ruang-1 (𝑅 1 ) adalah himpunan semua bilangan real (ℝ). Himpunan bilangan real dapat digambarkan oleh garis bilangan real : Bil. Rasional & irasional -3 -2 -1 0 1 2 3 Bulat Negatif Nol Bulat Positif Jadi, garis bilangan berfungsi untuk menunjukkan letak suatu titik pada s uatu garis berdasarkan besarnya. Gagasan ini memunculkan gagasan berikutnya bahwa suatu titik dapat berada pada suatu bidang ataupun ruang. Pada pertengahan abad ke-17 lahirlah konsep ruang dimensi-2 dan dimensi-3, yang kemudian pada akhir abad ke-19 para ahli matematika dan fisika memperluas gagasannya hingga ruang dimensi-n. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 29
• 2.
  Definisi Ruang-2 atau𝑅 2 Ruang dimensi-2 atau ruang-2 (𝑅 2 ) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan (𝑥, 𝑦), di mana x dan y adalah bilangan-bilangan real. Pasangan bilangan (𝑥, 𝑦) dinamakan titik (point) dalam 𝑅 2 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦). Bilangan x dan y disebut koordinat dari titik P. Untuk menggambarkan titik-titik di 𝑅 2 secara geometris, koordinat x dan y dianggap berada pada dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu sistem koordinat. Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebut digambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistem koordinat siku-siku. Pada 𝑅 2 sistem ini dinamakan sistem koordinat-xy atau sistem koordinat kartesius (Cartesian system) yang dibangun oleh :  Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x, 0).  Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, y). Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (origin point) ditulis O(0, 0). Titik ini adalah titik di mana sumbu x dan y saling berpotongan. y x O Definisi Ruang-3 atau 𝑅 3 Ruang dimensi-3 atau ruang-3 (𝑅 3 ) adalah himpunan tripel bilangan berurutan (𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tripel bilangan (𝑥, 𝑦, 𝑧) dinamakan titik (point) dalam 𝑅 3 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). Bilangan x, y, dan z, disebut koordinat dari titik P. Seperti halnya 𝑅 2 , 𝑅 3 memiliki sistem koordinat siku-siku yaitu sistem koordinat-xyz, dengan titik asal 𝑂 0, 0, 0 , yang dibangun oleh :  Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (𝑥, 0, 0). Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 30
• 3.
   Sumbu y(y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, 𝑦, 0).  Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, 0, 𝑧). Menjelang akhir abad 19, para matematikawan dan fisikawan mulai menemukan gagasan bahwa dimensi tidak hanya terbatas pada dimensi-3 dengan tripel bilangannya, tetapi juga kuadrupel sebagai titik pada ruang dimensi-4, kuintupel pada ruang dimensi-5, dan seterusnya. Hal ini menghasilkan generalisasi untuk ruang dimensi-n. Definisi tupel -n-berurutan Jika n adalah sebuah bilangan positif, maka tupel-n-berurutan (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n buah bilangan real (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ). Definisi Ruang-n atau 𝑅 𝑛 Ruang dimensi-n atau ruang-n (𝑅 𝑛 ) adalah himpunan semua tupel-n-berurutan (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ), dengan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , dan 𝑎 𝑛 adalah bilangan-bilangan real. Tupel-n bilangan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 dinamakan titik (point) dalam 𝑅 𝑛 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ). Bilangan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , dan 𝑎 𝑛 disebut koordinat dari P. Jelas bahwa ruang dimensi-n dengan n > 3 tidak dapat divisualisasikan secara geometris, namun penemuan ini sangat berguna dalam pekerjaan analitik dan numerik, karena tidak sedikit permasalahan nyata tidak dapat divisualisasikan dengan grafis namun memerlukan penalaran dan penyelesaian secara matematis. 𝑅 𝑛 yang merupakan generalisasi dari 𝑅 1 , 𝑅 2 , dan 𝑅 3 , menyebabkan sifat-sifat dan aturan-aturan di dalamnya adalah sama, perbedaannya hanya terletak pada ukuran atau Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 31
• 4.
  banyak komponen yangakan dihitung. Walaupun bab ini hanya menyajikan definisi, teorema, atau sifat-sifat dalam 𝑅 2 dan 𝑅 3 , tetapi semuanya akan berlaku untuk 𝑅 𝑛 , setelah dimodifikasi sesuai dimensinya. Seperti definisi jarak antar dua titik dalam 𝑅 2 dan 𝑅 3 berikut yang dapat digeneralisasi untuk 𝑅 𝑛 . Definisi Jarak Dua Titik Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥 1 , 𝑦1 ) dan 𝐵(𝑥 2 , 𝑦2 ) di 𝑅 2 didefinisikan oleh : 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥 1 2+ 𝑦2 −𝑦1 2 Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥 1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) dan 𝐵(𝑥 2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) di 𝑅 3 didefinisikan oleh : 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 −𝑦1 2 + 𝑧2 −𝑧1 2 2. Titik dan Garis Pada bagian sebelumnya telah dibahas pengertian titik pada 𝑅 2 dan 𝑅 3 serta 𝑅 𝑛 secara umum. Definisi titik ini sama untuk semua rua ng, yang berbeda hanyalah kedudukannya di dalam masing- masing ruang tersebut. Dua titik atau lebih jika dihubungkan akan membentuk garis, kumpulan garis-garis akan menjadi bidang, dan kumpulan bidang-bidang akan menjadi ruang. Geometri adalah cabang matematika yang khusus mempelajari titik, garis, dan bidang. Mengenai garis, geometri hanya terbatas pada kuantitas dan kedudukan, seperti panjang garis atau besar sudut antara dua garis, tetapi tidak pada arahnya serta kedudukannya dalam suatu bidang atau ruang. Ilmu vektor merupakan cabang dari matematika yang mempelajari ruas garis berarah yang dinamakan vektor. 3. Vektor Banyak kuantitas fisis, seperti luas, panjang, massa, suhu, dan lainnya, dapat dijelaskan secara lengkap hanya dari besarnya, misalnya 50 kg, 100 m, 30 ℃, dll. Kuantitas fisis ini dinamakan skalar. Dalam matematika, skalar mengacu pada semua bilangan yang bersifat konstan. Namun, ada kuantitas fisis lain yang tidak hanya memiliki besar/nilai tapi juga arah, seperti kecepatan, gaya, pergeseran, dan lain- lain. Kuantitas fisis ini dalam fisika maupun matematika dinamakan vektor. Dalam matematika, ilmu vektor menjadi salah satu cabang ilmu yang semakin luas perkembangannya serta penerapannya, dan tidak terbatas pada mempelajari besaran-besaran yang memiliki nilai dan arah tetapi sebagai suatu besaran yang memiliki banyak komponen yang membentuk satu kesatuan dari besaran itu sendiri. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 32
• 5.
  Notasi Vektor Vektor biasanyadinyatakan dengan huruf kecil tebal (a), atau diberi tanda panah di atasnya (𝑎), atau tanda garis bawah ( 𝑎 ). Definisi Vektor Sebuah vektor a dengan komponen-n (berdimensi-n) di dalam 𝑅 𝑛 adalah suatu aturan tupel-n dari bilangan-bilangan yang ditulis sebagai baris (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) atau sebagai 𝑎1 𝑎2 kolom ⋮ , dengan 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah bilangan-bilangan real dan dinamakan 𝑎𝑛 komponen dari vektor a. 𝑎1 Dengan demikian, di 𝑅 2 vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 ) atau 𝐚 = 𝑎2 , dan di 𝑅 3 𝑎1 vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) atau 𝐚 = 𝑎2 . Pada bagian berikutnya, vektor 𝑎3 akan sering disajikan dalam bentuk baris (vektor baris). Berdasarkan definisi titik dan vektor, simbol (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) mempunyai dua tafsiran geometrik yang berbeda, yaitu sebagai titik dalam hal 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah koordinat, dan sebagai vektor dalam hal 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah komponen. Arti Geometrik Vektor Secara geometris, vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah. Arah panah menentukan arah vektor dan panjangnya menyatakan besar vektor. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik ujung/terminal (terminal point). Titik ujung a Titik awal Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor. Misal pada 𝑅 2 , vektor 𝐯 = (2, 3) berarti dari titik awal bergerak 2 satuan ke kanan, kemudian 3 satuan ke atas. Pada 𝑅 3 , misalkan sebuah vektor 𝐯 = 3, 4, −2 berarti dari titik awal bergerak 2 satuan ke depan (x-positif), 4 satuan ke kanan (y-positif), dan 2 satuan ke bawah (z- negatif). Definisi berikut dapat memperjelas tafsiran geometrik vektor. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 33
• 6.
  Definisi Vektor Posisi Vektorposisi dari 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) adalah suatu vektor yang titik awalnya adalah titik asal O dan titik ujungnya adalah A, dan ditulis 𝑂𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ). Berdasarkan definisi ini dapat dibuktikan bahwa, dari sebuah titik dapat dibuat tepat satu buah vektor posisi. Dengan kata lain setiap titik dalam ruang memiliki vektor posisi yang berbeda-beda. Jika vektor v dengan titik awal A dan titik ujung B, maka v dapat ditulis sebagai : 𝐴𝐵 . Komponen-komponen dari 𝐴𝐵 akan dijelaskan setelah mempelajari aritmetika vektor. Definisi Vektor-Vektor Ekuivalen Vektor- vektor ekuivalen adalah vektor- vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama. Vektor- vektor ekuivalen dianggap sebagai vektor yang sama meskipun kedudukannya berbeda-beda. Jika v dan w ekuivalen maka dapat dituliskan v = w. Contoh 1 : Keempat ruas garis berarah di atas berawal di suatu titik tertentu yang kemudian digerakkan 2 satuan ke kiri dan 5 satuan ke atas. Keempatnya dinamakan vektor dan −2 dapat dinotasikan oleh 𝐯 = −2, 5 = . Keempat ruas garis berarah di atas 5 dinamakan representasi dari vektor v. ∎ Definisi Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang semua komponennya adalah nol, dan ditulis 𝟎 = (0, 0, 0). Dengan demikian vektor nol adalah vektor yang tidak mempunyai panjang dan arah. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 34
• 7.
  Definisi Negatif Vektor Negatifdari vektor v, atau –v didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar yang sama dengan v, namun arahnya berlawanan dengan v. Definisi Vektor satuan/unit (Unit Vectors) Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya adalah 1. Definisi Vektor Basis/Satuan Standar (Standard Unit Vectors) Vektor satuan baku adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu-sumbu koordinat. Untuk 𝑅 2 , vektor satuan baku ditulis : i = 1, 0 dan j = 0, 1 . Untuk 𝑅 3 , vektor satuan baku ditulis : i = 1, 0, 0 , j = 0, 1, 0 , dan k = 0, 0, 1 . Dengan demikian setiap vektor v = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) di 𝑅 3 dapat ditulis v= 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 = 𝑣1 1, 0, 0 + 𝑣2 0, 1, 0 + 𝑣3 0, 0, 1 = 𝑣1 𝐢 + 𝑣2 𝐣 + 𝑣3 𝐤 Contoh 2 : Nyatakan v = 2, −3, 4 dalam vektor basis. Penyelesaian : 𝐯 = 2, −3, 4 = 2 1, 0, 0 + −3 0, 1, 0 + 4 0, 0, 1 = 2𝐢 − 3𝐣 + 4𝐤 ∎ Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 35
• 8.
  4. Aritmetika Vektor Pada bagian ini, definisi serta teorema yang diberikan hanya untuk vektor-vektor di 𝑅 3 , sedangkan interpretasi geometris sedapatnya diberikan dalam 𝑅 3 , namun kebanyakan dalam 𝑅 2 . Hal ini bertujuan hanya untuk mempermudah pemahaman analitik dan geometrik. Secara konsep, teoretis, dan numeris, semua definisi, teorema, dan rumus-rumus dapat dengan mudah dimodifikasi sesuai dimensi yang diinginkan. Definisi Penjumlahan Vektor Diberikan vektor 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan 𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka penjumlahan a dan b didefinisikan oleh 𝐚 + 𝐛 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 ) Secara geometris, penjumlahan a + b dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan segitiga (triangle law) dan aturan jajar genjang (parallelogram law). Aturan segitiga dilakukan dengan menghubungkan titik awal b dengan titik ujung a, kemudian menghubungkan titik awal a dan titik ujung b sebagai (a + b). Sedangkan aturan jajar genjang dilakukan dengan menghubungkan kedua titik asal a dan b, sehingga a dan b membentuk jajaran genjang. Diagonal yang dibuat dari titik awal kedua vektor akan menjadi (a + b). Seperti ilustrasi berikut : 𝒂+ 𝒃 𝒃 𝒂 Contoh 3 : Misalkan 𝐮 = 1, 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 , dan 𝐰 = (3, 2, −1) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka 𝐮 + 𝐯 + 𝐰 = (1 + 2 + 3, 2 + −3 + 2, 3 + 1 + −1 = 6, 1, 3 ∎ Definisi Pengurangan Vektor Diberikan vektor 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan 𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), maka pengurangan a oleh b didefinisikan oleh : 𝐚 − 𝐛 = 𝐚 + −𝐛 = [ 𝑎1 + (−𝑏1 , 𝑎2 + (−𝑏2 ), 𝑎3 + (−𝑏3 )] = ( 𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3 ) Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 36
• 9.
  Seperti halnya padapenjumlahan vektor, secara geometris pengurangan vektor dapat dilakukan dengan aturan segitiga ataupun jajar genjang seperti ilustrasi berikut. Contoh 4 : Misalkan 𝐮 = 1, 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 , dan 𝐰 = (3, 2, −1) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka 𝐮 − 𝐯 − 𝐰 = (1 − 2 − 3, 2 − −3 − 2, 3 − 1 − −1 = −4, 3, 3 ∎ Berdasarkan definisi ini, komponen-komponen dari vektor yang titik awalnya bukan titik asal, misal 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan titik ujung 𝐵(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), sehingga 𝐚 = 𝑂𝐴 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 dan 𝐛 = 𝑂𝐵 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 adalah : 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 – 𝑂𝐴 = 𝐛 – 𝐚 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 − 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 = (𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2 , 𝑏3 − 𝑎3 ) Contoh 5 : Vektor dengan titik awal dan titik ujung berturut-turut 𝑃1 2, −7, 0 dan 𝑃2 (1, −3, −5) adalah 𝑃1 𝑃2 = 1 − 2, −3 − −7 , −5 − 0 = −1, 4, −5 ∎ Dengan memisalkan semua koordinat ada di sumbu-sumbu positif, vektor 𝐴𝐵 di 𝑅 3 , dengan koordinat 𝐴 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 dan 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), dapat digambarkan sebagai berikut. Sehingga 𝐴𝐵 = (𝑥 2 − 𝑥 1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ). Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 37
• 10.
  Definisi Perkalian Skalar-Vektor Jika𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor tak- nol dan k adalah bilangan real tak-nol, maka hasil kali kv didefinisikan oleh 𝑘𝐯 = 𝑘 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 = (𝑘𝑣1 , 𝑘𝑣2 , 𝑘𝑣3 ) Secara geometris, hasil kali kv adalah vektor yang panjangnya k kali panjang v, yang arahnya sama dengan v jika k > 0, dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Contoh 6 : 1 Misalkan suatu vektor di 𝑅 2 , 𝐚 = (2, 4). Hitunglah 3𝐚, 𝐚, dan − 2𝐚, dan gambarkan 2 keempat vektor tersebut ke dalam satu sistem koordinat. Penyelesaian : Berdasarkan definisi perkalian skalar-vektor, maka 1 3𝐚 = 6, 12 ; 𝐚 = 1, 2 ; −2𝐚 = (−4, −8) 2 ∎ Norma/Panjang Vektor Panjang suatu garis dapat diperoleh dengan menggunakan aturan Phytagoras. Karena vektor adalah ruas garis berarah, maka panjang vektor, baik di 𝑅 2 maupun 𝑅 3 dapat diperoleh dengan rumus yang sama. Definisi Norma Vektor Norma atau panjang vektor 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) didefinisikan oleh : 𝐯 = 𝑣1 2 + 𝑣2 2 + 𝑣3 2 Berdasarkan definisi di atas, jika 𝐯 = 0 maka 𝐯 = 𝟎. Dan, jika v vektor satuan, maka 𝐯 = 1, begitu pula dengan vektor basis 𝐢 = 1, 𝐣 = 1, dan 𝐤 = 1. Contoh 7 : Misalkan 𝐚 = (3, −5, 10) maka 𝐚 = 9 + 25 + 100 = 134 ∎ Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 38
• 11.
  Teorema : AturanDasar Aritmetika Vektor Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 , dan k serta l adalah skalar (bilangan real), maka hubungan berikut akan berlaku, a. u+v=v+ u b. (u + v) + w = u + (v + w) c. u+0=0+ u= u d. u + (-u) = 0 e. k( lu ) = ( kl )u f. k(u + v) = ku + kv g. (k + l)u = ku + lu h. 1u = u 5. Perkalian Titik / Perkalian Dalam (Dot Product/Inner Product) Definisi pertama dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan sifat-sifat geometrisnya, yaitu norma kedua vektor dan besar sudut di antara keduanya, dengan asumsi titik-titik awalnya berimpit. Definisi 1 Jika u dan v adalah vektor-vektor di 𝑅 2 dan 𝑅 3 , dan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam Euclidis (Euclidean inner product) 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh 𝐮 𝐯 cos 𝜃 ; jika 𝐮 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ≠ 𝟎 𝐮∙ 𝐯= 0 ; jika 𝐮 = 𝟎 atau 𝐯 = 𝟎 Pekalian ini juga dinamakan perkalian skalar (scalar product) karena hasil perkalian titik dua vektor akan menghasilkan skalar (bilangan real). Dari definisi jelas bahwa norma vektor u dan v serta nilai cosinus sebarang sudut di antara keduanya adalah bilangan real, sehingga hasil kali ketiganya adalah bilangan real. Jika salah satu atau kedua vektor merupakan vektor nol, maka hasilnya adalah nol. a 𝐚 b 𝜽 𝐛 Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 39
• 12.
  Contoh 8 : Misalkan𝐮 = 0, 0, 1 dan 𝐯 = (0, 2, 2) sedangkan sudut di antaranya adalah 45°, 1 maka 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 45° = 02 + 02 + 12 02 + 22 + 22 =2∎ 2 Definisi ke-dua dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan komponen- komponen dari masing- masing vektor. Definisi 2 Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 ) adalah vektor di 𝑅 2 , maka perkalian titik/perkalian dalam 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh : 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢 1 𝑣1 + 𝑢 2 𝑣2 Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor di 𝑅 3 , maka perkalian titik 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh : 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢 1 𝑣1 + 𝑢 2 𝑣2 + 𝑢 3 𝑣3 Contoh 9 : Misalkan 𝐚 = 0, 3, −7 dan 𝐛 = (2, 3, 1) maka 𝐚 ∙ 𝐛 = 0.2 + 3.3 + −7 . 1 = 2 ∎ Kedua definisi ini saling berkaitan karena salah satu definisi diperoleh dari definisi yang lain. Dalam beberapa buku, salah satu definisi dituliskan sebagai “definisi”, kemudian definisi yang lainnya dituliskan sebagai “teorema” yang diturunkan dari definisi sebelumnya. Biasanya kedua definisi digabungkan untuk mencari besar sudut di antara u dan v jika komponen u dan v diketahui. Contoh 10 : Misalkan 𝐮 = (2, −1, 1) dan 𝐯 = (1, 1, 2), Hitunglah 𝐮 ∙ 𝐯 dan tentukan sudut di antara keduanya. Penyelesaian : 𝐮 = 22 + (−1)2 + 12 = 6 ; 𝐯 = 12 + 12 + 22 = 6 ; dan 𝐮 ∙ 𝐯 = 2.1 + −1 . 1 + 1.2 = 3 sehingga, 𝐮∙ 𝐯 3 1 1 𝐮∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 𝜃 ⇔ cos 𝜃 = = = ⇔ 𝜃 = arccos = 60° ∎ 𝐮 𝐯 6 6 2 2 Teorema : Sudut Antara Dua Vektor Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, dan 𝜃 adalah besar sudut di antara kedua vektor tersebut, maka Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 40
• 13.
  𝜃 lancip (0° < 𝜃 < 90°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 > 0 𝜃 tumpul (90° < 𝜃 < 180°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 < 0 𝜃 siku-siku (𝜃 = 90°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 = 0 Dua vektor yang membentuk sudut siku-siku dinamakan ortogonal (tegak lurus). Teorema : Sifat-sifat Perkalian Titik Jika u, v, dan w adalah vektor- vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 dan k adalah skalar, maka a. 𝐮∙ 𝐯 = 𝐯∙ 𝐮 b. 𝐮∙ 𝐯+ 𝐰 = 𝐮∙ 𝐯+ 𝐮 ∙ 𝐰 c. 𝑘 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑘𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 ∙ (𝑘𝐯) d. 𝐯 ∙ 𝐯 > 0 jika 𝐯 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ∙ 𝐯 = 0 jika 𝐯 = 𝟎 6. Proyeksi Dua vektor yang titik asalnya berimpit dapat menghasilkan vektor lain yang dinamakan vektor proyeksi. Perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan a dan b berimpit di titik asalnya. Jika dari titik ujung b ditarik garis menuju a sedemikian sehingga tegak lurus a (diproyeksikan terhadap a), maka vektor yang dapat dibuat dengan titik asal yang sama dan berujung di titik di mana b diproyeksikan pada a dinamakan vektor proyeksi b terhadap a. Vektor ini disebut juga proyeksi ortogonal b pada a. Dengan cara yang sama dapat diperoleh vektor proyeksi a terhadap b. Notasi Vektor Proyeksi Vektor proyeksi b terhadap a dinotasikan proy 𝐚 𝐛 Vektor proyeksi a terhadap b dinotasikan dengan proy 𝐚 𝐛 Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 41
• 14.
  Teorema : ProyeksiOrtogonal Jika u dan v adalah vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 dan keduanya bukan vektor nol, maka 𝐚∙ 𝐛 𝐚∙ 𝐛 proy 𝐚 𝐛 = 𝐚 dan proy 𝐛 𝐚 = 𝐛 𝐚 2 𝐛 2 Sedangkan panjang dari vektor-vektor proyeksi tersebut adalah 𝐚∙ 𝐛 𝐚∙ 𝐛 proy 𝐚 𝐛 = dan proy 𝐛 𝐚 = 𝐚 𝐛 Contoh 11 : Jika 𝐚 = (1, 0, −2) dan 𝐛 = (2, 1, −1) , tentukan vektor proyeksi a pada b. 2 Penyelesaian : 𝐚 ∙ 𝐛 = 4 dan 𝐛 = 6 maka proyeksi ortogonal a pada b adalah 𝐚∙ 𝐛 4 4 2 2 proy 𝐛 𝐚 = 2 𝐛 = 2, 1, −1 = , ,− ∎ 𝐛 6 3 3 3 7. Perkalian Silang (Cross Product) Berikut akan diperkenalkan sebuah operasi antar vektor dalam 𝑅 3 . Jika perkalian titik akan menghasilkan skalar/bilangan, maka perkalian silang akan menghasilkan vektor. Dan jika proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor la in akan menghasilkan vektor baru yang berimpit dengan vektor tersebut, maka perkalian silang dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut. Definisi Perkalian Silang Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor di 𝑅 3 , maka perkalian silang 𝐮 × 𝐯 didefinisikan oleh 𝐮 × 𝐯 = (𝑢 2 𝑣3 − 𝑢 3 𝑣2 , 𝑢 3 𝑣1 − 𝑢 1 𝑣3 , 𝑢 1 𝑣2 − 𝑢 2 𝑣1 ) atau dalam notasi determinan 𝑢2 𝑢3 𝑢 𝑢3 𝑢 𝑢2 𝐮× 𝐯= 𝑣2 𝑣3 , − 𝑣1 𝑣3 , 𝑣1 𝑣2 1 1 Rumus di atas dapat dibuat pola yang mudah diingat. Bentuklah matriks 2 × 3 : 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 Komponen pertama dari 𝐮 × 𝐯 adalah determinan matriks tersebut setelah kolom pertama dicoret, komponen ke-2 adalah negatif dari determinan matriks setelah kolom ke-2 dicoret, dan komponen ke-3 adalah determinan matriks setelah kolom ke-3 dicoret. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 42
• 15.
  Contoh 12 : Misalkan𝐮 = (1, 2, −2) dan 𝐯 = (3, 0, 1), maka 1 2 −2 3 0 1 2 −2 1 −2 1 2 𝐮× 𝐯 = ,− , = 2, −7, −6 ∎ 0 1 3 1 3 0 Secara geometris, perkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat diinterpretasikn oleh gambar berikut, Arah 𝐮 × 𝐯 dapat ditentukan dengan “aturan tangan kanan” (right hand rule). Misalkan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, dan anggaplah u terotasi sejauh sudut 𝜃 menuju v (sehingga berimpit dengan v). Jika jari-jari tangan kanan menunjukkan arah rotasi u maka ibu jari menunjukkan arah 𝐮 × 𝐯. Dengan menggunakan definisi ataupun dengan mempraktekkan aturan ini, dapat diperoleh hasil- hasil berikut : 𝐢× 𝐢= 𝐣× 𝐣= 𝐤× 𝐤= 𝟎 𝐢× 𝐣= 𝐤, 𝐣× 𝐤= 𝐢, 𝐤× 𝐢= 𝐣 𝐣 × 𝐢 = −𝐤 , 𝐤 × 𝐣 = −𝐢 , 𝐢 × 𝐤 = −𝐣 Diagram berikut dapat membantu untuk mengingat hasil perkalian di atas. i k j Perkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk determinan 3×3 : 𝐢 𝐣 𝐤 𝑢 𝑢3 𝑢1 𝑢3 𝑢1 𝑢2 𝐮 × 𝐯 = 𝑢1 𝑢2 𝑢3 = 𝑣 2 2 𝑣3 𝐢 − 𝑣1 𝑣3 𝐣 + 𝑣1 𝑣2 𝐤 𝑣1 𝑣2 𝑣3 Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 43
• 16.
  Contoh 13 : Contoh11 dapat dikejakan dengan cara : 𝐢 𝐣 𝐤 2 −2 1 −2 1 2 𝐮× 𝐯 = 1 2 −2 = 𝐢− 𝐣+ 𝐤 = 2𝐢 − 7𝐣 − 6𝐤 ∎ 0 1 3 1 3 0 3 0 1 Teorema : Hubungan Perkalian Silang dan Perkalian titik Jika u dan v adalah vektor di 𝑅 3 , maka : a. 𝐮 ∙ 𝐮× 𝐯 = 0 ( 𝐮 × 𝐯 ortogonal ke u ) b. 𝐯∙ 𝐮× 𝐯 = 0 ( 𝐮 × 𝐯 ortogonal ke u ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 c. 𝐮× 𝐯 = 𝐮 𝐯 − 𝐮∙ 𝐯 (Identitas Lagrange/Lagrange Identity) Teorema : Sifat-Sifat Perkalian Silang Jika u, v, dan w dalah sebarang vektor di 𝑅 3 ddan k adalah sebarang skalar, maka : a. 𝐮× 𝐯=− 𝐯× 𝐮 b. 𝐮 × 𝐯 + 𝐰 = 𝐮 × 𝐯 + (𝐮 × 𝐰) c. 𝐮 + 𝐯 × 𝐰 = 𝐮 × 𝐰 + (𝐯 × 𝐰) d. 𝑘 𝐮× 𝐯 = 𝑘𝐮 × 𝐯 = 𝐮 × (𝑘𝐯) e. 𝐮× 𝟎= 𝟎× 𝐮= 𝟎 f. 𝐮× 𝐮= 𝟎 𝑢1 𝑢2 𝑢3 g. 𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 = 𝐮 × 𝐯 ∙ 𝐰 = 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑤1 𝑤2 𝑤3 Berdasarkan teorema-teorema sebelumnya, dapat diturunkan teorema berikut. Teorema : Aplikasi Geometri Perkalian Silang Jika u, v, dan w vektor- vektor di 𝑅 3 dengan titik asal yang sama, maka a. Jika 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, maka 𝐮× 𝐯 = 𝐮 𝐯 sin 𝜃 b. Norma dari 𝐮 × 𝐯 sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v, atau Luas jajar genjang = 𝐮× 𝐯 c. Volume bangun yang dibentuk oleh ketiganya adalah 𝑎𝑏𝑠[𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 ]. Contoh 14 : a, b, dan c adalah sebarang vektor di 𝑅 3 yang berimpit di titik awalnya. Jika ketiganya dihubungkan akan membentuk suatu bangun dimensi-3 (parallelpiped). Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 44
• 17.
  Luas masing- masingsisinya adalah : 𝐚× 𝐛 , 𝐛× 𝐜 , 𝐚× 𝐜 Sedangkan volume bangun tersebut adalah : 𝑎𝑏𝑠(𝐚 ∙ 𝐛 × 𝐜 ) Rumus volume di atas biasanya digunakan untuk mengetahui apakah ketiga vektor berada pada bidang yang sama. Jika volume yang dihitung bernilai nol, maka ketiganya berada pada bidang yang sama, dan sebaliknya jika volumenya tidak sama dengan nol. Fungsi abs(absolute)/mutlak berguna untuk mempositifkan hasil akhir perhitungan volume. Contoh 15 : Tentukan apakah ketiga vektor 𝐚 = (1, 4, −7), 𝐛 = (2, −1, 4), dan 𝐜 = (0, −9, 18) terletak pada satu bidang di 𝑅 3 atau tidak. Penyelesaian : 1 4 −7 1 4 𝐚∙ 𝐛× 𝐜 = 2 −1 4 2 −1 0 −9 18 0 −9 = 1 −1 18 + 4 4 0 + −7 2 −9 — { 7 −1 0 + 1 4 −9 + 4 2 18 } = −18 + 126 − 144 + 36 =0 Jadi, ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang di 𝑅 3 ∎ Contoh 16 : Carilah luas segitiga yang dibentuk oleh 𝑃1 2, 2, 0 , 𝑃2 −1, 0, 2 , dan 𝑃3 (0, 4, 3) . Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 45
• 18.
  Penyelesaian : z 𝑃2 −1, 0, 2 𝑃3 (0, 4, 3) y 𝑃1 2, 2, 0 x Luas segitiga tersebut adalah ½ luas jajaran genjang yang dibentuk 𝑃1 𝑃2 dan 𝑃1 𝑃3, di mana 𝑃1 𝑃2 = −1, 0, 2 − 2, 2, 0 = (−3, −2, 2) 𝑃1 𝑃3 = 0, 4, 3 − 2, 2, 0 = (−2, 2, 3) 𝑃1 𝑃2 × 𝑃1 𝑃3 = (−10, 5, −10) 1 1 1 Sehingga Luas segitiga = 𝑃1 𝑃2 × 𝑃1 𝑃3 = 15 = 7 2 ∎ 2 2 Latihan I 1. Carilah komponen vektor yang mempunyai titik awal 𝑃1 dan titik ujung 𝑃2. a. 𝑃1 3, 5 ; 𝑃2 (2, 8) b. 𝑃1 7, −2 ; 𝑃2 (0, 0) c. 𝑃1 6, 5, 8 ; 𝑃2 (8, −7, 3) d. 𝑃1 0, 0, 0 ; 𝑃2 (−8, 7, 4) 2. Misalkan 𝐮 = 1, − 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 dan 𝐰 = (3, 2, −1). Carilah komponen- komponen dari : a. u – w b. 7v + 3w c. –w + v d. 3(u – 7v) e. – 3v – 8w f. 2v – (u + w) 3. Carilah vektor dengan titik awal 𝑃(2, −1, 4) yang mempunyai arah yang sama dengan 𝐯 = (7, 6, −3). 4. Carilah vektor yang berlawanan arah dengan 𝐯 = (−2, 4, −1) yang mempunyai titik terminal di 𝑄(2, 0, −7). Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 46
• 19.
  5. Misalkan 𝑃(2,3, −2) dan 𝑄(7, −4, 1). a. Carilah titik tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q. b. Carilah titik pada segmen garis 𝑃𝑄 sehingga dari P ke titik itu adalah ¾ dari 𝑃𝑄. Latihan II 1. Hitunglah norma/panjang v jika a. 𝐯 = (3, 4) b. 𝐯 = (−1, 7) c. 𝐯 = (0, −3) d. 𝐯 = (1, 1, 1) e. 𝐯 = (−8, 7, 4) f. 𝐯 = (9, 0, 0) 2. Hitunglah jarak di antara A dan B. a. 𝐴 2, 3 , 𝐵(4, 6) b. 𝐴 −2, 7 , 𝐵(0, −3) c. 𝐴 8, −4, 2 , 𝐵(−6, −1, 0) d. 𝐴 1, 1, 1 , 𝐵(6, −7, 3) 3. Misalkan 𝐮 = 1, −3, 2 , 𝐯 = 1, 1, 0 dan 𝐰 = (2, 2, −4). Carilah : a. 𝐮+ 𝐯 b. 𝐮 + 𝐯 c. −2𝐮 + 2 𝐮 d. 3𝐮 − 5𝐯 + 𝐰 1 e. 𝐰 𝐰 1 f. 𝐰 𝐰 4. Carilah semua skalar k sehingga 𝑘𝐯 = 3, di mana 𝐯 = 1, 2, 4 . Latihan III 1. Carilah 𝐮 ∙ 𝐯 untuk : a. 𝐮 = 1, 2 , 𝐯 = 6, −8 b. 𝐮 = −7, −3 , 𝐯 = 0, 1 c. 𝐮 = 1, −3, 7 , 𝐯 = 8, −2, −2 d. 𝐮 = −3, 1, 2 , 𝐯 = 4, 2, −5 2. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul, atau keduanya ortogonal. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 47
• 20.
  a. 𝐮 = 7, 3, 5 , 𝐯 = −8, 4, 2 b. 𝐮 = 6, 1, 3 , 𝐯 = 4, 0, −6 c. 𝐮 = 1, 1, 1 , 𝐯 = −1, 0, 0 d. 𝐮 = 4, 1, 6 , 𝐯 = −3, 0, 2 3. Carilah proyeksi ortogonal u pada a, jika : a. 𝐮 = 2, 1 , 𝐚 = −3, 2 b. 𝐮 = 2, 6 , 𝐚 = −9, 3 c. 𝐮 = −7, 1, 3 , 𝐚 = 5, 0, 1 d. 𝐮 = 0, 0, 1 , 𝐚 = 8, 3, 4 4. Carilah 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝐚 𝐮 , jika : a. 𝐮 = 2, −1 , 𝐚 = 3, 4 b. 𝐮 = 4, 5 , 𝐚 = 1, −2 c. 𝐮 = 2, −1, 3 , 𝐚 = 1, 2, 2 d. 𝐮 = 4, −1, 7 , 𝐚 = 2, 3, −6 5. Misalkan 𝐮 = 1, 2 , 𝐯 = 4, −2 , dan 𝐰 = (6, 0). Carilah : a. 𝐮 ∙ 7𝐯 + 𝐰 b. 𝐮∙ 𝐰 𝐰 c. 𝐮 𝐯∙ 𝐰 d. 𝐮 𝐯 ∙ 𝐰 Latihan IV 1. Misal 𝐮 = 2, −1, 3 , 𝐯 = 0, 1, 7 , dan 𝐰 = (1, 4, 5). Nyatakan dalam vektor basis : a. 𝐯 × 𝐰 b. 𝐮 × (𝐯 × 𝐰) c. 𝐮× 𝐯 × 𝐰 d. (𝐮 × 𝐯) × (𝐯 × 𝐰) e. 𝐮 × (𝐯 − 2𝐰) f. 𝐮 × 𝐯 − 2𝐰) 2. Carilah vektor yang ortogonal terhadap u dan v. a. 𝐮 = −7, 3, 1 , 𝐯 = 2, 0, 4 b. 𝐮 = −1, −1, −1 , 𝐯 = 2, 0, 2 3. Carilah luas segitiga yang mempunyai titik sudut P, Q, dan R. a. 𝑃 1, 5, −2 𝑄 0, 0, 0 𝑅 3, 5, 1 b. 𝑃 2, 0, −3 𝑄 1, 4, 5 𝑅(7, 2, 9) Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 48