Vektor (pertemuan 1)

Vektor (pertemuan 1)

• 1.
  VEKTOR SMA X MatematikaPeminatan Semester II SMA NEGERI 1 CIREBON
• 2.
  Kompetensi Dasar 3.2 Menjelaskanvektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga 4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga
• 3.
  1. Pengertian DasarVektor dan Operasinya 1.1 Notasi Vektor dan Beberapa Jenis Vektor Besaran skalar atau disebut skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja, tetapi tidak mempunyai arah, seperti : panjang, waktu, massa, suhu. Besaran vektor atau disebut vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, dan medan magnet.
• 4.
  Secara geometris, vektoradalah ruas garis berarah. O A A B 𝑎 𝐴𝐵 Titik O : titik pangkal Titik A : titik ujung Panjang dari ruas garis merupakan panjang vektor. Panjang vektor 𝑎 ditulis sebagai 𝑎 sedangkan panjang vektor 𝐴𝐵 ditulis sebagai 𝐴𝐵
• 5.
  AljabarVektorDitinjauDariSudutPandangGeometri Gambar: Vektor diR-2 Gambar: Vektor di R-3
• 6.
  Kesamaan Dua Vektor Misalkandiketahui vektor 𝑎 dan vektor 𝑏. Vektor 𝑎 dikatakan sama dengan vektor 𝑏 (ditulis 𝑎 = 𝑏), jika dan hanya jika : 1. Panjang vektor 𝑎 sama dengan panjang vektor 𝑏, dan 2. Arah vektor 𝑎 sama dengan arah vektor 𝑏. A B C D 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 ⟺ 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 dan AB // CD
• 7.
  Lawan Suatu Vektor Vektor𝑎 mempunyai panjang sama dengan vektor 𝑏 tetapi arah vektor 𝑎 berlawanan arah vektor 𝑏, maka dikatakan bahwa vektor 𝑎 lawan dari vektor 𝑏 dan sebaliknya. A B F E 𝐴𝐵 ≠ 𝐸𝐹 karena panjang sama tetapi arah berbeda. 𝐴𝐵 lawan dari 𝐸𝐹, sehingga 𝐴𝐵 = −𝐸𝐹 Jika titik ujung dan pangkalnya berlawanan berarti 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴.
• 8.
  Sebuah vektor yangtitik pangkal dan titik ujungnya sama (berhimpit) disebut vektor nol, seperti : 𝐴𝐴 = 𝑂, 𝐵𝐵 = 𝑂. Vektor nol mempunyai panjang nol dan arah tak tentu. Vektor Nol Vektor satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu dan dinotasikan sebagai 𝑒. Hal ini berarti 𝑒 = 1. Vektor satuan dari vektor 𝑎 dinyatakan oleh Vektor Satuan 𝒆 𝒂 = 𝟏 𝒂 ∙ 𝒂
• 9.
  1.2 Operasi Vektor 1.2.1Penjumlahan Dua Vektor Penjumlahan dua buah vektor 𝑎 dan 𝑏, dapat kita gunakan dua metode sebagai berikut : 𝑎 𝑏 𝑏  Metode Segitiga Vektor resultan yaitu 𝑎 + 𝑏, diperoleh dengan menempatkan titik pangkal salah satu vektor (misalkan 𝑏) pada ujung vektor lainnya. Resultan dari 𝑎 + 𝑏 dengan metode segitiga merupakan vektor yang bertitik pangkal di titik pangkal 𝑎 dan bertitik ujung di titik ujung 𝑏. Apabila 𝐴𝐵 = 𝑎 dan 𝐵𝐶 = 𝑏, maka diperoleh : 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
• 10.
   Metode Jajargenjang 𝑎 𝑏 𝑏 Resultan𝑎 + 𝑏 diperoleh dari diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh 𝑎 dan 𝑏 setelah titik pangkal 𝑎 dan 𝑏 ditempatkan berhimpit.
• 11.
  Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor Misalkandiketahui vektor-vektor sembarang 𝑎, 𝑏 dan 𝑐, maka sifat-sifat penjumlahan vektor sebagai berikut : 1. Sifat komutatif 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 2. Sifat asosiatif 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3. Unsur identitas 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 4. Lawan suatu vektor 𝑎 + − 𝑎 = 0
• 12.
  1.2.2 Pengurangan DuaVektor Misalkan diketahui vektor 𝑎 dan vektor 𝑏. Pengurangan atau selisih vektor 𝑎 dengan vektor 𝑏 ditentukan sebagai penjumlahan vektor 𝑎 dengan lawan dari vektor 𝑏. 𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + −𝒃 𝑎 −𝑏 𝑏
• 13.
  1.2.3 Hasil KaliSkalar dengan Vektor Misalkan 𝑚 adalah suatu skalar (bilangan real) dan 𝑎 adalah suatu vektor. Hasil kali skalar 𝑚 dengan vektor 𝑎, ditulis sebagai 𝑐 = 𝑚 𝑎, ditentukan sebagai berikut :  Jika nilai 𝑚 > 0, maka vektor 𝑐 searah dengan vektor 𝑎  Jika nilai 𝑚 < 0, maka vektor 𝑐 berlawanan arah dengan vektor 𝑎 Contoh :
• 14.
  Sifat-Sifat Hasil KaliSkalar dengan Vektor Misalkan 𝑚 dan 𝑛 adalah skalar-skalar (bilangan-bilangan real), 𝑎 dan 𝑏 adalah vektor-vektor sembarang. a. 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑎 b. 𝑚 − 𝑎 = −𝑚 𝑎 c. 𝑚 𝑎 = 𝑎𝑚 d. 𝑚𝑛 𝑎 = 𝑚 𝑛 𝑎 e. 𝑚 + 𝑛 𝑎 = 𝑚 𝑎 + 𝑛 𝑎 f. 𝑚 𝑎 + 𝑏 = 𝑚 𝑎 + 𝑚𝑏
• 15.
  1.2.4 Vektor Posisi Vektorposisi dari titik A terhadap pusat O ditulis 𝑂𝐴 atau 𝑎. Sembarang vektor 𝐴𝐵 dapat dituliskan dalam vektor posisi 𝑎 dan 𝑏 sebagai berikut : 𝑨𝑩 = 𝒃 − 𝒂 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 Y XO A 𝑎 𝑂𝐴
• 16.
  Diberikan jajargenjang ABCDberpusat di O dengan 𝐴𝐵 = 𝑎 dan 𝐴𝐷 = 𝑏. Tuliskan dalam bentuk 𝑎 dan 𝑏 untuk setiap vektor: a. 𝐵𝐶 d. 𝐵𝐷 b. 𝐶𝐷 e. 𝐴𝑂 c. 𝐴𝐶 Berdasarkan gambar diperoleh: a. Karena 𝐴𝐷 // 𝐵𝐶 dan 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 , maka 𝐵𝐶 = 𝑏 b. Karena 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 dan 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 , tetapi arahnya berlawanan maka 𝐶𝐷 = − 𝑎 c. Perhatikan ∆ABC 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 ∴ 𝐴𝐶 = 𝑎 + 𝑏 d. Perhatikan ∆ABD 𝐵𝐷 = 𝐵𝐴 + 𝐴𝐷 ∴ 𝐵𝐷 = − 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 − 𝑎 e. 𝐴𝑂 = 1 2 𝐴𝐶 = 1 2 𝑎 + 𝑏 Contoh 1 Jawab 𝑏 𝑎A B CD O
• 17.
  Diberikan 𝑝 =2 𝑎 − 3𝑏 dan 𝑞 = 𝑎 + 𝑏. Nyatakan dalam vektor 𝑎 dan 𝑏 setiap operasi vektor berikut: a. 𝑝 + 3 𝑞 b. 𝑝 − 3 𝑞 − 2 2 𝑝 − 𝑞 a. 𝑝 + 3 𝑞 = 2 𝑎 − 3𝑏 + 3 𝑎 + 𝑏 = 2 𝑎 − 3𝑏 + 3 𝑎 + 3𝑏 ∴ 𝑝 + 3 𝑞 = 5 𝑎 b. 𝑝 − 3 𝑞 − 2 2 𝑝 − 𝑞 = 𝑝 − 3 𝑞 − 4 𝑝 + 2 𝑞 = −3 𝑝 − 𝑞 = −3 2 𝑎 − 3𝑏 − 𝑎 + 𝑏 = −6 𝑎 + 9𝑏 − 𝑎 − 𝑏 = −7 𝑎 + 8𝑏 Contoh 2 Jawab
• 18.
  Diberikan vektor posisidari titik P, Q, dan R terhadap titik O: 𝑝 = 9 𝑎 − 4𝑏, 𝑞 = −3 𝑎 − 𝑏, dan 𝑟 = 5 𝑎 − 3𝑏. Nyatakan setiap vektor di bawah ini dalam 𝑎 dan 𝑏. (i) 𝑃𝑄 (ii) 𝑄𝑅 (i) 𝑃𝑄 = 𝑞 − 𝑝 = −3 𝑎 − 𝑏 − 9 𝑎 − 4𝑏 = −3 𝑎 − 𝑏 − 9 𝑎 + 4𝑏 = −12 𝑎 + 3𝑏 (ii) 𝑄𝑅 = 𝑟 − 𝑞 = 5 𝑎 − 3𝑏 − −3 𝑎 − 𝑏 = 5 𝑎 − 3𝑏 + 3 𝑎 + 𝑏 = 8 𝑎 − 2𝑏 Contoh 3 Jawab