Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

• 1.
  WAWASAN MATEMATIKA DAN WAWASAN PENDIDIKAN MATEMATIKA Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 2.
  Matematika, bagi kebanyakanorang merupakan beban berat, ilmu yang terkunci dengan tujuh segel, yang dihadapi tanpa ada hubungan dengan kehidupan seharihari. Tetapi bagi sebagian kecil orang, matematika merupakan suatu kesenangan mental yang mengandung sifat ilmiah, suatu kunci untuk memahami gejala-gejala alam, teknik dan bermasyarakat. Mengapa terdapat dua macam pendapat yang sedemikian besar perbedaannya? Jawaban pertanyaan ini adalah bagaimana cara matematika diajarkan. Adalah tidak benar bahwa hasil belajar seseorang dalam matematika hanya karena mempunyai atau tidak mempunya bakat, dan rajin atau tidak rajinnya dalam mata pelajaran matematika, tetapi .(Hermann Meier, Kompedium Didaktik Matematika). 1. 2. 3. 4. 5. 6. Telah disepakati bahwa karakteristik matematika diantaranya adalah memiliki objek abstrak bertumpu pada kesepakatan berpola pikir deduktif memiliki simbol yang kosong dari arti memperhatikan semesta pembicaraan konsisten dalam sistemnya. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 3.
  • Matematika yangdiajarkan di sekolah adalah bagian-bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan atau berorientasi pada kepentingan kependidikan dan perkembangan IPTEK. Bagian matematika yang dipilih diantaranya adalah matematika yang dapat menata nalar, membentuk kepribadian, menanamkan nilai-nilai, memecahkan masalah, dan melakukan tugas tertentu. Hal ini menunjukkan bahwa matematika sekolah tidaklah sepenuhnya sama dengan matematika sebagai ilmu. Dikatakan demikian karena tidak sepenuhnya sama, yaitu memiliki perbedaan antara lain (1) penyajian, (2) pola pikir, (3) keterbatasan semesta, (4) dan tingkat keabstrakan. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 4.
  Tujuan pendidikan matematikaSMP adalah: • melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan • mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba. • Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah. • Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasanMinilabdocx gagasan. http://minilabdocx.blogspot.com
• 5.
  Kemampuan Umum HasilBelajar Matematika Menurut Winter 1. 2. 3. Mampu berargumentasi, didalamnya tercakup pendasaran, penyusunan secara logis, penataan secara berurutan, pengujian kembali, pengamatan sepenuhnya, tetap berpegang pada kesepakatan, bersedia mendengar argumen orang lain, dan bersedia menerima argumentasi yang tak dapat dibantah lagi. Kreatif, didalamnya tercakup besedia untuk menemukan jalan pemecahan soal, membuat variasi, membuat alternatif, dan mengadakan kemungkinankemungkinan baru. Mampu mematematisasikan situasi (kehidupan nyata), didalamnya tercakup menangkap dan menguraikan situasi, memperoleh data, dan merumuskan saling keterkaitan hubungan situasi, dan memilih cara kerja penyelesaian masalah. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 6.
  KAJIAN TEORI • RobertM. Gagne, secara garis besar ada dua macam objek • • yang dipelajari siswa dalam matematika, yaitu ubjek-objek langsung (direct objects) dab objek-objek tak langsung (indirect obeject). Objek-objek langsung dari pembelajaran matematika tardiri atas fakta-fakta matematika, keterampilan-keterampilan (prosedur-prosedur) matematika, konsep-konsep matematika, dan prinsip-ptinsip matematika. Objek-objek tak langsung dari pembelajaran matematika meliputi kemampuan berpikir logis, kemampuan memecahkan masalah, kemampuan berpikir analitis, sikap positif terhadap matematika, ketelitian, ketekunan, kedisiplinan, dan hal-hal lain yang secara implisit akan dipelajari jika siswa mempelajari matematika. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 7.
  • 1. 2. 3. 4. Penjelasan tentang objek-objeklangsung dari matematika Fakta-fakta matematika adalah konvensi-konvensi (kesepakatan) dalam matematika yang dimasukkan untuk memperlancar pembicaraanpembicaran (semesta) dalam matematika. Menurut Gagne, fakta hanya dapat dipelajari dengan dipakai berulang-ulang dan dihapal. Misal lambang untuk bilangan tujuh adalah “7” dan lambang untuk operasi penjumlahan adalah “+”. keterampilan-keterampilan matematika adalah operasi-operasi dan prosedur-prosedur dalam matematika, yang masing-masing merupakan suatu proses untuk mencari atau memperoleh suatu hasil tertentu. Konsep-konsep matematika. Konsep adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan orang untuk mengklarifikasikan apakah sesuatu objek tertentu merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Suatu konsep yang berada dalam lingkup ilmu matematika disebut konsep matematika. Contoh konsep matematika diantaranya : segitiga, kubus, persamaan, bilangan cacah, variabel, konstanta, pangkat, perkalian, dan lain-lain. Prinsip-prinsip matematika. Prinsip adalah suatu pernyataan yang bernilai benar yang memuat dua konsep atau lebih dan menyatakan hubungan antar konsep-konsep tersebut. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 8.
  Menurut Gagne, kegiatanbelajar matematika tediri atas empat fase yang terjadi secara berurutan, yaitu : 1. Fase aprehensi, yaitu siswa menyadari adanya rangsangan yang terkait 2. 3. 4. dengan kegiatan belajar yang ia lakukan. Rangsangan tersebut bisa berupa materi pelajaran yang ada pada halaman sebuah buku, sebuah soal yang diberikan guru sebagai pekerjaan rumah, atau seperangkat alat peraga yang berguna untuk membantu dalam pemahaman konsep tersebut. Fase akuisisi, yaitu pemerolehan, penyerapan, atau internalisasi terhadap fakta, keterampilan, konsep, atau prinsip yang menjadi sasaran dari berbagai kegiatan belajar tersebut. Fase penyimpanan, yaitu siswa menyimpan hasil kegiatan belajar yang diperoleh dalam ingatan jangka pendek dan ingatan jangka panjang. Fase pemanggilan, yaitu berusaha memanggil kembali hasil-hasil belajar yang diperoleh dan telah disimpan dalam ingatan, baik menyangkut fakta, keterampilan, konsep, maupun prinsip. Fase ini terjadi biasanya ketika siswa mengerjakan soal-soal latihan, pada saat tes, tau pada saat mempelajari materi berikutnya yang ada kaitannya dengan materi pelajaran yang telah dipelajari sebagai prasyarat. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 9.
  HAKIKAT MATEMATIKA • • Apakah matematikaitu? Berbagai jawaban muncul tentang pengertian matematika, dipandang dari pengetahuan dan pengalaman dari masing-masing yang berkepentingan. • Beberapa pengertian yang muncul : - Matematika adalah bahasa numerik - Matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan emosional - Matematika adalah berpikir logis - Matematika adalah sarana berpikir - Matematika adalah logika pada masa dewasa - Matematika adalah sains mengenai kuantitas dan besaran - Matematika adalah sains yang bekerja menarik kesimpulan-kesimpulan yang perlu - Matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif - dan lain-lain Beberapa pengertian yang muncul diatas berfokus pada tinjauan pembuat pengertian itu. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 10.
  MENYELESAIKAN MASALAH PEMBUKTIAN DAN MENUNJUKKAN BENARATAU SALAHNYA SUATU PERNYATAAN MATEMATIKA Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 11.
  • Langkah-langkah yangdigunakan dalam pembelajaran matematika ketika akan menemukan atau membuktikan suatu pernyataan matematika adalah : – – – terjemahkan setiap istilah dengan definisinya analisa arti dari hipotesis dan kesimpulan coba membuktikan dengan menggunakan salah satu dari metoda pembuktian • Jika pernyataan berupa implikasi; coba buktikan dengan bukti langsung. Bila gagal, coba dengan bukti tak langsung. Bila tidak berhasil juga coba dengan bukti kontradiksi. • Apa pun metoda yang digunakan, dalam melakukan proses pembuktian diperlukan titik awal. Proses maju: hipotesis aksioma & teorema kesimpulan Namun seringkali, proses maju sukar untuk digunakan dalam pembuktian sesuatu yang tidak sederhana. Sehingga kita harus mengkombinasikan dengan proses mundur. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 12.
  Contoh 1: Tunjukkan bahwajika segitiga siku-siku RST dengan sisi tegak r, s, dan sisi miring t mempunyai luas t2/4, maka segitiga tersebut sama kaki. Solusi. A: Segitiga RST dengan sisi r, s dan sisi miring t dengan luas t2/4. A1: rs/2 = t2/4 A2: (r2+s2) = t2. A3: rs/2 = (r2+s2)/4 A4: (r2-2rs+s2) = 0 A5: (r-s)2 = 0. B2: r-s = 0 B1: r = s B: Segitiga RST sama kaki. t r s Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 13.
  • Contoh 2. Tunjukkanbahwa untuk setiap bilangan real positif x dan y yang berbeda berlaku (x+y)/2 > √x√y. Solusi. • B: (x+y)/2 > √x√y • B1: (x+y)2 /4 > xy • B2: (x+y)2 > 4xy • B3: x2 +2xy+y2 > 4xy • B4: x2 - 2xy+y2 > 0 • B5: (x-y)2 > 0 • B6: x ≠ y. Bukti. Karena x dan y berbeda maka (x-y)2 > 0. Ini berarti x2 +2xy+y2 > 4xy. Sehingga, (x+y)2 > 4xy yang memberikan (x+y)/2 > √x√y. Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 14.
  Contoh 3: Buktikan bahwauntuk setiap n bilangan bulat positif berlaku: 1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6 • Bukti dengan induksi matematika: n=1  1² = 1(1+1)(2.1+1)/6=1 benar n=2  1²+2² = 2(2+1)(2.2+1)/6=5 benar n=k  1²+2²+3²+…+k² = k(k+1)(2.k+1)/6 anggap benar Akan dibuktikan bahwa untuk n=k+1 1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 adalah benar 1²+2²+3²+…+k² = k(k+1)(2.k+1)/6 1²+2²+3²+…+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² = (k+1)(k(2k+1)/6 + 6(k+1)/6) = (k+1)(2k²+k+ 6k+6)/6 = (k+1)(2k²+7k+6)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 Minilabdocx Terbukti Benar http://minilabdocx.blogspot.com
• 15.
  • Pembuktian Langsung Sebelumnyasudah dibuktikan teorema bahwa : 1+2+3+…+n=n(n+1)/6 Sudah diketahui bahwa (n+1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 (n+1)3 – n3 = 3n2 + 3n + 1 3 3 2 n – (n-1) = 3(n-1) + 3(n-1) + 1 3 3 2 (n-1) – (n-2) = 3(n-2) + 3(n-2) + 1 …………………………….. 33 – 23 = 3.22 + 3.2 + 1 3 3 2 2 – 1 = 3.1 + 3.1 + 1 + (n+1)3 – 13 n3 +3n2+3n = 3(12+22+32+....+n2) + 3(1+2+3+…+n) + n = 3(12+22+32+....+n2) + 3n(n+1)/2 + n 3(12+22+32+....+n2) = n3 + 3n2 + 3n - 3n(n+1)/2 - n 6(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 6n2 + 6n - 3n(n+1) - 2n 6(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 6n2 + 6n - 3n2 -3n - 2n 6(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 3n2+ n 6(12+22+32+....+n2) = n(2n2 + 3n + 1) 6(12+22+32+....+n2) = n(n+1)(2n+1) Terbukti benar 12+22+32+....+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com Kalikan 2
• 16.
  Contoh 4: Tentukan bilanganprima terkecil yang dapat membagi 999 99 + 99 999 Solusi 1. Bahwa setiap bilangan ganjil jika dipangkatkan dengan sembarang bilangan asli hasilnya adalah bilangan ganjil: Maka 999 99 dan 99999 adalah bilangan ganjil 2. Bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap Maka 999 99 + 99 999 adalah bilangan 3. Bahwa genap bilangan genap habis dibagi 2 setiap Maka 999 99 + 99 999 adalah bilangan genap dan habis dibagi 2 4. Bahwa 2 merupakan bilangan prima terkecil Maka bilangan prima terkecil yang dapat membagi 999 99 + 99 999 adalah 2 Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 17.
  • -Diketahui segitigaABC dengan sudut A dua kali sudut B. Buktikan bahwa pada segitiga tersebut berlaku: a2 = b (b + c) Bukti: C ∠BAC = 2∠ABC D Tarik garis AD sedemikian sehingga ∠BAD=∠CAD dengan D berada pada BC. Dapat dipastikan bahwa ∠BAD=∠ABC sehingga ABD merupakan segitiga sama kaki dan AD=BD. B A Menurut aturan segitiga bahwa AB=c, BC=a, dan AC=b. Jika BD=AD=x maka CD=a-x Perhatikan segitiga ABC dan segitiga ADC. ∠DAC=∠ABC, ∠ACD=∠ACB, dan dipastikan ∠ADC=∠BAC. Menurut konsep kesebangunan jika dua segitiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka kedua segitiga pasti sebangun. karena ∆ABC sebangun ∆ADC, sehingga berlaku: AB/AD = BC/AC = AC/CD - c/x = a/b = b/(a-x) c/x = a/b b.c = a.x x = bc/a …. 1) a/b = b/(a-x) b2 = a(a - x) b2 = a2 - ax b2= a2 - a. bc/a Dari …1) 2 2 a= b + bc a2= b(b + c) Terbukti Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com
• 18.
  TERIMA KASIH… MAAF ATASSEGALA KEKURANGAN SELESAI Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.com