08.추정
- 1. 추정
- 2. 용어 • 통계적 추론 – 모수에 대한 판단을 내리기 위하여 모집단에서 표본을 추출하여 데이터를 얻고 이 데이터를 기초로 하여 통 계이론에 의한 결론을 내리게 되는 과정 • 통계적 추론의 두 분야 – 추정 • 표본을 이용하여 모집단의 미지의 모수를 추측하는 과정 – 가설검정 • 표본을 이용하여 모집단에 대한 어떤 예상 또는 주장의 옳고 그름을 판정하거나, 주장의 채택 또는 기각을 결정하는 과정 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 3. 용어 • 점추정 – 모수를 하나의 값으로 추정 • 구간추정 – 모수에 대한 추정으로 하나의 점이 아닌 구간으로 추정 • 추정량(estimator) – 모수의 추정에 사용되는 통계량 – 예 : 모평균에 대한 추정량은 표본평균 • 𝑋= 𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋 𝑛 𝑛 = 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑛 • 추정값(estimate) – 추정량에 실제 관측값을 대입하여 얻은 값 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 4. 점추정 • 모평균의 추정량 : 표본평균 – 𝑋= 𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋 𝑛 𝑛 = 𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑛 – 무한모집단의 경우 모집단의 평균이 𝜇이고 분산이 𝜎 2 일 때 표본평균 𝑋는 다음과 같은 성질을 갖는다. • 𝐸 𝑋 = 𝜇 • 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 𝑛 – 불편추정량 • 모수 𝜃의 추정량 𝜃에 대하여 𝐸 𝜃 = 𝜃 가 성립할 때 𝜃을 𝜃의 불편추정량이라 한다. • 𝑋는 𝜇의 불편추정량 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 5. 점추정 • 좋은 추정량… – 추정량의 표준편차가 작을수록 좋은 추정량 – 불편추정량 𝜃1 과 𝜃2 이 있을때 이 둘중 더 좋은 추정량 은 표준편차가 작은 추정량 • 표준오차(Standard Error, SE) – 추정량의 표준편차를 표준오차라고 한다. – 추정량의 정밀도를 나타냄 – 표본평균 𝑋의 표준오차 • 𝑆𝐸 𝑋 = 𝜎 𝑛 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 6. 점추정 • 표준오차(계속) – 일반적으로 표본평균의 표준오차에서 𝜎는 모수로 알 지 못함. – 표본표준편차 (𝑆)를 𝜎 대신 사용 • 𝑆= 𝑛 𝑖=1 𝑋 𝑖 −𝑋 2 (𝑛−1) – 따라서 𝑆𝐸 𝑋 의 추정값 𝑆𝐸 𝑋 = 𝑆 𝑛 – 즉, 일반적으로 사용하는 것은 표준오차의 추정값 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 7. 점추정 • 모분산과 모표준편차의 추정 𝑛 – 편차의 합 𝑖=1 𝑥 𝑖 − 𝑥 = 0 – 편차에 제곱 하여 모두 더한 것을 기억하나요? 𝑛 • 𝑖=1 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 • 이를 통계에서는 제곱합(Sum of squares)이라 부릅니다. – 자유도 • 편차의 합은 0이므로 전체 자료 n 중에 (n-1)개의 편차만 알 면 나머지 하나는 저절로 결정 – 산포의 측도는 제곱합을 자유도로 나눈다. • 표본분산에서 분모가 n-1 인 이유입니다. –E 𝑆2 = 𝜎 2, 𝑆2 = 𝑛 𝑖=1 𝑋 𝑖 −𝑋 2 (𝑛−1) 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 8. 구간추정 • 신뢰구간 – 모수의 구간추정을 위하여 제시한 하한값과 상한값을 각각 L과 U라고 할 때 범위 (L, U) • 신뢰수준 – 신뢰구간에 모수의 참값이 포함되는 것을 얼마나 신뢰 할 수 있는 가를 나타내는 정도 – 1 − 𝛼로 나타내며 일반적으로 𝛼를 0.10, 0.05, 0.001 등을 사용한다. 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 9. 구간추정 • 신뢰구간의 올바른 이해 여러 표본을 통해 신뢰구간을 구할 경우 실제 모평균이 전체에서 (1-𝛼)% 정도는 포함될 것으로 기대 절대!!! 우리가 구한 신뢰구간이 실제 모평균을 포함할 확률이 아님 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 10. 구간추정 • 모평균의 구간추정 : 대표본 – 중심극한정리를 다시 생각해 볼까요? • 표본의 크기가 클 경우 𝑋 ~ 𝑁 𝜇, 𝜎2 𝑛 • 표본평균 𝑋가 정규분포를 따르므로 표준정규분포로 변환가능 –Z = 𝑋−𝜇 𝜎 ~ 𝑁(0, 1) 𝑛 – 모평균 𝜇에 대한 95% 신뢰수준(1 − 𝛼, 𝛼 = 0.05) • P −𝑧0.025 ≤ • P 𝑋 − 𝑧0.025 𝑋−𝜇 𝜎 𝜎 𝑛 ≤ 𝑧0.025 = 0.95 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑧0.025 𝑛 𝜎 𝑛 = 0.95 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 11. 구간추정 1 - 𝛼 = 0.95 −𝑧0.025 =1.96 𝜎 𝑛 𝜇 𝑧0.025 =1.96 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72) 𝜎 𝑛
- 12. 구간추정 • 모평균의 구간추정 – 대표본인 경우 중심극한정리를 통해 𝜎 대신 s를 사용 해도 되나 소표본의 경우는 문제 발생 – t-분포 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 이 𝑁 𝜇, 𝜎 2 에서의 랜덤표본일 때, 𝑋− 𝜇 t= 𝑆 𝑛 는 자유도 n-1인 t분포를 따른다. 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 13. t분포와 정규분포 • 자유도가 3인 t분포와 정규분포 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 14. t분포와 정규분포 • 자유도 증가(표본 수) 증가와 정규분포 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 15. t분포와 정규분포 • R Code > > > > x <- seq(-3, 3, by=0.01) z <- dnorm(x) plot(x, z, type="l") lines(x, dt(x, df=3), col="red") > > > > > > x <- seq(-3, 3, by=0.01) z <- dnorm(x) plot(x, z, type="l") lines(x, dt(x, df=3), col="red") lines(x, dt(x, df=10), col="blue") lines(x, dt(x, df=30), col="yellow", lwd=2) 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 16. 구간추정 • 모평균의 구간추정 : 소표본 –t = 𝑋−𝜇 𝑆 𝑛 – 모평균 𝜇에 대한 95% 신뢰수준(1 − 𝛼, 𝛼 = 0.05) • P −𝑡0.025 ≤ • P 𝑋 − 𝑡0.025 𝑋−𝜇 𝑆 𝑆 𝑛 𝑛 ≤ 𝑡0.025 = 0.95 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑡0.025 𝑆 𝑛 = 0.95 – 자유도가 3일 경우 −𝑡0.025 : qt(0.025, df=3) 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 17. 모비율의 추정과 표본의 수 결정
- 18. 모비율의 구간추정 • 범주형자료에 대한 추정은 모평균 대신 모비율(p) 에 대한 추정 실시 – 80세 이상 노인의 비율, 불량률, 남학생의 비율 등 • 모비율의 추정량 : 𝑝 – 확률변수 X가 관심이 되는 대상의 수라 하면 𝑋 𝑝= , n은 표본의 크기 𝑛 – 모집단으로부터 추출된 표본비율 𝑝은 𝑛𝑝와 𝑛(1 − 𝑝)가 5이상일 경우 근사적으로 정규분포를 따른다. • 𝒑~𝑵(𝒑, 𝒑 𝟏−𝒑 𝒏 ) 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 19. 모비율의 구간추정 – 또한 모든 정규분포는 표준정규분포로 바꿀 수 있으므 로 𝑝−𝑝 𝑝(1−𝑝) 𝑛 ~ 𝑁(0, 12 ) – 모비율 p의 신뢰구간 𝑝− 𝑧𝛼 2 𝑝 1−𝑝 𝑛 , 𝑝+ 𝑧𝛼 2 𝑝 1−𝑝 𝑛 로 구한다. 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 20. 모비율의 구간추정 • 예제) 어떤 종합병원에서 입원환자들의 불만율을 조사하 고자 한다. 입원한 환자들중 임의로 500명을 뽑아 조사 한 결과 불만있는 환자가 20명으로 나타났다. 이 병원 환 자들의 불만율 p의 95% 신뢰구간을 구하여라. – 𝑝= 20 500 – 𝑝− 𝑧 𝛼 2 = 0.04 이고 대표본(𝑛𝑝와 𝑛(1 − 𝑝)가 5이상) 𝑝 1−𝑝 𝑛 ∶ 0.04 − 1.96 × 0.04 0.96 500 ≈ 0.04 − 0.017 = 0.023 – 𝑝+ 𝑧 𝛼 2 𝑝 1−𝑝 𝑛 ≈ 0.04 + 0.017 = 0.057 – 신뢰구간은 (0.023(2.3%), 0.057(5.7%)) 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 21. 표본의 크기 결정 • 모수들의 신뢰구간 추정시 1 − 𝛼를 지나치게 넓 히는 것은 모수 추정에 좋지 않다. • 이를 위해 적당한 표본의 크기를 결정하여야 한 다. • 표본의 크기 결정 – 측정할 모수 결정 (𝜇 또는 p) – 신뢰구간을 구할 신뢰수준(1 − 𝛼) 결정 – 측정할 모수에 따라 추정오차의 한계의 크기 결정 (𝑧 𝛼 2 𝜎 𝑛 , 𝑧𝛼 2 𝑆 𝑛 , 𝑧𝛼 2 𝑝 1−𝑝 𝑛 ) 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 22. 표본의 크기 결정 • 모평균을 추정하기 위한 표본의 크기 – 추정오차의 한계는 TS 이고 모표준편차를 알때 𝜎 𝑧𝛼 ≤ 𝑇𝑆 2 𝑛 𝜎 𝑧𝛼 ≤ 𝑛 2 𝑇𝑆 𝜎 2 (𝑧 𝛼 ) ≤ 𝑛 2 𝑇𝑆 – 모표준편차를 모를 경우에는 𝜎 대신 표본표준편차 S 사용 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 23. 표본의 크기 결정 • 보건소에서 환자 1명당 진료시간의 평균을 추정하려고 한다. 이전 자료를 보면 진료시간의 표준편차는 3분 정도 로 알려져 있을 때 95% 신뢰수준에서 평균진료시간의 오차의 한계를 1분 이내로 유지하려면 환자 몇 명을 표본 으로 하여야 하는가? – 진료시간의 표준편차는 3분 – 오차의 한계는 1분 – 신뢰수준은 0.95 → 𝑧0.025 = 1.96 3 𝑛 ≥ (1.96 )2 ≈ 34.6 1 즉, 35명 이상 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 24. 표본의 크기 결정 • 모평균을 추정하기 위한 표본의 크기 – 추정오차의 한계는 TS 이고 𝑝을 알면 𝑝 1− 𝑝 𝑧𝛼 ≤ 𝑇𝑆 2 𝑛 𝑧𝛼 𝑝 1 − 𝑝 ( 2 )2 ≤ 𝑛 𝑇𝑆 – 𝑝을 모를 경우에는𝑝 1 − 𝑝 을 최대로 하는 𝑝 = 0.5 사 용 1 𝑧𝛼2 2 ( ) ≤ 𝑛 4 𝑇𝑆 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)
- 25. 표본의 크기 결정 • 보건소에서는 다시 내원할 가능성이 있는 내원객의 비율 을 추정하기 위해 표본조사를 하려고 한다. 신뢰수준 95%를 가지고 추정오차의 한계를 10% 이내로 모비율 을 추정하려고 할 때 적당한 표본의 크기는 얼마인가? – 𝑝을 모르는 상황 – 오차의 한계는 0.1 – 신뢰수준은 0.95 → 𝑧0.025 = 1.96 1 𝑧𝛼2 2 1 1.96 2 n ≥ ( ) ≡ ( ) ≈ 96.04 4 𝑇𝑆 4 0.1 97명 이상의 환자를 표본으로 추출한다. 한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)