Temperatura Cin�tica

La expresi�n para la presi�n de gas desarrollada desde la teor�a cin�tica, relaciona la presi�n y el volumen del gas con la energ�a cin�tica molecular media. La comparaci�n con la ley de gas ideal nos conduce a una temperatura llamada algunas veces temperatura cin�tica.

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Es importante se�alar que la energ�a cin�tica media que se utiliza aqu�, se limita a la energ�a cin�tica de traslaci�n de las mol�culas. Es decir, son tratadas como masas puntuales y no se tiene en cuenta los grados de libertad internos, tales como la rotaci�n molecular y la vibraci�n. Esta distinci�n es muy importante cuando se tratan temas como los calores espec�ficos de gases. Al tratar de evaluar el calor espec�fico, se debe tener en cuenta toda la energ�a que poseen las mol�culas, y la temperatura tal como ordinariamente se mide no tiene en cuenta la rotaci�n y vibraci�n molecular. La temperatura cin�tica es la variable necesaria para temas como la transferencia de calor, ya que es la energ�a cin�tica de traslaci�n, que conduce la transferencia de energ�a, desde zonas calientes (mayor temperatura cin�tica, mayores velocidades moleculares), a zonas fr�as (menores velocidades moleculares), en una transferencia colisional directa.

Velocidades Moleculares

C�lculo

Distribuci�n de Velocidad de Maxwell

De esta funci�n se pueden calcular varias velocidades moleculares caracter�sticas, y cosas tales como, qu� fracci�n de las mol�culas tienen velocidades superiores a un cierto valor a una temperatura dada. Tambi�n tiene que ver con muchos tipos de fen�menos. C�lculo

Note que M es la masa molar y que en la expresi�n se usa la constante de gas R. Si se hubiera usado en su lugar la masa m de una mol�cula individual, la expresi�n ser�a la misma excepto que contendr�a la constante de Boltzmann k, en vez de la constante de gas molar R.

C�lculo de la Velocidad Molecular

La distribuci�n de velocidades en las mol�culas de un gas ideal est� dada por

El c�lculo de la velocidad molecular depende de la masa molecular y de la temperatura. Para una masa m= uma M= kg/mol y temperatura T=K T= C se pueden calcular las tres velocidades caracter�sticas. La masa molecular media nominal del aire seco es 29 uma.

Velocidad mas probable= v_p = m/s = km/hr = mi/hr
Velocidad Media==m/s = km/hr = mi/hr
Velocidad RMS = v_rms = m/s = km/hr = mi/hr

Desarrollo de la Distribuci�n de Boltzmann

Cuando el n�mero de part�culas es grande, el m�todo estad�stico viene a ser la forma mas precisa de estudiar la naturaleza. De modo que esperamos que esos tres valores de velocidades de las mol�culas de un gas, ser�n de hecho la distribuci�n mas probable, puesto que estamos tratando con un n�mero de part�culas en el rango del n�mero de Avogadro. Pero esta distribuci�n mas probable (la distribuci�n de Maxwell-Boltzmann) est� sujeta a limitaciones, a saber; el n�mero de part�culas es constante, y la energ�a total es constante (conservaci�n de la energ�a). El c�lculo con la mayor precisi�n de la distribuci�n de probabilidad sujetas a estas limitaciones en general, supone una ardua tarea matem�tica (ver por ejemplo Richtmyer, et al.). Una manera de abordar la soluci�n de una forma mas intuitiva, es enfrentarlo con un problema f�sico que conocemos -llamado f�sica de la atm�sfera bajo la influencia de la gravedad-, como se refleja en la f�rmula barom�trica. El siguiente estudio sigue el desarrollo de Rohlf.

En este enfoque, usamos el hecho de que la energ�a cin�tica media de las mol�culas, la podemos expresar en funci�n de la temperatura cin�tica. Adem�s sabemos que en este caso, la conservaci�n de la energ�a implica exactamente, un equilibrio entre la energ�a cin�tica y la energ�a potencial gravitacional, siempre que tratemos a la atm�sfera como un gas ideal.

De la expresi�n de temperatua cin�tica

tenemos una descripci�n de un sistema de gas ideal, que se puede usar para ayudar a desarrollar un argumento plausible para la distribuci�n de velocidades de Maxwell. Los pasos en este procesos son como sigue:

Para una direcci�n en el espacio este proceso conduce a la expresi�n:

y cuando se incluyen todas las direcciones de la velocidad, viene a convertirse en la f�rmula de la Distribuci�n de velocidad de Maxwell:

�Por Que esta F�rmula es Inexacta para Velocidades mas Altas, Mientras que la Anterior No lo es?

Deber�a notarse que aunque usamos una situaci�n f�sica dependiente de la gravedad para obtener la distribuci�n de velocidad, esta no aparece en el resultado final. Es decir, el resultado obtenido es general, no contiene g. La f�rmula barom�trica se us� simplemente como un modelo para obtener la distribuci�n de velocidad con las limitaciones de la energ�a y el n�mero de part�culas.