Distribuci�n de Velocidades de Maxwell Directamente de la Distribuci�n de Boltzmann

La distribuci�n de Boltzmann es fundamental para nuestra comprensi�n del fen�meno molecular cl�sico, que nos dice que la probabilidad de encontrar una mol�cula cualquiera con una energ�a E, disminuye exponencialmente con la energ�a, es decir una mol�cula cualquiera es muy poco probable que agarre mucho m�s que la cuota media de la energ�a total disponible para todas las mol�culas. Matem�ticamente, la distribuci�n de Boltzmann se puede escribir en la forma

Esta distribuci�n se puede hacer posible mediante un ejemplo num�rico, particularmente cuando se pone en forma gr�fica, pero el desarrollo matem�tico riguroso de Boltzmann se mantiene como un importante logro en las matem�ticas de la f�sica. Vamos a tomarlo como un postulado aqu� y demostrar que la distribuci�n de velocidades de Maxwell se desprende de ella.

Si esta distribuci�n se aplica a una sola direcci�n de la velocidad de una mol�cula en un gas ideal, viene a ser

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La conversi�n de esta f�rmula en otra que exprese la probabilidad en funci�n de las velocidades en tres dimensiones, da como resultado la distribuci�n de velocidades de Maxwell:

Los pasos a seguir en esta conversi�n son

Distribuci�n de Velocidades en una Dimensi�n

Si la energ�a en la distribuci�n de Boltzmann

es una energ�a cin�tica de una dimensi�n solamente, entonces la expresi�n se convierte en

Pero esta f�rmula debe ser normalizada a fin de que la probabilidad de encontrar la part�cula en alg�n valor de la velocidad sea uno. Esto se logra mediante la integraci�n de la probabilidad de menos a m�s infinito y estableci�ndola igual a uno. Haciendo uso de la formula de la integral definida

con la sustituci�n

nos permite normalizar la funci�n:

Esto normaliza la funci�n de distribuci�n a

Distribuci�n de la Energ�a Cin�tica en tres Dimensiones

Hemos demostrado que la distribuci�n de energ�a unidimensional es

pero nos gustar�a tener una distribuci�n de tres dimensiones. Una idea de la probabilidad b�sica es que para tres eventos independientes se toma el producto de las probabilidades individuales. Luego la distribuci�n de probabilidad en tres dimensiones toma la forma:

Hay que se�alar aqu� que, si bien esto tiene la forma de la distribuci�n de Boltzmann para la energ�a cin�tica, no tiene en cuenta el hecho de que hay m�s maneras de alcanzar una mayor velocidad. Al hacer el pase de esta expresi�n a la distribuci�n de velocidad de Maxwell, esta funci�n de distribuci�n debe multiplicarse por el factor 4pv² para tener en cuenta la densidad de estados de velocidad disponibles para las part�culas.

Distribuci�n de la Velocidad como Suma sobre Todas las Direcciones

Para poner la distribucion de energ�a tridimensional en la forma de la distribuci�n de velocidad de Maxwell, necesitamos sumar la de todas las direcciones. Una forma de visualizar dicha suma es tomando el desarrollo de un elemento del volumen de una capa esf�rica en el "espacio de velocidad".

La suma respecto de las coordenadas angulares va a darnos justamente el �rea de la esfera, y el elemento radial dv da el espesor de la capa esf�rica. Esto deja fuera de la funci�n de distribuci�n las coordenadas angulares y da una funci�n de distribuci�n de un par�metro en funci�n del elemento de velocidad "radial" dv.

Una alternativa como enfoque matem�tico m�s directo es hacer la conversi�n del elemento de volumen cartesiano a coordenadas polares esf�ricas.