Aplicaciones F�sicas de las Funciones de Distribuci�n

La distribuci�n de Boltzmann que es fundamental para el entendimiento del fen�meno molecular cl�sico, nos dice que la probabilidad de encontrar una mol�cula con una energ�a E, disminuye exponencialmente con la energ�a; es decir es muy poco probable que cualquier mol�cula tome mucho mas que la energ�a promedio del total de la energ�a disponible para todas las mol�culas. Matem�ticamente la distribuci�n de Boltzman se puede escribir de la siguiente forma

Aplicaciones

Esta distribuci�n se puede estudiar mediante un ejemplo num�rico, particularmente cuando se pone en forma gr�fica, pero el desarrollo matem�tico riguroso de Boltzmann se mantiene como un importante logro en las matem�ticas de la f�sica. Vamos a tomarlo como un postulado en el desarrollo de modelos f�sicos en la teor�a cin�tica.

Esta idea de que es poco probable cada "part�cula" que tenga m�s o menos de su "cuota correspondiente" de la energ�a total, se puede extender a los "modos" en los fen�menos de ondas, como los modos de onda electromagn�tica en una cavidad, aunque esta aplicaci�n muestra sus limitaciones cl�sicas en la ley de Rayleigh-Jeans.

Otra de las ideas contenidas en la distribuci�n de Boltzmann anterior es que si aumentando la temperatura se mejora la "econom�a energ�tica" total, de modo que la energ�a total disponible para las part�culas es mayor, una part�cula dada tiene m�s probabilidades de obtener una cantidad espec�fica de energ�a. Si la econom�a financiera global de un pa�s mejora, habr� m�s dinero en circulaci�n. Entonces, si se hubiera establecido cualquier nivel financiero particular de un individuo, es mas probable que lo obtenga con este aumento de dinero en circulaci�n (mejora econ�mica). Por analog�a, dado un determinado umbral de energ�a para que se produzca un fen�meno como la ionizaci�n o la excitaci�n de estados vibracionales, la probabilidad de que eso ocurra, aumentar� con el aumento de temperatura, de una manera general predecible.

El comportamiento estad�stico de muchos sistemas de part�culas, es descrito por el producto de la densidad de estados, por la funci�n de distribuci�n para estos estados. (Ver la distribuci�n de energ�a como un ejemplo.) Uno de los casos mas simples es el del decaimiento radioactivo, puesto que trata de una probabilidad pura. Se puede tomar la densidad de estados como una constante, puesto que no hay preferencia de un decaimiento sobre otro, y la funci�n de distribuci�n es simplemente

Sin embargo para la velocidad de las mol�culas en un gas, se puede modelar la densidad de estados como un "volumen" efectivo en el "espacio de las velocidades", la cual toma la forma

de modo que la distribuci�n que surge del fundamento de Boltzmann es

Comentario sobre el M�todo Estad�stico en F�sica

Si bien puede parecer inquietante describir los fen�menos f�sicos en el mismo lenguaje que se usa para el lanzamiento de monedas o dados, consideremos que en la descripci�n de los �tomos o mol�culas de los sistemas naturales, tenemos un n�mero de acontecimientosen del orden del n�mero de Avogadro. Si estamos conforme con saber las cosas dentro de un cierto margen de error, por ejemplo un 1%, entonces las estad�sticas de los grandes n�meros nos la puede dar.

Tomando el lanzamientos de monedas como un ejemplo y utilizando la distribuci�n binomial, sabemos que el n�mero medio de "caras" va a ser el n�mero de lanzamientos (n) multiplicado por la probabilidad (p=0,5), de modo que np = la mitad del total.

En t�rminos de porcentaje de desviaci�n sobre el resultado esperado, est� claro que el resultado estad�stico de un gran n�mero de eventos es mucho mas preciso.