Ecuaciones Diferenciales

Una ecuaci�n diferencial es una ecuaci�n que contiene derivadas de una variable, como en la ecuaci�n

Aqu� x es la variable y las derivadas son con respecto a una segunda variable t. Las letras a, b, c y d se toman aqu� como constantes. Esta ecuaci�n podr�a describirse como una ecuaci�n diferencial lineal, de segundo orden, con coeficientes constantes. Es de segundo orden debido al orden mas alto de derivadas presentes, lineal porque ninguna de las derviadas est�n elevadas a ninguna potencia y los factores multiplicando las derivadas son constantes. Si fuera x la posici�n de un objeto y t el tiempo, entonces la primera derivada es la velocidad, la segunda la aceleraci�n, y esta podr�a ser una ecuaci�n describiendo el movimiento de un objeto. Como se muestra, tambien se dice que esta es una ecuaci�n no homog�nea, y al resolver problemas f�sicos, uno debe considerar tambien la ecuaci�n homog�nea.

E.D. Homog�neas de Primer Orden

Una ecuaci�n diferencial de primer orden homog�nea, implica solamente a la primera derivada de la funci�n, a la funci�n misma, y a coeficientes constantes. La ecuaci�n es de la forma

y puede resolverse por sustituci�n

La soluci�n que se ajusta a una situaci�n f�sica espec�fica, se obtiene sustituyendo la soluci�n en la ecuaci�n, y evaluando las diversas constantes que se obtienen, al forzar la soluci�n para adaptarse a las condiciones de contorno f�sico del problema en cuesti�n. Sustituyendo da

Aplicaciones

Ecuaci�n No Homog�nea de Primer Orden

Soluci�n General de las E.D.

Condiciones de Contorno

Teorema de Singularidad

En las ecuaciones diferenciales aplicables a problemas f�sicos, a menudo es posible comenzar con una forma general de soluci�n y luego forzarla para adaptarse a las condiciones f�sicas de contorno del problema. Este tipo de enfoque ha sido posible por el hecho de que hay una y s�lo una soluci�n a la ecuaci�n diferencial, es decir, la soluci�n es �nica.

Expresado en t�rminos de una ecuaci�n diferencial de primer orden, si el problema

cumple la condici�n tal que f (x, y) y la derivada de y es continua en un rect�ngulo de valores determinados (x, y), entonces hay una y s�lo una soluci�n a la ecuaci�n que satisfaga las condiciones de contorno.

Terminolog�a de la Ecuaci�n Diferencial

Algunos t�rminos generales que se usan en el estudio de ecuaciones diferenciales:

Orden: El orden de una ecuaci�n diferencial es la mayor potencia de las derivadas que forman parte de la ecuaci�n, por ejemplo la segunda ley de Newton da lugar a una ecuaci�n diferencial de segundo orden, porque la aceleraci�n es la segunda derivada de la posici�n.

Lineal y no lineal: Se dice que una ecuaci�n diferencial es lineal si cada t�rmino de la ecuaci�n tiene solamente un orden de derivadas, es decir ning�n t�rmino puede tener ambos y y su derivada respecto del tiempo. Tampoco debe tener ninguna derivada elevada a una potencia.

Homogenea y no homog�nea: Una ecuaci�n diferencial se dice que es homog�nea si no tiene ningun t�rmino que sea un coeficiente aislado, es decir, cada t�rmino de la ecuaci�n diferencial de y contiene a y o alguna derivada de y.