Ley de Dulong y Petit

El calor espec�fico del cobre es 0,093 cal/gm �K (0,389 J/gm �K) y el del plomo es solamente 0,031 cal/gm �K (0,13 J/gm �K). �Por que son tan diferentes?. La diferencia radica principalmente en que est�n expresados como energ�a por unidad de masa; si lo expresamos como energ�a por moles, son muy similares. La ley de Dulong y Petit, trata de la similitud de los calores espec�ficos molares de los metales. La similitud se puede explicar mediante la aplicaci�n de la equipartici�n de la energ�a, a los �tomos de los s�lidos.

A partir de s�lo los grados de libertad de desplazamiento, se consigue 3kT/2 de energ�a por �tomo. La energ�a a�adida a los s�lidos, toma la forma de vibraciones at�micas, y esto contribuye con tres grados adicionales de libertad, y una energ�a total por �tomo de 3kT. El calor espec�fico a volumen constante, deber�a ser exactamente la proporci�n de cambio de esa energ�a con la temperatura (derivada respecto de la temperatura).

Cuando se analiza sobre una base molar, el calor espec�fico del cobre y el plomo son muy similares:

Diferencia con la Ley de Dulong y Petit

La ley de Dulong y Petit se basa en la estad�stica de Maxwell-Boltzmann, y para bajas temperaturas se debe usar las estad�sticas cu�nticas.

La contribuci�n principal de Einstein y Debye, fu� describir la dr�stica diferencia con la ley de Dulong y Petit.

Contribuci�n de Einstein a la Teor�a del Calor Espec�fico

La ley de Dulong y Petit asumi� que se pod�a aplicar la estad�stica de Maxwell-Boltzmann y la equipartici�n de energ�a incluso a bajas temperaturas. Einstein reconoci� que para un oscilador arm�nico cu�ntico a energ�as menores de kT, se debe aplicar la estad�stica de Einstein-Bose. Esta fu� la misma conclusi�n que se llev� a cabo sobre la radiaci�n del cuerpo negro. En los estados vibracionales, la distribuci�n estad�stica de energ�a da la energ�a media:

donde esta frecuencia es la frecuencia de un vibrador cu�ntico. Hay tres grados de libertad por vibrador, de modo que la energ�a total es

La derivada de esto da:

En la aplicaci�n de Einstein, la frecuencia apropiada para la expresi�n se debe determinar emp�ricamente por comparaci�n con el experimento con cada elemento. La cantidad hu/k, se llama algunas veces temperatura de Einstein. Aunque la concordancia general con el experimento fu� razonable, no fu� exacta. Debye avanz� en el estudio, considerando a los osciladores cu�nticos, como modos colectivos en el s�lido, que ahora llamamos "fonones".

L�mite de Temperatura Alta en el Calor Espec�fico de Eintein

La introducci�n de Einstein del comportamiento cu�ntico mostr� por qu� el calor espec�fico, era dependiente de la temperatura a baja temperatura, y ten�a un l�mite a alta temperatura, de acuerdo con la ley de Dulong y Petit. Para mostrar esto, note que para alta temperatura, la expansi�n serial del exponencial da

Entonces, la expresi�n del calor espec�fico de Einstein, viene a ser

Esto se reduce a la ley de Dulong y Petit.