El Principio de Correspondencia y el Oscilador Cu�ntico

La mec�nica cu�ntica es necesaria para la descripci�n de la naturaleza a escala at�mica, pero las leyes de Newton van bien para pelotas de b�isbol. En alg�n lugar a lo largo del continuo que va desde la cu�ntica a la cl�sica, las dos descripciones deben fusionarse. Empezando desde el final cu�ntico, y teniendo en cuenta que las energ�as dependen de un n�mero cu�ntico, se podr�a prever que con n�meros cu�nticos suficientemente altos, el tratamiento cu�ntico debe fusionarse con el cl�sico. Esta idea de la fusi�n de la cu�ntica y la cl�sica se conoce como el "principio de correspondencia".

Si se examina el estado fundamental del oscilador arm�nico cu�ntico, el principio de correspondencia parece poco probable, ya que las predicciones cl�sica y cu�ntica de la ubicaci�n m�s probable est�n en total contradicci�n. Si se toma la posici�n de equilibrio del oscilador en x=0, entonces el oscilador cu�ntico predice que para el estado fundamental, el oscilador se pasa la mayor parte de su tiempo cerca de ese punto central. La masa-sobre-un-muelle cl�sica, obviamente, pasa muy poco tiempo all�, porque es donde tiene la velocidad m�xima, pasando la mayor parte de su tiempo cerca de los puntos extremos de su oscilaci�n, donde su velocidad es peque�a.

A medida que se avanza hacia estados m�s altos de la oscilaci�n cu�ntica mediante el aumento de n, la ubicaci�n m�s probable se desplaza hacia el exterior del pozo. A�n se dispone de la onda de probabilidad, que es caracter�stica de la soluci�n de onda, pero al menos, la tendencia general de la probabilidad cu�ntica empieza a parecerse m�s a la probabilidad cl�sica que se muestra por la l�nea de trazos.
Esta oscilaci�n salvaje de la probabilidad, tiene s�lo consecuencias pr�cticas si es observable, y cuanto mayor es el n�mero cu�ntico, menor es la distancia entre los picos. Con n suficientemente alto, el principio de incertidumbre, impide resolver los huecos entre picos sin alterar el estado f�sico del oscilador. Las colas exponenciales en la regi�n prohibida cl�sicamente, disminuyen al aumentar n, por lo que el oscilador cu�ntico se va viendo m�s y m�s como uno cl�sico.

Bohr utiliz� el t�rmino "principio de correspondencia" y esperaba que el comportamiento radiativo de los �tomos, se acercar�an a la radiaci�n cl�sica por cargas aceleradas, para estados cu�nticos suficientemente altos. Ciertamente, las l�neas espectrales observadas de los �tomos, difieren radicalmente del comportamiento cl�sico. Beiser da un ejemplo del c�lculo de la frecuencia de radiaci�n de un �tomo de n�mero cu�ntico n=10.000 y declara que difiere del resultado cl�sico por s�lo el 0,01%.

Mayor Detalle sobre las Probabilidades Cl�sicas y Cu�nticas
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Conceptos de la Ecuaci�n de Schr�dinger

Referencias
Beiser, Perspectives
Sec 6-6
Thornton & Rex
Sec 7-6, 8-7
 
HyperPhysics*****F�sica Cu�nticaM Olmo R Nave
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Comparaci�n de Probabilidades Cl�sica y Cu�ntica del Oscilador Arm�nico

El oscilador arm�nico es un problema importante tanto en el dominio cu�ntico, como cl�sico. Tambi�n es un buen ejemplo de cuan diferentes pueden ser los resultados cu�nticos y cl�sicos. Un tipo de comparaci�n es el de la probabilidad de encontrar un objeto que est� oscilando, a una distancia x dada desde la posici�n de equilibrio. Para el caso cl�sico, la probabilidad es mayor hacia los extremos del movimiento, en donde se mueve m�s lentamente, llegando a parar instant�neamente en los extremos del movimiento. La probabilidad relativa de encontrarlo en cualquier intervalo Dx, es simplemente la inversa de su velocidad media en ese intervalo. Para el caso de la mec�nica cu�ntica, la probabilidad de encontrar el oscilador en un intervalo Dx es el cuadrado de la funci�n de onda, y esto resulta muy diferente para los estados m�s bajos de energ�a. N�tese en el diagrama para el estado fundamental (n=0) de abajo, que la probabilidad m�xima est� en el punto de equilibrio x=0.

Durante los primeros pocos niveles de energ�a cu�ntica, se puede ver muy poco parecido entre las probabilidades cu�nticas y cl�sicas, pero cuando se llega al valor n=10 empieza a haber alguna similitud. Desde luego, no tienen el mismo aspecto, pero s� coinciden en que la probabilidad es mayor cerca de los extremos del movimiento. A medida que se avanza a valores muy altos de n, se vuelven m�s y m�s parecidas, y las oscilaciones de la probabilidad cu�ntica est�n tan pr�ximas entre s�, que est�n pr�cticamente juntas. El hecho de que el resultado general de la probabilidad de encontrar el oscilador en un valor determinado de x, converja para los panoramas cu�ntico y cl�sico, se llama principio de correspondencia.

Otra cosa a tener en cuenta sobre las probabilidades cl�sicas y cu�nticas de arriba, es que la probabilidad cl�sica est� estrictamente contenida entre las l�neas verticales que representan el l�mite cl�sico. Las probabilidades cu�nticas se extienden dentro de la regi�n cl�sicamente prohibida, decayendo exponencialmente en esa regi�n.

Probabilidades Superpuestas sobre el Potencial de Oscilador
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Conceptos de la Ecuaci�n de Schr�dinger

Referencia
Blatt
Cap. 7
 
HyperPhysics*****F�sica Cu�nticaM Olmo R Nave
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